第三章 导数及其应用(已更新09年高考题及联考题)

1第三章导数及其应用第一部分五年高考荟萃2009年高考题一、选择题1.(2009年广东卷文)函数xexxf)3()(的单调递增区间是()A.)2,(B.(0,3)C.(1,4)D.),2(答案D解析()(3)(3)(2)xxxfxxexexe,令()0fx,解得2x,故选D2.（2009全国卷Ⅰ理）已知直线y=x+1与曲线yln()xa相切，则α的值为()A.1B.2C.-1D.-2答案B解:设切点00(,)Pxy，则0000ln1,()yxayx,又0'01|1xxyxa00010,12xayxa.故答案选B3.（2009安徽卷理）已知函数()fx在R上满足2()2(2)88fxfxxx，则曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线方程是()A.21yxB.yxC.32yxD.23yx答案A解析由2()2(2)88fxfxxx得几何2(2)2()(2)8(2)8fxfxxx，即22()(2)44fxfxxx，∴2()fxx∴/()2fxx，∴切线方程12(1)yx，即210xy选A4.（2009江西卷文）若存在过点(1,0)的直线与曲线3yx和21594yaxx都相切，则a等于()2A．1或25-64B．1或214C．74或25-64D．74或7答案A解析设过(1,0)的直线与3yx相切于点300(,)xx，所以切线方程为320003()yxxxx即230032yxxx，又(1,0)在切线上，则00x或032x，当00x时，由0y与21594yaxx相切可得2564a，当032x时，由272744yx与21594yaxx相切可得1a，所以选A.5.（2009江西卷理）设函数2()()fxgxx，曲线()ygx在点(1,(1))g处的切线方程为21yx，则曲线()yfx在点(1,(1))f处切线的斜率为()A．4B．14C．2D．12答案A解析由已知(1)2g，而()()2fxgxx，所以(1)(1)214fg故选A力。6.（2009全国卷Ⅱ理）曲线21xyx在点1,1处的切线方程为()A.20xyB.20xyC.450xyD.450xy答案B解111222121||[]|1(21)(21)xxxxxyxx,故切线方程为1(1)yx,即20xy故选B.7.（2009湖南卷文）若函数()yfx的导函数．．．在区间[,]ab上是增函数，则函数()yfx在区间[,]ab上的图象可能是()3A．B．C．D．解析因为函数()yfx的导函数．．．()yfx在区间[,]ab上是增函数，即在区间[,]ab上各点处的斜率k是递增的，由图易知选A.注意C中yk为常数噢.8.（2009辽宁卷理）若1x满足2x+2x=5,2x满足2x+22log(x－1)=5,1x+2x＝()A.52B.3C.72D.4答案C解析由题意11225xx①22222log(1)5xx②所以11252xx,121log(52)xx即21212log(52)xx令2x1＝7－2t,代入上式得7－2t＝2log2(2t－2)＝2＋2log2(t－1)∴5－2t＝2log2(t－1)与②式比较得t＝x2于是2x1＝7－2x29.（2009天津卷理）设函数1()ln(0),3fxxxx则()yfx()A在区间1(,1),(1,)ee内均有零点。B在区间1(,1),(1,)ee内均无零点。C在区间1(,1)e内有零点，在区间(1,)e内无零点。D在区间1(,1)e内无零点，在区间(1,)e内有零点。【考点定位】本小考查导数的应用，基础题。解析由题得xxxxf33131)`(，令0)`(xf得3x；令0)`(xf得30x；0)`(xf得3x，故知函数)(xf在区间)3,0(上为减函数，在区间),3(为增函数，在点3x处有极小值03ln1；又ababaoxoxybaoxyoxyby40131)1(,013,31)1(eefeeff，故选择D。二、填空题10.（2009辽宁卷文）若函数2()1xafxx在1x处取极值，则a解析f’(x)＝222(1)()(1)xxxaxf’(1)＝34a＝0a＝3答案311.若曲线2fxaxInx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是.解析解析由题意该函数的定义域0x，由12fxaxx。因为存在垂直于y轴的切线，故此时斜率为0，问题转化为0x范围内导函数12fxaxx存在零点。解法1（图像法）再将之转化为2gxax与1hxx存在交点。当0a不符合题意，当0a时，如图1，数形结合可得显然没有交点，当0a如图2，此时正好有一个交点，故有0a应填,0或是|0aa。解法2（分离变量法）上述也可等价于方程120axx在0,内有解，显然可得21,02ax12.（2009江苏卷）函数32()15336fxxxx的单调减区间为.5解析考查利用导数判断函数的单调性。2()330333(11)(1)fxxxxx，由(11)(1)0xx得单调减区间为(1,11)。亦可填写闭区间或半开半闭区间。13.（2009江苏卷）在平面直角坐标系xoy中，点P在曲线3:103Cyxx上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为.解析考查导数的几何意义和计算能力。231022yxx，又点P在第二象限内，2x点P的坐标为（-2，15）答案:1a【命题立意】:本题考查了指数函数的图象与直线的位置关系,隐含着对指数函数的性质的考查,根据其底数的不同取值范围而分别画出函数的图象解答.14.（2009福建卷理）若曲线3()lnfxaxx存在垂直于y轴的切线，则实数a取值范围是_____________.答案(,0)解析由题意可知'21()2fxaxx，又因为存在垂直于y轴的切线，所以231120(0)(,0)2axaxaxx。15.(2009陕西卷理)设曲线1*()nyxnN在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为nx,令lgnnax，则1299aaa的值为.答案-21*1112991299()'(1)'|11(1)(1)11298991...lg...lg...lg22399100100nnnxnyxnNyxynxynynxnxnaaaxxx解析：点（1，1）在函数的图像上，（1，1）为切点，的导函数为切线是：令y=0得切点的横坐标：16.（2009四川卷文）设V是已知平面M上所有向量的集合，对于映射:,fVVaV，记a的象为()fa。若映射:fVV满足：对所有abV、及任意实数,都有()()()fabfafb，则f称为平面M上的线性变换。现有下列命题：①设f是平面M上的线性变换，abV、，则()()()fabfafb②若e是平面M上的单位向量，对,()aVfaae设，则f是平面M上的线性变换；6③对,()aVfaa设，则f是平面M上的线性变换；④设f是平面M上的线性变换，aV，则对任意实数k均有()()fkakfa。其中的真命题是（写出所有真命题的编号）答案①③④解析①：令1，则)()()(bfafbaf故①是真命题同理，④：令0,k，则)()(akfkaf故④是真命题③：∵aaf)(，则有bbf)()()()()()()(bfafbababaf是线性变换，故③是真命题②：由eaaf)(，则有ebbf)(ebfafeebeaebabaf)()()()()()(∵e是单位向量，e≠0，故②是假命题【备考提示】本小题主要考查函数，对应及高等数学线性变换的相关知识，试题立意新颖，突出创新能力和数学阅读能力，具有选拔性质。17.（2009宁夏海南卷文）曲线21xyxex在点（0,1）处的切线方程为。答案31yx解析2'xxxeey，斜率k＝200e＝3，所以，y－1＝3x，即31yx三、解答题18.（2009全国卷Ⅰ理）本小题满分12分。（注意：在试题卷上作答无效）．．．．．．．．．．．．．设函数3233fxxbxcx在两个极值点12xx、，且12[10],[1,2].xx，（I）求bc、满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点,bc的区域；(II)证明：21102fx分析（I）这一问主要考查了二次函数根的分布及线性规划作可行域的能力。7大部分考生有思路并能够得分。2363fxxbxc由题意知方程0fx有两个根12xx、1[10],x且，2[1,2].x则有10f，00f，1020ff，故有右图中阴影部分即是满足这些条件的点,bc的区域。(II)这一问考生不易得分，有一定的区分度。主要原因是含字母较多，不易找到突破口。此题主要利用消元的手段，消去目标32222233fxxbxcx中的b，（如果消c会较繁琐）再利用2x的范围，并借助（I）中的约束条件得[2,0]c进而求解，有较强的技巧性。解析由题意有22223630fxxbxc．．．．．．．．．．．．①又32222233fxxbxcx．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．②消去b可得32221322cfxxx．又2[1,2]x，且[2,0]c2110()2fx19.（2009浙江文）（本题满分15分）已知函数32()(1)(2)fxxaxaaxb(,)abR．（I）若函数()fx的图象过原点，且在原点处的切线斜率是3，求,ab的值；（II）若函数()fx在区间(1,1)上不单调．．．，求a的取值范围．解析（Ⅰ）由题意得)2()1(23)(2aaxaxxf又3)2()0(0)0(aafbf，解得0b，3a或1a（Ⅱ）函数)(xf在区间)1,1(不单调，等价于导函数)(xf在)1,1(既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数即函数)(xf在)1,1(上存在零点，根据零点存在定理，有0)1()1(ff，即：0)]2()1(23)][2()1(23[aaaaaa整理得：0)1)(1)(5(2aaa，解得15a820.（2009北京文）（本小题共14分）设函数3()3(0)fxxaxba.（Ⅰ）若曲线()yfx在点(2,())fx处与直线8y相切，求,ab的值；（Ⅱ）求函数()fx的单调区间与极值点.解析本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力．（Ⅰ）'233fxxa,∵曲线()yfx在点(2,())fx处与直线8y相切，∴'203404,24.86828faababf（Ⅱ）∵'230fxxaa,当0a时，'0fx，函数()fx在,上单调递增，此时函数()fx没有极值点.当0a时，由'0fxxa，当,xa时，'0fx，函数()fx单调递增，