2010届高考数学空间角与距离的计算与证明

空间角与距离的计算与证明1.四面体ABCD中，AB、CD所成的角为60°，E、F、G分别为BC、AC、AD中点，若AB=CD=2，则EG=______.第一课时：空间角[课前导引]1.四面体ABCD中，AB、CD所成的角为60°，E、F、G分别为BC、AC、AD中点，若AB=CD=2，则EG=______.[解析]△EFG中，∠EFG=60°或120°，则EG=2或.32第一课时：空间角[课前导引]2.两异面直线a,b所成角为60°，过空间一点P作与a、b都成25°（或30°或40°或60°或80°或90°）的直线，分别可作_______________条.2.两异面直线a,b所成角为60°，过空间一点P作与a、b都成25°（或30°或40°或60°或80°或90°）的直线，分别可作_______________条.答案：0、1、2、3、4、1.1.掌握空间两异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角等概念；2.能熟练地在图形中找出相关的角并证明；3.能用向量方法和非向量方法进行计算；[考点搜索][例1]（2004全国卷）已知球O的半径为1，A、B、C三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为，则球心O到平面ABC的距离为()236.D32.C33.B31.A[链接高考][例1]（2004全国卷）已知球O的半径为1，A、B、C三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为，则球心O到平面ABC的距离为()236.D32.C33.B31.AB[链接高考][例1]（2004年天津卷）在棱长为2的正方体中中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是、AD的中点.那么异面直线OE和所成的角的余弦值等于()1111DCBAABCD1CC1FDD1C1A1B1ABCDOFE32.D54.C515.B510.A[例1]（2004年天津卷）在棱长为2的正方体中中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是、AD的中点.那么异面直线OE和所成的角的余弦值等于()1111DCBAABCD1CC1FDD1C1A1B1ABCDOFE32.D54.C515.B510.A[解析]利用空间向量求解较简便.[例1]（2004年天津卷）在棱长为2的正方体中中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是、AD的中点.那么异面直线OE和所成的角的余弦值等于()1111DCBAABCD1CC1FDD1C1A1B1ABCDOFE32.D54.C515.B510.A[解析]利用空间向量求解较简便.B[例2]（2005湖南卷）已知ABCD是上、下底边长分别为2和6，高为的等腰梯形，将它沿对称轴OO1折成直二面角，3(Ⅰ)证明：AC⊥BO1；(Ⅱ)求二面角O－AC－O1的大小.:,,.,,,::(1)111如图直角坐标系轴建立空间轴、轴、在直线分别为所、、为原点故可以即角的平面角是所折成的直二面由题设知证明zyxOOOBOAOOBOAAOBOOOBOOOA[法一]、则相关各点的坐标是)0,0,3(:A)3,0,0(),3,1,0(),0,3,0(1OCB.,0333)3,3,0()3,1,3(111BOACBOACBOAC所以从而00),,(.,,)(.0333)(1111111OCnACnACOzyxnOACBOOACBOBOACIOCBOOCBOII由的一个法向量是平面设的一个法向量是平面平面由111,:,BOnBOnOACO可知的方向、由的大小为设二面角)3,0,1(:3,0033nzyzyx得取.43arccos43,coscos1111的大小是即二面角OACOBOnBOnBOn3tan.,.,,,::)I(111111OOOBBOOOBCOACOCOBCOAOOBOAAOBOOOBOOO内的射影在面是平面从而即直二面角的平面角是所折成的所以由题设知证明[法二].:,,30,601111BOACBOOCOCOBOO由三垂线定理得从而33tan111OOCOOCO.:,),(,,.:,)I()II(1111111ACFOAOCFOEFFOFACEFEEBOOCAOCBOBOOCBOAC由三垂线定理得内的射影面在平是则如图连结于作过点设平面知由1,3,3:.1111COOOOAOACOFEO由题设知的平面角是二面角所以322121OOOAAO.413sin,2330sin133211111111FOEOFEOOOEOACCOAOFO又从而132121COAOAC.43arcsin1的大小是即二面角OACO[例3]（2005全国卷一）已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中点.(Ⅰ)证明：面PAD⊥面PCD；(Ⅱ)求AC与PB所成的角；PADAB,9021(Ⅲ)求面AMC与面BMC所成二面角的大小.(Ⅲ)求面AMC与面BMC所成二面角的大小..,,.::)I(PADCDPDADPADCDPDCD面都垂直、两条相交直线内与面因而由三垂线定理得证明[法一].,PCDPADPCDCD面面面又5,2:,90:,,2,2:,,,,//)II(PBBEPEBRtPEBABCDPAACBEABAEBECBACAEPBACPBECABECABEB中在得面由为正方形所以四边形又可知连结所成的角与是则且作过点.510arccos,510cos所成的角为与PBACPBBEPBE.510arccos,510cos所成的角为与PBACPBBEPBE:.,,)III(中在等腰三角形求二面角的平面角为所垂足为作AMCANBNCMAN,2.5625223,222ABANACACCMMCAN).32arccos(322cos222为故所求的二面角BNANABBNANANB[法二]如图建立空间直角坐标系,.,.,,),0,1,0(),1,0,0()I(PCDPADPCDDCPADDCPADADAPDCAPDCAP面故面上在面又面由此得：内的两条相交直线是平面与且所以证明：因.510||||,cos,2,5,2),1,2,0(),0,1,1(II)(PBACPBACPBACPBACPBACPBAC故(III)在MC上取一点N(x，y，z),则存在R使,MCNC.21,1,1),21,0,1(zyxMC),,1,1(zyxNC.54,0210,解得即只需zxMCANMCAN.0),52,1,51(,54MCANN能使点坐标为时可知当0),52,1,51(),52,1,51(,MCBNBNAN有此时..,:0,0为所求二面角的平面角所以得由ANBMCBNMCANMCBNMCAN).32arccos(.32||||),cos(.54,530||,530||故所求的二面角为BNANBNANBNANBNANBNAN1.两条异面直线所成的角：①平移其中一条直线或者两条直线，找出两异面直线所成的角，然后解三角形；如果求出的是钝角，则取其补角；②先求两条异面直线的方向向量所成的角，但如果求出的是钝角，要注意转化成相应的锐角.或者说，若cos＝x，则这两条异面直线所成的角为＝arccos|x|.[方法论坛]2.直线和平面所成的角：①“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来.②向量法，先求直线的方向向量与平面的法向量所成的角，而所要求的角为.22或3.平面与平面所成的角:①“一找二证三求”.一找：找出这个二面角的平面角；二证：证明所找角即为二面角的平面角；三求：解三角形求角.②射影面积法：要注意所求角为或π；.cos原射影SS③向量法:先求两个平面的法向量所成的角为，那么这两个平面所成的二面角的平面角为或π.或者先求出二面角的平面角的两边的方向向量所成的角，而二面角的大小为或π.注意：(1)在求角时，若比较容易建立坐标系，找出各点的坐标，则用向量方法比较好；否则，用非向量方法比较简便.(2)用非向量方法求角时，要做到“一找二证三求”，在解题过程中一定要出现形如“∠就是所要求的角”的句子..,60,45,,.5111111的大小求二面角三角形底面是正中三棱柱CAABACAABACBAABC[演练]B组2222462442,2,22.2.,,111ikEBjkFCikEBFAACFEAABEkjiAAACAB则则设底面边长为于于并作、、截取单位向量上分别、、在射线[解析].336arccos3363222,cos,222222222423254411的大小为所以二面角所以CAABFCEBjkkijiFCEBjkFC1.Rt△ABC两直角边BC=3，AC=4，PC⊥面ABC，且PC=，则点P到斜边AB的距离为______.59[课前导引]第二课时：空间距离1.Rt△ABC两直角边BC=3，AC=4，PC⊥面ABC，且PC=，则点P到斜边AB的距离为______.[简评]先利用三垂线定理找出点P到AB的垂线段.59[课前导引]第二课时：空间距离1.Rt△ABC两直角边BC=3，AC=4，PC⊥面ABC，且PC=，则点P到斜边AB的距离为______.[简评]先利用三垂线定理找出点P到AB的垂线段.593[课前导引]第二课时：空间距离2.正四面体ABCD棱长为a，动点P、Q分别在线段AB、CD上，则|PQ|的最小值是_______.2.正四面体ABCD棱长为a，动点P、Q分别在线段AB、CD上，则|PQ|的最小值是_______.[简评]线段AB、CD的中点连线即为其公垂线段，而|PQ|的最小值就是异面直线AB、CD的距离.2.正四面体ABCD棱长为a，动点P、Q分别在线段AB、CD上，则|PQ|的最小值是_______.a22[简评]线段AB、CD的中点连线即为其公垂线段，而|PQ|的最小值就是异面直线AB、CD的距离.[例1]（2004年全国卷）已知球O的半径为1，A、B、C三点都在球面上,且每两点间的球面距离均为，则球心O到平面ABC的距离为()236D.32C.33B.31A.[链接高考][例1]（2004年全国卷）已知球O的半径为1，A、B、C三点都在球面上,且每两点间的球面距离均为，则球心O到平面ABC的距离为()236D.32C.33B.31A.B[链接高考][例2]（2005全国卷二）不共面的四个定点到平面的距离都相等，这样的平面共有()A.3个B.4个C.6个D.7个[例2]（2005全国卷二）不共面的四个定点到平面的距离都相等，这样的平面共有()A.3个B.4个C.6个D.7个D[例2]（2004年江苏卷）在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是正方A1B1C1D1的中心，点P在棱CC1上，且CC1=4CP.(I)求直线AP与平面BCC1B1所成的角的大小(结果用反三角函数值表示)；(II)设O点在平面D1AP上的射影是H,求证：D1H⊥AP；(III)求点P到平面ABD1的距离..17174arctan,17174arctan,17174tan,,,1,4,4,,,)1(11111111所成角为与平面即直线为直角中在所成角就是与平面平面连结BBCCAPAPBBPAPAPBABPPBCRtCPCCCPCCAPBBBCCAPBBCCABBP[解析].,,,,,,,,,,)2(11111111111111111111111111111111APH