第4章-冲量和动量(2010)

XuZhongfeng,Xi’anJiaotongUniversity,2010UniversityPhysicsChapter4IMPULSEANDMOMENTUM我国舰艇上发射远程导弹实验XuZhongfeng,Xi’anJiaotongUniversity,2010UniversityPhysics§4.1动量定理一.动量和冲量动量vmP冲量→力的时间积累21dtttFIt→t+dt元冲量tFIddt1→t2,冲量二.质点动量定理tmFd)d(vItFmdd)d(vxyzO1vm2vmFFItFmmtt21d12vv——动量定理1vm2vmI质点动量的增量等于合力对质点作用的冲量.（微分形式）（积分形式）XuZhongfeng,Xi’anJiaotongUniversity,2010UniversityPhysics212121ddd121212ttzttyttxtFmmtFmmtFmmzzyyxxvvvvvv在力的整个作用时间内，平均力的冲量等于变力的冲量)(d1221ttFtFttIFFtFO1t2tt冲量的任何分量等于在它自己方向上的动量分量的增量动量定理的分量形式平均力)(/d1221tttFttFXuZhongfeng,Xi’anJiaotongUniversity,2010UniversityPhysics例一篮球质量0.58kg，从2.0m高度下落，到达地面后，以同样解篮球到达地面的速率m/s3628922..ghvN1083019036580222....tmFv对地平均冲力tF(max)F0.019sOF相当于40kg重物所受重力!速率反弹，接触时间仅0.019s.求篮球对地的平均冲力?硬着陆软着陆XuZhongfeng,Xi’anJiaotongUniversity,2010UniversityPhysics例质量为m的匀质柔软绳，全长为L，开始时，下端与地面的距离为h。时，地面所受绳的作用力？解设t时刻（地面上有l长的绳子）lLmlml2)(hlgv此时绳的速度为求绳自由下落地面上的长度为l(lL)Lhm以m(t时间下落到地面的绳子)为研究对象mtmgNv0)(根据动量定理LmghlN)(22v地面受力ghlLmgmNFl)23('NgmtmvLghlmN)(2mtNvyXuZhongfeng,Xi’anJiaotongUniversity,2010UniversityPhysics例非弹性体的金属小环组成的匀质链条。由静止开始下落，证明下落的端点的运动方程为261gtyyO解以t时刻已下落的连条y及dt时间内下落的dy为研究对象TmgT'gdmvdd)(:ytTygy0dd)d(:dytygTmvyytygdddvv2dtdvvyyg2dydvvvyygdyddy2vvvyygdy2d2dy2222vvvyygy)d(22vy)d(yd2)()0,0(2202v,vyyygy22332vygy223vygtvvvdd3gXuZhongfeng,Xi’anJiaotongUniversity,2010UniversityPhysics261gtytvvvdd3gvtd3dgtg31vtddy223vygyg32vtyddtgyyd32d2/1tgy3222/1vvvyyytgyy)d)(d(d)d(yytygdddvvydyXuZhongfeng,Xi’anJiaotongUniversity,2010UniversityPhysics三.质点系动量定理1m1v2m2v3m3v4m4vt时刻iiimPv以两个质点为例1m2m12f21f1F2FtfFmd)()d(12111vtfFmd)()d(21222v02112ff（一对内力）tFFmm)d()d()d(212211vvItFmiiiidd)d(ivtFPddItFmmittiiiiiii0d0vv（质点系动量定理）某段时间内，质点系动量的增量，等于作用在质点系上所有外力在同一时间内的冲量的矢量和——质点系动量定理XuZhongfeng,Xi’anJiaotongUniversity,2010UniversityPhysicsiiziiziiiyiiyiiixiixitFmtFmtFmd)d(d)d(d)d(vvv直角坐标系：在有限时间内：(1)只有外力可改变系统的总动量(2)内力可改变系统内单个质点的动量——内部作用复杂ttiiittiiiiiiitFtFmm00)d(d0vv说明iiiitFmd)d(ivXuZhongfeng,Xi’anJiaotongUniversity,2010UniversityPhysics§4.2质点系动量守恒定律当0iiF0diimv常矢量iimv动量守恒的分量表述(1)动量守恒定律适用于惯性系常量常量常量zizizyiyiyxixixPmFPmFPmFvvv000质点系动量守恒定律说明(2)动量守恒定律也适用于高速，微观领域XuZhongfeng,Xi’anJiaotongUniversity,2010UniversityPhysics如图所示，两部运水的卡车A、B在水平面上沿同一方向运动，B的速度为u，从B上以6kg/s的速率将水抽至A上，水从管子尾部出口垂直落下，车与地面间的摩擦不计，时刻t时，A车的质量为M，速度为v。选A车M和t时间内抽至A车的水m为研究系统，水平方向上动量守恒vv)(mMmuMmMmuMvvmMumvvvv解vvuMmvvvuMMutmtat6ddlim0例求时刻t，A的瞬时加速度ABuvAXuZhongfeng,Xi’anJiaotongUniversity,2010UniversityPhysics在恒星系中，两个质量分别为m1和m2的星球，原来为静止，且相距为无穷远，后在引力的作用下，互相接近，到相距为r时。1m2m1v2v解021vvmmx0212121222211rmmGmmvv由动量守恒，机械能守恒rmmGm)(22121vrmmGm)(22112v例解得O求它们之间的相对速率为多少？相对速率21vvvrrmmG)(221XuZhongfeng,Xi’anJiaotongUniversity,2010UniversityPhysics§4.3质心质心运动定理N个质点的系统（质点系）的质心位置一.质心xyzmiOm2nimmmm...,...,,21nirrrr,...,...,,,21crmmrmmrrNiiiNcdlim1质量连续分布的系统的质心位置m1mrmmrmNiiiNiiNiii111ir1rCrmmxxcdmmyycdmmzzcdNiimm1XuZhongfeng,Xi’anJiaotongUniversity,2010UniversityPhysics例已知一半圆环半径为R，质量为M解建坐标系如图yxOlmdddddRldπdRRMmsincosRyRx0cxπ2dπsindπ0RMRRMRMmyyc取dldm=dl几何对称性(1)弯曲铁丝的质心并不在铁丝上(2)质心位置只决定于质点系的质量和质量分布情况，与其它因素无关说明求它的质心位置XuZhongfeng,Xi’anJiaotongUniversity,2010UniversityPhysics二.质心运动定理trccddvmPicmPv——质点系的总动量taccddvtPFidd一个质点的运动，该质点集中整个系统质量，并集中系统受的外力（2）质心运动状态取决系统所受外力，内力不能使质心产生加速度（1）质心的运动：•质心的速度•质心的加速度和动力学规律——质心运动定理说明mrmrNiiic1iiiitFmd)d(ivccamtmddvmmmtrmiiiivddXuZhongfeng,Xi’anJiaotongUniversity,2010UniversityPhysics例如图所示，一小孩(质量为m)与船(质量为M,长度为l)构成质点系，当小孩从船头走到船尾0ddtacxcxvMmMxmxxc21MmxMxmxc21MmmlSMmMlSls解在水平方向上，外力为零，则开始时，系统质心位置终了时，系统质心位置)'()'(1122xxmxxMx2x1x'x1'x2OccxxSSl人和船各移动的距离求XuZhongfeng,Xi’anJiaotongUniversity,2010UniversityPhysics0MVmvMmmlxScanoe另解水平方向上，系统所受合外力为零，则其在水平方向上动量守恒xOVMmmMVVmrr)()(vvcanoerxMmxmd)(dcanoexcanoelrxMmxm00d)(dXuZhongfeng,Xi’anJiaotongUniversity,2010UniversityPhysics§4.4变质量动力学简介设t时刻:质点的质量为m，速度为v。根据动量定理有t+dt时刻:质点质量变为m+dm(dm与m合并前的速度为u),速度为v+dv。以质点m和dm为系统，设在dt时间内系统所受外力为F。)d()d)(d(dmummmtFvvv略去二阶无穷小量mumtFd)(ddvvvvurdm与m合并前相对于m的速度mmtFrdddvvtmtmFrddddvv——变质量动力学基本方程0ummtFdddvv)d(dvmtFXuZhongfeng,Xi’anJiaotongUniversity,2010UniversityPhysicsmtv火箭的运动方程t时刻，火箭质量为m，速度为vdt内火箭喷出速度为u,质量为–dm(dm火箭质量的增量)的燃料,火箭质量变为m+dm(dm与m合并前的速度为u),速度为v+dv.当不计空气阻力，只计重力，则xvvvmmummtF)}d()d()d{(dmummtFddddvvmmmumtFddd)(ddrvvvvmmtgrdddvvtMMrtgmm0ddd00vvvvgtMMr00lnvvvtmtmmgrddddvvvvdddmmtgrtmtmFrddddvv——火箭的速度方程XuZhongfeng,Xi’anJiaotongUniversity,2010UniversityPhysics——火箭的质量比MMN/0gtMMr00lnvvv——火箭的速度方程讨论(1)若不考虑重力,且初速为零MMr0lnvvkm/s9.76km/s41vvNr(2)多级火箭问题111lnNrvv2212lnNrvvv332211lnlnlnNNNrrrvvvvXuZhongfeng,Xi’anJiaotongUniversity,2010UniversityPhysics一质量m=3kg的质点受力itF3解1LlFAdLxxFdLxtd330d3ttvttd