2020届高考数学一轮复习第二章函数第三节函数的奇偶性与周期性课件文

第三节函数的奇偶性与周期性总纲目录教材研读1.函数的奇偶性考点突破2.奇（偶）函数的性质3.周期性考点二函数奇偶性的应用考点一函数奇偶性的判断考点三函数周期性的应用1.函数的奇偶性教材研读奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有①f(-x)=f(x),那么函数f(x)是偶函数关于②y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有③f(-x)=-f(x),那么函数f(x)是奇函数关于④原点对称2.奇(偶)函数的性质(1)奇(偶)函数的定义域关于原点对称.(2)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性⑤相同,偶函数在关于原点对称的区间上的单调性⑥相反.(3)在公共定义域内(i)两个奇函数的和是⑦奇函数,两个奇函数的积是⑧偶函数.(ii)两个偶函数的和、积都是⑨偶函数.(iii)一个奇函数,一个偶函数的积是⑩奇函数.(4)若函数f(x)是奇函数且在x=0处有定义,则f(0)=0.与函数奇偶性有关的结论(1)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|).(2)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型,即f(x)=0,x∈D,其中定义域D是关于原点对称的非空数集.(3)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值,取最值时的自变量互为相反数;奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数,取最值时的自变量也互为相反数.3.周期性(1)周期函数:对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有f(x+T)= f(x),那么就称函数y=f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期.(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中 存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.有关周期函数的几个常用结论周期函数y=f(x)满足:(1)若f(x+a)=f(x-a),则函数的周期为2|a|;(2)若f(x+a)=-f(x),则函数的周期为2|a|;(3)若f(x+a)=- ,则函数的周期为2|a|;(4)若f(x+a)= ,则函数的周期为2|a|;(5)若函数f(x)的图象关于直线x=a与x=b对称,那么函数f(x)的周期为2|b-a|;1()fx1()fx(6)若函数f(x)的图象既关于点(a,0)对称,又关于点(b,0)对称,则函数f(x)的周期是2|b-a|;(7)若函数f(x)的图象既关于直线x=a对称,又关于点(b,0)对称,则函数f(x)的周期是4|b-a|;(8)若函数f(x)是偶函数,其图象关于直线x=a对称,则其周期为2|a|;(9)若函数f(x)是奇函数,其图象关于直线x=a对称,则其周期为4|a|.1.下列函数中为偶函数的是 ()A.y=x2sinxB.y=x2cosxC.y=|lnx|D.y=2-x答案BA中函数为奇函数,B中函数为偶函数,C与D中函数均为非奇非偶函数,故选B.B2.下列函数为奇函数的是 ()A.y= B.y=exC.y=cosxD.y=ex-e-xx答案DA、B选项中的函数为非奇非偶函数;C选项中的函数为偶函数;D选项中的函数为奇函数,故选D.D3.已知f(x)=ax2+bx是定义在[a-1,2a]上的偶函数,那么a+b的值是 ()A.- B. C. D.- 13131212答案B依题意知b=0,2a=-(a-1),∴a= ,则a+b= .1313B4.已知函数f(x)是奇函数,在(0,+∞)上是减函数,且在区间[a,b](ab0)上的值域为[-3,4],则在区间[-b,-a]上 ()A.有最大值4B.有最小值-4C.有最大值-3D.有最小值-3答案B当x∈[-b,-a]时,-x∈[a,b],由题意得f(b)≤f(-x)≤f(a),即-3≤-f(x)≤4,所以-4≤f(x)≤3,即在区间[-b,-a]上f(x)min=-4,f(x)max=3.故选B.B5.(2017课标全国Ⅱ,14,5分)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈(-∞,0)时,f(x)=2x3+x2,则f(2)=.答案12解析由题意可知f(2)=-f(-2),∵x∈(-∞,0)时,f(x)=2x3+x2,∴f(2)=-f(-2)=-[2×(-8)+4]=-(-12)=12.126.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+4)=f(x),则f(8)的值为.答案0解析∵f(x)为定义在R上的奇函数,且f(x+4)=f(x),∴f(0)=0,T=4,∴f(8)=f(0)=0.0典例1判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=xlg(x+ );(2)f(x)=(1-x) ;(3)f(x)= (4)f(x)= .21x11xx2221(0),21(0);xxxxxx　24|3|3xx考点突破考点一函数奇偶性的判断解析(1)∵ |x|≥0,∴函数f(x)的定义域为R,关于原点对称,又f(-x)=(-x)lg[-x+ ]=-xlg( -x)=xlg( +x)=f(x),即f(-x)=f(x),∴f(x)是偶函数.(2)当且仅当 ≥0时函数有意义,∴-1≤x1,由于定义域关于原点不对称,∴函数f(x)是非奇非偶函数.(3)函数的定义域为{x|x≠0},关于原点对称,21x2()1x21x21x11xx当x0时,-x0,f(-x)=x2-2x-1=-f(x),当x0时,-x0,f(-x)=-x2-2x+1=-f(x),∴f(-x)=-f(x),∴函数f(x)是奇函数.(4)∵ ⇒-2≤x≤2且x≠0,∴函数的定义域关于原点对称,f(x)= = ,∵f(-x)= =- ,∴f(-x)=-f(x),∴函数f(x)是奇函数.240,|3|3xx2433xx24xx24()xx24xx方法技巧判定函数奇偶性的常用方法(1)定义法 (2)图象法 (3)性质法①设f(x),g(x)的定义域分别是D1,D2,那么在它们的公共定义域上:奇+奇=奇,奇×奇=偶,偶+偶=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇.②复合函数的奇偶性可概括为“同奇则奇,一偶则偶”.易错警示(1)“性质法”中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的.(2)判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f(-x)与f(x)的关系,只有对各段上的x都满足相同的关系时,才能判断其奇偶性.1-1设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是 ()A.f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数答案C由题意可知f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),对于选项A,f(-x)·g(-x)=-f(x)·g(x),所以f(x)g(x)是奇函数,故A项错误;对于选项B,|f(-x)|g(-x)=|-f(x)|g(x)=|f(x)|g(x),所以|f(x)|g(x)是偶函数,故B项错误;对于选项C,f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|,所以f(x)|g(x)|是奇函数,故C项正确;对于选项D,|f(-x)g(-x)|=|-f(x)g(x)|=|f(x)g(x)|,所以|f(x)g(x)|是偶函数,故D项错误,故选C.C1-2判断下列函数的奇偶性.(1)f(x)=x3- ;(2)f(x)= + ;(3)f(x)= 1x21x21x222,0,0,0,2,0.xxxxx解析(1)原函数的定义域为{x|x≠0},关于原点对称,并且对于定义域内的任意一个x都有f(-x)=(-x)3- =- =-f(x),从而函数f(x)为奇函数.(2)f(x)的定义域为{-1,1},关于原点对称.又f(-1)=f(1)=0,f(-1)=-f(1)=0,所以f(x)既是奇函数又是偶函数.(3)f(x)的定义域为R,关于原点对称,1x31xx当x0时,f(-x)=-(-x)2-2=-(x2+2)=-f(x);当x0时,f(-x)=(-x)2+2=-(-x2-2)=-f(x);当x=0时,f(0)=0,也满足f(-x)=-f(x).故该函数为奇函数.典例2(1)(2015课标全国Ⅰ,13,5分)若函数f(x)=xln(x+ )为偶函数,则a=.(2)已知f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且f(-1)+g(1)=2,f(1)+g(-1)=4,则g(1)等于.2ax考点二函数奇偶性的应用答案(1)1(2)3解析(1)由已知得f(-x)=f(x),即-xln( -x)=xln(x+ ),则ln(x+ )+ln( -x)=0,∴ln[( )2-x2]=0,得lna=0,∴a=1.(2)由已知可得,-f(1)+g(1)=2,f(1)+g(1)=4,两式相加,解得g(1)=3.2ax2ax2ax2ax2ax规律总结利用函数的奇偶性可解决的4个问题(1)求函数值:将待求函数值利用奇偶性转化到已知区间上求函数值.(2)求解析式:将待求区间上的自变量转化到已知区间上,再利用奇偶性求出.(3)求解析式中的参数:利用待定系数法求解,根据f(x)±f(-x)=0得到关于参数的恒等式,由系数的对等性得参数的方程或方程(组),进而得出参数的值.(4)画函数图象:利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象.2-1(2018河北石家庄质检)函数f(x)是R上的奇函数,∀x1,x2∈R,(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]0,则f(1-x)0的解集是()A.(-∞,0)B.(0,+∞)C.(-∞,1)D.(1,+∞)答案C∵f(x)为R上的奇函数,∴f(0)=0,又∀x1,x2∈R,(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]0,∴函数f(x)在R上为减函数.由f(1-x)0,得f(1-x)f(0),∴1-x0,即x1.C2-2设f(x)为定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=2x+2x+b(b为常数),则f(-1)= ()A.-3B.-1C.1D.3答案A∵f(x)为定义在R上的奇函数,∴f(0)=0,∴b=-1,∴f(-1)=-f(1)=-(2+2-1)=-3.A2-3已知函数f(x)=x3+sinx+1(x∈R),若f(a)=2,则f(-a)的值为 ()A.3B.0C.-1D.-2答案B设F(x)=f(x)-1=x3+sinx,显然F(x)为奇函数,又F(a)=f(a)-1=1,所以F(-a)=f(-a)-1=-1,从而f(-a)=0.故选B.B典例3(1)周期为4的奇函数f(x)在[0,2]上的解析式为f(x)= 则f(2018)+f(2019)= ()A.0B.-1C.2D.3(2)定义在R上的函数f(x)满足f(x+6)=f(x),当-3≤x-1时,f(x)=-(x+2)2;当-1≤x3时,f(x)=x,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2018)=.212,01,log1,12,xxxx考点三函数周期性的应用答案(1)B(2)339解析(1)函数f(x)的周期为4,且为奇函数,所以f(2018)+f(2019)=f(2)+f(-1)=f(2)-f(1)=-1.(2)∵f(x+6)=f(x),∴T=6.∵当-3≤x-1时,f(x)=-(x+2)2;当-1≤x3时,f(x)=x,∴f(1)=1,f(2)=2,f(3)=f(-3)=-1,f(4)=f(-2)=0,f(5)=f(-1)=-1,f(6)=f(0)=0,∴f(1)+f(2)+…+f(6)=1,∴f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2015)+f(2016)=1× =336.20166又f(2017)=f(1)=1,f(2018)=f(2)=2,∴f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2018)=339.规律总结函数周期性的应用根据函数的周期性,可以由函数局部的性质得到函数的整体性质,即周期性可将未知区间上的函数值、解析式、图象转化到已知区间上,在解决具体问题时,要注意结论:若T是