实变函数复习题3

实变函数复习题3一．证明题1.设在E上，,xfxfn,3,2,1,..neaxgxfnn成立xfxgn则有2.证明：开集减闭集后的差集仍是开集；闭集减开集后的差集仍是闭集。3.设M是R3空间中以有理点（即坐标都是有理点）为中心，有理数为半径的球的全体，证明M为可数集。4.设inBERE,且Bi为可测集，i=1,2,....,根据题意，若有.,0*iEBmi证明E是可测集。二．选择题1.A是可数集，B是有限或可数集，则AUB为（）A.可数集B.不可数集C.无法确定2.有C个（C表示连续基数）集的并集，若每个集的基数都是（）A.C2B.CC.2C3.E为开集的充要条件是（）A.。EEB.EE'C.EE4.A为开集，B为闭集，A-B为（）A.开集B.闭集C.可开可闭5.设S1,S2都是可测，21SS（）A.不可测B.可测C.不确定6.下列命题错误的是（）A.开集、闭集都是可测集B.可测集都是Borel集C.外侧度为零的集是可测集D.F型集、G型集都是可测集7.设{En}是一列递降的可测集合，nEEE21且1mE，则有（）A.nnnnmEEmlim1B.nnnnmEEmlim1C.nnnnmEEmlim1D.以上都不对8.下列命题错误的是（）A.若|f(x)|在E上可测，则f(x)在E上也可测B.可测集E上的连续函数是可测函数C.f(x)在E上L可积的充要条件是|f(x)|在E上可积D.[a,b]上任意一有界变差函数f(x)都可以表示为两个增函数之差9下列表达正确的是（）A.f+(x)=max{-f(x),0}B.f(x)=f+(x)+f-(x)C.|f(x)|=f+(x)-f-(x)D.[f(x)]n=min{f(x),n}三、填空题1.nnnnnAlim~~~,3,2,1],2,1[A则设（）2.的一一映射为因为存在两个集合之间),,(~),(ba（）3.。‘集合，则的图形上的点所组成的中的函数是设EE0,00,1cosyRE2xxx4.为，则满足若集合‘EEEREn（）集。5.满足的一个构成区间，则是直线上的开集若开区间,G,（）6.mE],[E中的全体无理数集，则是闭区间设ba（）7.上在）（则说）（若不成立E}x{,0)](x[mEnnfxff（）。8.若设,,RE0nnRx（），则称x0是E的聚点。9.设{fn(x)}是E上几乎处处有限的可测函数列，f(x)是E上几乎处处有限的可测函数，若0，有（），则称{fn(x)}在E上依测度收敛于f(x)10.使得的子列则设},)({f})({f,),()(fkxxExxfxnnn（）。四．判断题1..mBABABA,mBA，则且可测，若（）2.的外点。是，则为点集，设EPEPE（）3.是闭集点集},,,,,,,n1..{1,2,.....E。（）4.任意多得闭集的并集是闭集。（）5.为无限集合。则满足若E,E*m,REn（）6.任意无限集合都至少包含一个可数子集。（）7..ncc.........A..........AA1n21的基数是，则们的基数都是是一列相交的集合，它，，若nnA（）8..EE为闭集的充要条件是E（）9.集合的交或者并满足交换律，结合律，分配律.()答案一证明答案：1.证明f(x))(g].[lim][lim0f(x),)(][][)(][][)(][,0.0)(m],[Enn1111nxffmEgfmExfffmEffmEEmgfmEffEEgfEEEgfEnnnnnnnnnnnnnnnnnnn即所以因为所以则设2.证明：为闭集。所以为闭集，为开集，所以，因为同上所设为开集。为开集，所以为闭集，所以因为为闭集，则为开集，设B-ACACBA-BB-ACBCAB-ABAAABB3.证明：M中任何一个元素可以用球心（x,y,z）,半径r唯一确定，x,y,z跑遍所有的有理数，r跑遍所有的正有理数，因为有理数集和正有理数集都为可数集，故M为可测集合。可测。可测。从而，故得到令故都有为可测集，于是对于且则令)(0)(*,),(*)(*0,,,.41EBBEEBEBmiEBmEBmEBEBiBBBEBBiiiii二．选择题答案1.A2.C3.A4.A5.B6.B7.C8.A9.D三．填空题答案1.[0,2]2..,,2tan)(baxaxabx3.;1,00,1cos,yyxxyyx4.闭集5.GGG,.,6.ab7.几乎处处收敛于f(x)或a.e.收敛于f(x)8.000,,0xEx有对9.0limxfxfmEnn10.Eeaxfxfn于..四．判断题答案1.错例如：1,,1,0),1,0(mBmABABABA但且则2.错例如：的外点不是但)1,0(0),1,0(03.错由于EE0'4.错例如：在R’中，是一系列闭集，但是,4,3,11,1nnnFn不是闭集31,0nnF5.对因为若E为有界集合，则存在有限区间I,EmIImEmIEI*,**,,于则使得6.对见教材P207.错见教材P268.对见教材P399.对见教材P910.对见教材P13