固体物理第六章 金属电子论

第六章金属电子论1.经典的金属电子论理论基础：经典理论（系统的微观理论）理论成果：解释了欧姆定律；热导和电导之间关系等存在尖锐的矛盾：无法解释（1）金属中自由电子对热容量的贡献；（2）金属中电子具有很长的“自由程”。在讨论金属的电导、电热、温差电、电磁效应等输运过程中发现，电子的自由程应只等于几百个原子间距。问题：把电子看成经典粒子，服从经典力学运动规律和统计分布。没有考虑量子效应：量子力学的规律和量子统计效应。2.现代的金属电子论把量子力学和费米统计规律结合起来分析金属中电子的运动，建立了现代的金属电子论。较成功地解释了金属导、导热以及对热容的贡献等。按照能带理论，在严格的周期性势场中，电子可以保持在一个本征态中，具有一定的平均速度，并不随时间改变，相当于无限的自由程。实际自由程之所以是有限的，则是由于原子振动或其它原因致使晶体势场偏离周期性的结果。在费米统计和能带论的基础上，逐步发展了关于电子输运过程的现代理论。本章首先介绍金属中电子的费米统计规律性，分析电子热容量问题，然后在费米统计和能带论的基础上，讨论有关的输运问题。输运过程和输运性质：实际上是讨论非平衡过程，导热、导电和扩散过程都属于输运过程，对应了某种物理量的转移。6.1费米统计和电子热容量实际上，一般只讨论导带中的电子1.费米分布函数在能带理论中采取的是单电子近似，每个电子的运动被看成是独立的，具有一系列确定的本征态，这些本征态可以有不同的波数[nk]标志。一个单电子近似描述的系统的宏观态，可以由电子在这些本征态间的统计分布来描述，满足所谓的费米分布。•对于系统的平衡态，费米统计分布函数：•给出能量为E的本征态被一个电子占据的几率。是费米能级,系统中的化学势，电子占据和空出的分界面，【费米面，对应的能给为费米能级】的值可由归一化条件来确定（书上公式有错）。•即（分离能级）：11)(/)(TkEEBFeEfFE1)(iiEfFE积分形式的归一化条件表示为：此时认为电子的能级是连续分布的。在能带中电子的能级是准连续的分布。f(E)的分布曲线：ⅰ)当E=EF时，f(E)=1/2ⅱ)当E-EF/kBT1时，f(E)=0ⅲ)当E比EF低几个kBT时f(E)≈1，表示电子状态被填满。分布图见图6-1（P.277)在体积内包含的量子态数为：统计平均的电子数为：1)(dEEf1/)(TkEEBFe1/)(TkEEBFekdkdV3)2(2kdVEf3)2(2)(•能级E上的平均电子数为：2.费米能级的确定：•T=0K时此时f(E)≈1•∴•T≠0K时•引入函数表示E以下量子态的总数:因此得:∴dEENEf)()(FE0FFEE000)()()(FEdEENdEENEfN0)()(dEENEfNEdEENEQ0)()()()(ENEEQ000)()()()()()(EdQENdEEEQEfdEENEfN上式中,第一项为零，因为：E→∞f(E)→0，而当E→0Q(E)→0，所以：00f(E)f(E)Q(E)Q(E)dEE0))()((dEEEfEQNTkeeeTkeEEfBTkEETkEETkEEBTkEEBFBFBFBF1)1)(1(1)1(1)(/)(/)(2/)(/)(∴可以写为0))()((dEEEfEQNdEEEfEQN))()((上式为偶函数，并具有Delta函数的性质，只在费米能级附近不为零。•把Q(E)在E=EF附近展开：•带入上式得：引入积分变数：则2))((21))(()()(FFFFFEEEQEEEQEQEQdEEEfEEEQdEEEfEEEQdEEEfEQNFFFFF))(()()(21))()(()())(()(2dEEEfEEEQdEEEfEQNFFF))(()()(21))(()(2TkEEBFdeeEQTkEQNFBF)1)(1(1)()(21)(22上式第2项被积函数为奇函数，所以积分为零。•定积分：•所以：•附近展开•则有3)1)(1(122dee22))((61)(TkEQEQNBFF000002FFFFFFFFF1Q(E)Q(E)Q(EE)(EE)Q(E)(EE)2200000))((21))(()()(FFFFFFFFFEEEQEEEEQEQEQ202000))((6))(()(TkEQEEEQEQNBFFFFF0F0F0202FFFB0F202FB0EF202FB0EFQ(E)EE()(kT)6Q(E)dE1[lnQ(E)](kT)dE6EdE1[lnN(E)](kT)dE6E因为有：所以：0FNQ(E)对于近自由电子情况N(E)→E1/2所以：3.电子热容量下面讨论晶体中电子，对晶体热容量的贡献。电子系统总能量：定义函数：则有：对比前面的计算过程可得：00]121[)](ln[FFEEEEQdEd)])(12(1[0220FBFFETkEE0)()(dEENEEfUEdEENEER0)()(0))((dEEfERU200002FFFFFB2002FFBUR(E)R(E)(EE)R(E)(kT)6R(E)N(E)(kT)[26第步的推导过程忽略])()(ENEdEEdR根据定义上式右边第一项为：温度等于0K时电子的总能量，则第二项为电子系统的激发热能。电子系统的热容为：近自由电子为例：202))((6TkENBFBBFVkTkENC)])((3[022/12/32)2(4)(EhmVEN0F0F3NN(E)2EBFBVkETkNC)(2020TbT3讨论晶体中电子的热容量：对于近自由电子：在费米能级处：代入上面的公式得：可见，与温度成线性关系。而前面讨论晶格振动时，得到晶格振动的热容量是与温度的三次方成正比。vCT即：在一般温度下：而当温度接近0K时：3bTT物理解释是什么？6.2功函数和接触电势差1.热电子发射和功函数什么是热电子发射？发射电流随温度的变化规律：功函数：(1)经典电子论解释假设金属中的电子可以看作是处在一个恒定的势场中的自由质点，势井中的电子服从经典统计分布。速度分布为：式中，是速度处在内的电子密度。，为单位体积的电子数。按照分子运动论的方法讨论发射电流。BW/kTIedVeTkmndnTkmvBB2/2/302)2(W----经典的麦克斯韦速度分布dnvvdv到xyzdvdvdvdv0n2B2mv/2kT3/20yzxB1mv2mj(qv(x))dnn()dvdvdv(qv(x))e2kTTkxBBemTkqnj/2/10)2(选X坐标沿垂直发射面的方向，发射电流密度可以表示为：21mv2其中，为电子摆脱金属束缚发射到体外的条件。以上推导过程完全类似于分子运动论中讨论分子对容器器壁所产生的压强。最后的结果为：给出了发射电流随温度变化的指数关系，并且给出的功函数的解释是：W这里的为金属势井的深度。(2)热电子发射的量子理论假定采用近自由电子近似，则其能量关系为：并且有：dV内的量子态数目：dV内的统计平均电子数：这里mkkE2)(22mkEkVk1)(vdmkd33)2(2)2(211)(/)(TkEEBFeEfvdemdnTkEmvBF11)2(2/)21(32221)(mVkE和为费米统计分布律xmV221TkEmVBF)21(2由于发射热电子的能量必须大于势井的深度，所以要求：实际上，所以有：同经典情况完全类似。zyxTkmvTkEdvdvdveemdnBBF2/32)2(2同样可以得出量子理论所相应的电流表示式：TkExBBFeqTkmdnxvqj/)(32)2()(4))((但功函数为：FW-E2.不同金属中电子的平衡和接触电势静电势：附加静电势能：此时满足：0,0BAUU0,0BAqUqU)()(BBAAqUWqUW)(1ABBAWWqUU6.3分布函数和波尔兹曼方程一、输运过程的分布函数方法速度在v-v+dv内的粒子数为：（t时刻,经典描述）在范围内的量子态数为：则在范围内的电子数为：单位体积内的电子数为：电流密度满足(欧姆定律)MdNf(v,t)dvkdkk3)2(2kdVkdkk3[(),]2(2)MdkdNfEktV3)2(]),([2kdtkEfdnM)()(kEkEjEj单位体积在中的电子数为：对电流密度的贡献为：总电流密度外电场下电子状态变化服从电子在k空间偏移的距离外场引起的漂移项：kd3dk2f(k,t)(2)3)2()()(2kdkvkqf3)2()()(2kdkvkfqj/Eqdtkd)(Eq]})(1[{1BkEqEqdtkdk为时间流体的连续性原理：由此变分为]),(2[)],(2[dtkdtkftkftk)(),(2),(2dtkdtkftkfdtkdkk]})(1[{)(BkEqEqdtkdkkk0]})({[BkEqkk),(),(tkfdtkdttkfk)],(),)(([),(tkfttdtkdkftkf),()(),(),(tkftdtkdtkftkfk漂移项：（2）碰撞项：跃迁几率：具体考虑内的粒子数：在时间内向内跃迁的粒子数为：由于跃迁失去的电子数：ttkfdtkdk)],()[(),,(),,()(),,(trkfdtkdtrkfkvttrkfkr),(kkkd3dk2f(k,t)(2)dktkdtkfkkkdtkf33)2()],(1)[,()2(),(233kdk2dkf(k,t)[1f(k,t)](k,k)[t](2)(2)t•另一方面：粒子数的变化变化率f变化所满足的方程33kdk2dkf(k,t)[1f(k,t)](k,k)[t](2)(2)])2(2)[()2(),(233tkdabkdtkf3)2(),()],(1[),(kdkktkftkfak3)2(),()],(1[),(kdkktkftkfbkabtfconflict)()(),,()(),,()(),,(abtrkfdtkdtrkfkvttrkfkr•恒定电磁场和温度下：稳定状态！•均匀态：•波尔兹曼输运方程简化为:0tfabrkfdtkdrkfkvkr),()(),()(0),(rkfrEqdtkdabkfEqk)(3)2(),()],(1[),(kdkktkftkfak3)2(),()],(1[),(kdkktkftkfbk6.4弛豫时间近似和电导率公式波尔兹曼输运方程的一般表示式为：弛豫时间近似中的碰撞项写为：在平衡态