5实变函数

第1节单调函数与有界变差函数第五章微分与不定积分引入微积分基本定理本章的主要目的是要在Lebesgue积分理论中推广这一结果)())()((xfdttfRdxdxa若f(x)在[a,b]上连续，则)()()(')(aFxFdttFRxa若F`(x)在[a,b]上连续，则主要内容xaxaxadttfLdttfLdttfLxF)()()()()()()(为两个单调不减函数的差单调函数的可微性：单调函数几乎处处有有限导数有界变差函数（即两个单调不减函数的差）绝对连续函数（即能写成不定积分形式的函数）1单调函数的可微性定理设f(x)是[a,b]上的单调不减函数，则f`(x)在[a,b]上几乎处处存在有限导数，且)()()('],[afbfdxxfba注：等号不一定成立，即使f(x)是[a,b]上的连续单调不减函数，例如Cantor函数。Weierstrass在1772构造出一处处连续但无处可导的函数)xπ(acosb(x)fn0nn（其中0b1且a为正奇数）Koch曲线引入曲线的求长btttaTn10：分划21})()(()()({()(21211iiiinittttTL折线长1222111{(()()(()()}niiiiitttt|)()(|11iinitt都和|)()(|11iinitt|)()(|11iinitt|)()(|11iinitt()()[,]xtyttab参数曲线L：2有界变差函数的全变差在为的分点组为],[)(}],[:),(sup{)(baxfbaPPfVfVbaba上的有界变差函数为，则称若],[)()(baxffVba为f(x)对分点组P的变差，称|)()(|),(11iinibaxfxfPfV称,10bxxxan设f(x)是[a,b]上的有限函数，在[a,b]上任取一分点组P例闭区间上的单调函数一定是有界变差函数[]|)()(|)(10afbffV|)()(||)()(|),(11afbfxfxfPfVPiiniba，分划例连续函数不一定是有界变差函数]1,0(cos002)(xxxxxf上的有界变差函数不为，故从而]1,0[)()(10xffV对[0,1]取分划111122132:11,nnTiniiinixfxfTfV111110|)()(|),(则0.20.40.60.81-0.4-0.20.21/41/21/63Jordan分解定理定理f(x)是有界变差函数当且仅当f(x)可表成两个非负单调不减函数的差）（）（其中即|)(|)()(21)(|)(|)()(21)()()()(2121afxffVxfafxffVxfxfxfxfxaxa注：由于单调函数的不连续点全体为一可数集，从而有界变差函数的不连续点为一可数集，故Riemann可积,并且几乎处处存在有限导数Cantor函数（Cantor集为三等分去掉中间一个开区间，如此过程一直下去）()()()()()()()01/91/32/311/21/81/43/85/87/83/4如此类似取值一直定义下去Cantor函数a.在G=[0,1]-P的各构成区间上，)(x)(x}:)(sup{)(xtGttx且}1,0{Pxc.当时,规定称为[0,1]上的Cantor函数。1)1(0)0(b.规定351212222,,,,;nnnnn如前图规定:在第n次去掉的2n-1个开区间上依次取值为显然在[0,1]上单调不减，从而为有界变差函数，并且导函数几乎处处为0，)0()1(10)(']1,0[dxxCantor函数在[0,1]上连续注：Cantor函数把长度为零的集合连续拉长成长度为1的集合))(),(())(),((0000xxxx或)(x否则，若在x0∈(0,1)处不连续，则开区间非空，]1,0[)(G)(x此区间中的每个数都不属于的值域，这与矛盾。（端点情形类似说明）第二节不定积分与绝对连续函数第六章微分与不定积分主讲：胡努春有界变差函数与不定积分定理f(x)是有界变差函数当且仅当f(x)可表成两个非负单调不减函数的差xaxaxadttfLdttfLdttfLxF)()()()()()()(不定积分F(x)是有界变差函数，但由Cantor函数（是有界变差函数）知道，先取导数再取积分并不能返回，问什么函数满足此性质？1绝对连续函数|)()(|1iiniaFbF有则称F(x)是[a,b]上的绝对连续函数注：绝对连续函数一定是一致连续函数，当然是连续函数，也一定是有界变差函数，从而几乎处处有有限导数。,0,0设F(x)是[a,b]上的有限函数，若使对[a,b]中的任意有限个互不相交的开区间),,2,1(),(nibaii时，当)(1iiniab例为绝对连续函数则上的可积函数，是若cdttfxFbaxfxa)()(],[)(1函数的一真子类界变差从而绝对连续函数是有但不是绝对连续函数，故为有界变差函数，函数为单调连续函数，Cantor2利用积分的绝对连续性即可2Lebesgue不定积分与微分的关系)()()(')(aFxFdttFLxa定理若F(x)在[a,b]上绝对连续，则推论F(x)在[a,b]上绝对连续当且仅当cdttfxFxfbaxa)()()(],[，使上的可积函数存在定理若f(x)在[a,b]上Lebesgue可积，则],[..)())()((baeaxfdttfLdxdxa于第五章微分与不定积分目的：熟练掌握单调函数的结构，熟悉单调函数的基本性质以及跳跃度、跳跃函数等重要概念。重点与难点：单调函数的性质与结构。2单调函数的结构基本内容：一．问题的提出问题1：Newton-Leibniz公式告诉我们什么？它的重要性表现在什么地方？对于Lebesgue积分而言，能否建立类似的结论？第二节单调函数的结构牛顿-莱布尼兹公式告诉我们，如果是[a,b]上的连续函数，则是的一个原函数，即。第二节单调函数的结构)(xfxadttfxF)()()(tf)()(xfxF第二节单调函数的结构假如我们将Riemann积分换成Lebesgue积分，类似的结论是否仍成立？具体地说，若是[a,b]上的Lebesgue可积函数，则在[a,b]上是否可导？如果可导，其导函数是否等于？)(xf],[)()(xadttfxF)(xf另一方面，如果是[a,b]上的可导函数，则在[a,b]上是否可积？如果可积，则是否等于？不难看到，无论是对Riemann积分还是对Lebesgue积分而言，一个函数即使处处有导数，其导函数未必是可积的。第二节单调函数的结构)(xf],[)()(~xadttfxF)(xf)(xf第二节单调函数的结构例如，若则在[0,1]上处处有导数，然而在[0,1]上却是不可积的(参见江泽坚、吴智泉合编《实变函数论》第二版，高教出版社1998)。那么，什么样的函数的导函数是可积的呢？这正是我们关心的问题。000cos)(22xxxxxf)(xf)(xf二.单调函数的间断点定义1设f是定义在实直线R1中点集E上的有限函数，如果对任意，当时，不等式恒成立，就称f是E上的单调增加函数。如果恒成立，则称f为E上的严格单调增加函数。第二节单调函数的结构Exx21,21xx)()(21xfxf)()(21xfxf第二节单调函数的结构如果当时，不等式恒成立，则称f是E上的单调递减函数。若不等式恒成立，则称f为E上的严格单调递减函数。21xx)()(21xfxf)()(21xfxf第二节单调函数的结构问题2：单调函数的间断点哪些类型？间断点有多少？第二节单调函数的结构若f是E上的有限函数，在点的右极限存在，则称为f在点的右方跳跃度，若f在点的左极限存在，则称为f在点的左方跳跃度。fEx,0)0(0xf)()0(00xfxf)0(0xf)0()(00xfxf0x0x0x0x第二节单调函数的结构若f在的左、右极限都存在，但其左、右方跳跃度不全为0(即不全相等)，则称为f的第一类不连续点，若f的不连续点不是第一类的，则称为第二类不连续点。)0(0xf0x)(),0(00xfxf0x定理1设f是[a,b]上的单调递增函数，则f具有下列性质：(1)f的不连续点全是第一类的；(2)f的不连续点集至多可数；(3)f在不连续点的左、右方跳跃度都是非负的，并且所有跳跃度的总和不超过。第二节单调函数的结构)()(afbf证明：(1)首先证明，对任意存在。事实上，由于，故存在N，当时，，由单调性得且是单调下降的序列，故存在，且。第二节单调函数的结构),[0bax)0(0xfbxa0Nn),[10banx)()1(00xfnxf10)}1({nnxf)1(lim0nxfn)()1(lim00xfnxfn第二节单调函数的结构记，则对任意，存在，使得，对任意，显然有，由f的单调性得，因此，即。)1(lim0nxfan0NaNxf)1(00)1,(00Nxxxaxf)(aNxfaxf)1()(000axfxx)(lim00axf)0(0类似可证也存在，故f的不连续点必是第一类不连续点。(2)由(1)的证明知对任意，有，当时显然，当时，，这说明f在中任一点的左、右方跳跃度均非负，第二节单调函数的结构)0(0xf),(bax)0()()0(000xfxfxfax0)0()(afafbx0)0()(bfbf],[ba第二节单调函数的结构设F为f在上的不连续点全体，若，且，则由f的单调性可知，因此开区间与互不相交，且由于F中点为不连续点，故。记F为中开区间全体所成的类。],[baFxx21,21xx)0()0(12xfxf))0(),0((11xfxf))0(),0((22xfxf)2,1)(0()0(ixfxfii1R第二节单调函数的结构作对应关系如下：，并记，则是中互不相交的开区间构成的集类，从而最多可数，显然是F到的一一对应，所以F也是至多可数的集合。FF:))0(),0((:xfxfFx}|))0(),0({()(FxFxfxfFF1R)(FF)(FF第二节单调函数的结构(3)记，对任意正整数N，不妨设，取，则，因此，1}{kkxFNxxx21,2,1),,(,10kxxyaykkk)()0()0()(1kkkkyfxfxfyf)0()0()()(1kkkkxfxfyfyf第二节单调函数的结构进而]()([)]0()0([111kkNkkkNkyfyfxfxf)()()()(0afbfyfyfNN)()()]0()0([1afbfxfxfkkk令立得证毕。三．单调函数的可积性问题3：[a,b]上的单调函数是否一定是R-可积的？为什么？第二节单调函数的结构定理2设f是[a,b]上单调增加的有限函数，则f是[a,b]上的Riemann可积函数。第二节单调函数的结构证明：由于f在[a,b]上有限，故，从而由单调性知f是[a,b]上的有界函数，由定理1知f至多有可数个不连续点，其不连续点集显然是零测集，由本章§2定理6知f必是Riemann可积函数，证毕。)(,)(afbf第二节单调函数的结构四.跳跃函数问题4：能否找到一个结构相对简单的函数，其间断点与所给定的单调函数相同？且对应点处的跳跃度也相同？找一个在一点间断的例子。定义2设是两