选修4-5---不等式选讲

人教A版数学选修4-5不等式选讲第一节绝对值不等式第二节不等式证明的基本方法目录选修4-5不等式选讲人教A版数学回扣主干知识突破热点题型演练知能检测提升学科素养第一节绝对值不等式人教A版数学[备考方向要明了]考什么怎么考1.理解绝对值不等式的几何意义，并能利用绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：(1)|a＋b|≤|a|＋|b|；(2)|a－b|≤|a－c|＋|c－b|.2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－a|＋|x－b|≥c.从近两年的高考试题可以看出，本节重点考查含绝对值不等式的解法(可能含参)或以函数为背景证明不等式，题型为解答题，如2012年高考新课标T24等.回扣主干知识突破热点题型演练知能检测提升学科素养第一节绝对值不等式人教A版数学[归纳·知识整合]1．绝对值不等式的解法(1)|ax＋b|≤c(c0)和|ax＋b|≥c(c0)型不等式的解法①|ax＋b|≤c⇔.②|ax＋b|≥c⇔.(2)|x－a|＋|x－b|≥c(c0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c0)型不等式的解法法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合思想；－c≤ax＋b≤cax＋b≥c或ax＋b≤－c回扣主干知识突破热点题型演练知能检测提升学科素养第一节绝对值不等式人教A版数学法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．[探究]1.解含绝对值不等式或含绝对值方程的关键是什么？提示：关键是根据绝对值的定义或性质去掉绝对值．回扣主干知识突破热点题型演练知能检测提升学科素养第一节绝对值不等式人教A版数学2．绝对值三角不等式(1)定理1：如果a，b是实数，则|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当时，等号成立．(2)定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当时，等号成立．[探究]2.绝对值的三角不等式的向量形式及几何意义是什么？提示：当a，b不共线时，|a＋b||a|＋|b|，它的几何意义是三角形的两边之和大于第三边．ab≥0(a－b)(b－c)≥0回扣主干知识突破热点题型演练知能检测提升学科素养第一节绝对值不等式人教A版数学[自测·牛刀小试]1．求不等式|2x－1|≥3的解集．解：|2x－1|≥3等价于2x－1≥3或2x－1≤－3，解得x≥2或x≤－1.所以解集为(－∞，－1]∪[2，＋∞)．回扣主干知识突破热点题型演练知能检测提升学科素养第一节绝对值不等式人教A版数学2．已知函数f(x)＝|x＋2|－|x－1|，求f(x)的值域．解：函数可化为f(x)＝－3，x－2，2x＋1，－2≤x≤1，3，x1，所以f(x)∈[－3,3]．回扣主干知识突破热点题型演练知能检测提升学科素养第一节绝对值不等式人教A版数学3．(2011·江西高考改编)对于x∈R，求不等式|x＋10|－|x－2|≥8的解集．解：由题意可得x≤－10，－x－10＋x－2≥8，或－10x≤2，x＋10＋x－2≥8，或x2，x＋10－x＋2≥8.解得x∈[0，＋∞)．回扣主干知识突破热点题型演练知能检测提升学科素养第一节绝对值不等式人教A版数学4．已知关于x的不等式|x－1|＋|x|≤k无解，求实数k的取值范围．解：∵|x－1|＋|x|≥|x－1－x|＝1，∴当k1时，不等式|x－1|＋|x|≤k无解，故k1.5．如果关于x的不等式|x－a|＋|x＋4|≥1的解集是全体实数，求实数a的取值范围．解：在数轴上，结合实数绝对值的几何意义可知a≤－5或a≥－3.回扣主干知识突破热点题型演练知能检测提升学科素养第一节绝对值不等式人教A版数学绝对值不等式性质的应用[例1]确定“|x－a|m且|y－a|m”是“|x－y|2m(x，y，a，m∈R)”的什么条件．[自主解答]∵|x－y|＝|(x－a)－(y－a)|≤|x－a|＋|y－a|m＋m＝2m，∴|x－a|m且|y－a|m是|x－y|2m的充分条件．取x＝3，y＝1，a＝－2，m＝2.5，则有|x－y|＝25＝2m，但|x－a|＝5，不满足|x－a|m＝2.5，故|x－a|m且|y－a|m不是|x－y|2m的必要条件．故为充分不必要条件回扣主干知识突破热点题型演练知能检测提升学科素养第一节绝对值不等式人教A版数学两数和与差的绝对值不等式的性质|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|(1)对绝对值三角不等式定理|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|中等号成立的条件要深刻理解，特别是用此定理求函数的最值时．(2)该定理可强化为||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，它经常用于证明含绝对值的不等式．回扣主干知识突破热点题型演练知能检测提升学科素养第一节绝对值不等式人教A版数学1．若不等式|x＋1|＋|x－2|≥a对任意x∈R恒成立，求a的]取值范围．解：由于|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，所以只需a≤3即可.回扣主干知识突破热点题型演练知能检测提升学科素养第一节绝对值不等式人教A版数学绝对值不等式的解法[例2](2012·新课标全国卷)已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|.(1)当a＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集；(2)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1,2]，求a的取值范围．[自主解答](1)当a＝－3时，f(x)＝－2x＋5，x≤2，1，2＜x＜3，2x－5，x≥3.当x≤2时，由f(x)≥3得－2x＋5≥3，解得x≤1；回扣主干知识突破热点题型演练知能检测提升学科素养第一节绝对值不等式人教A版数学当2＜x＜3时，f(x)≥3无解；当x≥3时，由f(x)≥3得2x－5≥3，解得x≥4；所以f(x)≥3的解集为{x|x≤1或x≥4}．(2)f(x)≤|x－4|⇔|x－4|－|x－2|≥|x＋a|.当x∈[1,2]时，|x－4|－|x－2|≥|x＋a|⇔4－x－(2－x)≥|x＋a|⇔－2－a≤x≤2－a.由条件得－2－a≤1且2－a≥2，即－3≤a≤0.故满足条件的a的取值范围为[－3,0]．回扣主干知识突破热点题型演练知能检测提升学科素养第一节绝对值不等式人教A版数学绝对值不等式的解法(1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤：①求零点；②划区间、去绝对值号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．(2)用图象法，数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法．回扣主干知识突破热点题型演练知能检测提升学科素养第一节绝对值不等式人教A版数学2．设函数f(x)＝|x－1|＋|x－a|(1)若a＝－1，解不等式f(x)≥3；(2)如果∀x∈R，f(x)≥2，求a的取值范围．解：(1)当a＝－1时，f(x)＝|x－1|＋|x＋1|，f(x)＝－2x，x－1，2，－1≤x≤1，2x，x1.作出函数f(x)＝|x－1|＋|x＋1|的图象．由图象可知，不等式的解集为xx≤－32，或x≥32.回扣主干知识突破热点题型演练知能检测提升学科素养第一节绝对值不等式人教A版数学(2)若a＝1，f(x)＝2|x－1|，不满足题设条件：若a1，f(x)＝－2x＋a＋1，x≤a，1－a，ax1，2x－a－1，x≥1f(x)的最小值为1－a；若a1，f(x)＝－2x＋a＋1，x≤1，a－1，1xa，2x－a－1，x≥a，f(x)的最小值为a－1.所以对于∀x∈R，f(x)≥2的充要条件是|a－1|≥2，所以a的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)．回扣主干知识突破热点题型演练知能检测提升学科素养第一节绝对值不等式人教A版数学3．(2011·辽宁高考)已知函数f(x)＝|x－2|－|x－5|.(1)证明：－3≤f(x)≤3；(2)求不等式f(x)≥x2－8x＋15的解集．解：(1)证明：f(x)＝|x－2|－|x－5|＝－3，x≤2，2x－7，2＜x＜5，3，x≥5.当2＜x＜5时，－3＜2x－7＜3.所以－3≤f(x)≤3.回扣主干知识突破热点题型演练知能检测提升学科素养第一节绝对值不等式人教A版数学(2)由(1)可知，当x≤2时，f(x)≥x2－8x＋15的解集为空集；当2＜x＜5时，f(x)≥x2－8x＋15的解集为{x|5－3≤x＜5}；当x≥5时，f(x)≥x2－8x＋15的解集为{x|5≤x≤6}．综上，不等式f(x)≥x2－8x＋15的解集为{x|5－3≤x≤6}．回扣主干知识突破热点题型演练知能检测提升学科素养第一节绝对值不等式人教A版数学3种方法——求解绝对值不等式的方法形如|x－a|＋|x－b|≥c(或≤c)型的不等式主要有如下解法：(1)零点分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(－∞，a]，(a，b]，(b，＋∞)(此处设ab)三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集．(2)几何法：利用|x－a|＋|x－b|c(c0)的几何意义：数轴上到点x1＝a和x2＝b的距离之和大于c的点的集合．(3)图象法：作出函数y1＝|x－a|＋|x－b|和y2＝c的图象，结合图象求解.回扣主干知识突破热点题型演练知能检测提升学科素养第一节绝对值不等式人教A版数学创新交汇——含参数的绝对值不等式的恒成立问题1．含参数的绝对值不等式的恒成立问题是高考的热点内容之一，此类问题常与二次函数、对数函数、三角函数结合命题，需要有一定的综合知识的能力．2．解答此类问题时，根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号，转化为分段函数，然后利用数形结合解决，是常用的思想方法．回扣主干知识突破热点题型演练知能检测提升学科素养第一节绝对值不等式人教A版数学[典例](2012·辽宁高考)已知f(x)＝|ax＋1|(a∈R)，不等式f(x)≤3的解集为{x|－2≤x≤1}．[解](1)由|ax＋1|≤3得－4≤ax≤2.又f(x)≤3的解集为{x|－2≤x≤1}，所以当a≤0时，不合题意．当a0时，－4a≤x≤2a，得a＝2.(1)求a的值；(2)若fx－2fx2≤k恒成立，求k的取值范围．回扣主干知识突破热点题型演练知能检测提升学科素养第一节绝对值不等式人教A版数学(2)记h(x)＝f(x)－2fx2，则h(x)＝1，x≤－1，－4x－3，－1x－12，－1，x≥－12，所以|h(x)|≤1，因此k≥1.回扣主干知识突破热点题型演练知能检测提升学科素养第一节绝对值不等式人教A版数学[名师点评]1．本题有以下创新点把绝对值不等式与集合、函数知识、恒成立问题紧密结合起来研究，尽管难度不大，但需要有一定的知识综合能力．2．解决本题的关键点解答本题的关键点：(1)先求解不等式|ax＋1|≤3，并将解集与已知解集对照求出a的值；(2)利用零点分段讨论去掉绝对值，将问题转化为恒成立问题．回扣主干知识突破热点题型演练知能检测提升学科素养第一节绝对值不等式人教A版数学3．在解决恒成立问题时应注意C≥f(x)恒成立⇔C≥f(x)max，C≤f(x)恒成立⇔C≤f(x)min.[变式训练]1．(2012·陕西高考改编)若存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，求实数a的取值范围．解：|x－a|＋|x－1|≥|a－1|，则只需要|a－1|≤3，解得－2≤a≤4.回扣主干知识突破热点题型演练知能检测提升学科素养第一节绝对值不等式人教A版数学2．(2012·苏北四市调研)已知函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|.若不等式|a＋b|＋|a－b|≥|a|f(x)对a，b∈R，且a≠0恒成立，求实数x的范围．解：由|a＋b|＋|a－b|≥|a|f(x)，且a≠0，得|a＋b|＋|a－b||a|≥f(x)．又