0001数学建模简单例子

黔南民族师范学院数学系余吉东纵观数学的发展历史，数千年来人类对于数学的研究一直是沿着纵横两个方向进行的。在纵向上，探讨客观世界在量的方面的本质和规律，发现并积累数学知识，然后运用公理化等方法建构数学的理论体系，这是对数学科学自身的研究。在横向上，则运用数学的知识去解决各门科学和人类社会生产与生活中的问题，这里首先要运用数学模型的方法建构实际问题的数学模型，然后运用数学的理论和方法导出结果，再返回原问题实现实际问题的解决，这是对数学科学应用的研究。“科学技术是第一生产力”这一重要的科学论断被越来越多的人所接受。在西方国家的国民经济增长中百分之七十以上依靠新科学技术。我们所处的信息时代的一个重要特点是数学的应用向一切领域渗透，高科技与数学的关系日益密切，产生了许多与数学相结合的新学科，如数学化学、数学生物学、数学地质学、数学社会科学等等。当今社会日益数学化，一些有远见的科学家就曾深刻指出：“信息时代高科技的竞争本质上是数学的竞争。”“当今如此受到称颂的‘高技术’本质上是一种数学技术”。科学的数学化是当代科学发展的一个主要趋向，它已经在不同的程度上涉及一切科学领域和人类活动的各个方面。数学模型是数学科学联结其他非数学科学的中介和桥梁，它不仅是对实际问题的数学描述，而且是对实际问题进行理论分析和科学研究的有力工具。因此，建立数学模型或数学建模是发展科学和解决实际问题首先需要解决的关键课题，其内容十分丰富、广泛，目前已发展为一门新学科。从包汤圆（饺子）说起杀羊方案相遇问题测量电阻比赛场次气象预报问题黄灯应当亮多久砖块延伸寻找黑匣子舰艇的会合价格竞争遗传模型通常，1公斤面，1公斤馅，包100个汤圆（饺子）今天，1公斤面不变，馅比1公斤多了，问应多包几个（小一些），还是少包几个（大一些）？问题圆面积为S的一个皮，包成体积为V的汤圆。若分成n个皮，每个圆面积为s，包成体积为v。V和nv哪个大?Ssss…Vvvv(共n个)从包汤圆（饺子）说起定性分析V比nv大多少?定量分析从包汤圆（饺子）说起从包汤圆（饺子）说起假设1.皮的厚度一样2.汤圆(饺子)的形状一样模型应用若100个汤圆（饺子）包1公斤馅,则50个汤圆(饺子)可以包公斤馅R~大皮的半径；r~小皮的半径3221,RkVRkS3221,rkvrksnsSnvnvnV)(2/3kSV2/3ksvvnV2/3V是nv是倍n1.4返回问题杀羊方案现有26只羊，要求7天杀完且每天必须杀奇数只，问各天分别杀几只？分析：1).这是一个有限问题，解决此类问题的一类方法是枚举，你可以试试。2).依题意，设第i天杀)(12为自然数iikk只，则所提问题变为在自然数集上求解方程7126)12(iik于是，我们有了该问题的数学语言表达——数学模型求解：建模：用反证法容易证明本问题的解不存在。杀羊方案返回例某人平时下班总是按预定时间到达某处，然然后他妻子开车接他回家。有一天，他比平时提早了三十分钟到达该处，于是此人就沿着妻子来接他的方向步行回去并在途中遇到了妻子，这一天，他比平时提前了十分钟到家，问此人共步行了多长时间？似乎条件不够哦。。换一种想法，问题就迎刃而解了。假如他的妻子遇到他后仍载着他开往会合地点，那么这一天他就不会提前回家了。提前的十分钟时间从何而来？显然是由于节省了从相遇点到会合点，又从会合点返回相遇点这一段路的缘故，故由相遇点到会合点需开5分钟。而此人提前了三十分钟到达会合点，故相遇时他已步行了二十五分钟。请思考一下，本题解答中隐含了哪些假设？相遇问题例某人第一天由A地去B地，第二天由B地沿原路返回A地。问：在什么条件下，可以保证途中至少存在一地，此人在两天中的同一时间到达该地。分析本题多少有点象数学中解的存在性条件及证明，当然，这里的情况要简单得多。假如我们换一种想法，把第二天的返回改变成另一人在同一天由B去A，问题就化为在什么条件下，两人至少在途中相遇一次，这样结论就很容易得出了：只要任何一人的到达时间晚于另一人的出发时间，两人必会在途中相遇。（请自己据此给出严格证明）例某人早8时从山下旅店出发沿一条路径上山，下午5时到达山顶并留宿，次日早8时沿同一路径下山，下午5时回到旅店，则这人在两天中的同一时刻经过途中的同—地点，为什么?解法一：将两天看作一天，一人两天的运动看作一天两人同时分别从山下和山顶沿同一路径相反运功，因为两人同时出发，同时到达目的地，又沿向一路径反向运动，所以必在中间某一时刻t两人相遇，这说明某人在两天中的同一时刻经过路途中的同一地点。解法二：以时间t为横坐标，以沿上山路线从山下旅店到山顶的路程x为纵坐标，从山下到山顶的总路程为d;严格的数学论证：令思考题：有一边界形状任意的蛋糕，兄妹俩都想吃，妹妹指着蛋糕上的一点P，让哥哥过点P切开一人一半，能办到吗?返回例在一摩天大楼里有三根电线从底层控制室通向顶楼，但由于三根电线各处的转弯不同而有长短，因此三根电线的长度均未知。现在工人师傅为了在顶楼安装电气设备，需要知道这三根电线的电阻。如何测量出这三根电线的电阻?测量电阻由三元一次线性方程组解出x,y,z即得三根电线的电阻。说明：此问题的难点也是可贵之处是用方程“观点”、”立场”去分析，用活的数学思想使实际问题转到新创设的情景中去。返回例37支球队进行冠军争夺赛，每轮比赛中出场的每两支球队中的胜者及轮空者进入下一轮，直至比赛结束。问共需进行多少场比赛？36112591812224210218236一般思维：逆向思维：每场比赛淘汰一名失败球队，只有一名冠军，即就是淘汰了36名球队，因此比赛进行了36场。比赛场次返回例气象预报问题在气象台A的正西方向300km处有一台风中心，它以40km/h的速度向东北方向移动；根据台风的强度，在距其中心250km以内的地方将受到影响，问多长时间后气象台所在地区将遭受台风的影响?持续时间多长?此问题是某气象台所遇到的实际问题，为了搞好气象预报，现建立解析几何模型加以探讨。以气象台A为坐标原点建立平而直角坐标系，设台风中心为B，如图气象预报问题根据题意，A点的坐标为(-300，0)，单位为km．台风中心的运动轨迹为直线BC，这里的∠CBA＝450，当台风中心在运动过程中处于以A为圆心、半径为250km的圆内(即MN上)时，气象台A所在地区将遭受台风的影响。因为圆的方程为：直线BC的方程为：其中参数t为时间(单位为h)。当台风中心处于圆内时，有：解得所以，大约在2h以后气象台A所在地区将会遭受台风的影响，持续时间大约为6．6h。返回•例交通灯在绿灯转换成红灯时，有一个过渡状态——亮一段时间的黄灯。请分析黄灯应当亮多久。设想一下黄灯的作用是什么，不难看出，黄灯起的是警告的作用，意思是马上要转红灯了，假如你能停住，请立即停车。停车是需要时间的，在这段时间内，车辆仍将向前行驶一段距离L。这就是说，在离街口距离为L处存在着一条停车线（尽管它没被画在地上），见图。对于那些黄灯亮时已过线的车辆，则应当保证它们仍能穿过马路。DL黄灯应当亮多久马路的宽度D是容易测得的，问题的关键在于L的确定。为确定L，还应当将L划分为两段：L1和L2。其中L1是司机在发现黄灯亮及判断应当刹车的反应时间内驶过的路程，L2为刹车制动后车辆驶过的路程。L1较容易计算，交通部门对司机的平均反应时间t1早有测算，反应时间过长将考不出驾照），而此街道的行驶速度v也是交管部门早已定好的，目的是使交通流量最大，可另建模型研究，从而L1=v*t1。刹车距离L2既可用曲线拟合方法得出，也可利用牛顿第二定律计算出来（留作习题）。黄灯究竟应当亮多久现在已经变得清楚多了。第一步，先计算出L应多大才能使看见黄灯的司机停得住车。第二步，黄灯亮的时间应当让已过线的车顺利穿过马路，即T至少应当达到（L+D）/v。DL返回例将形状质量相同的砖块一一向右往外叠放，欲尽可能地延伸到远方，问最远可以延伸多大距离。设砖块是均质的，长度与重量均为1，其重心在中点1/2砖长处，现用归纳法推导。Zn(n－1)n(n＋1)由第n块砖受到的两个力的力矩相等，有：1/2-Zn=(n－1)Zn故Zn=1/(2n)，从而上面n块砖向右推出的总距离为，nkk121112121,时nnknkn故砖块向右可叠至任意远，这一结果多少有点出人意料。砖块延伸返回例飞机失事时，黑匣子会自动打开，发射出某种射线。为了搞清失事原因，人们必须尽快找回匣子。确定黑匣子的位置，必须确定其所在的方向和距离，试设计一些寻找黑匣子的方法。由于要确定两个参数，至少要用仪器检测两次，除非你事先知道黑匣子发射射线的强度。寻找黑匣子方法一点光源发出的射线在各点处的照度与其到点光源的距离的平方成反比，即2k/dI黑匣子所在方向很容易确定，关键在于确定距离。设在同一方向不同位置检测了两次，测得的照度分别为I1和I2，两测量点间的距离为a，则有22212)(//dadadkdkII112/IIad方法二在方法一中，两检测点与黑匣子位于一直线上，这一点比较容易做到，主要缺点是结果对照度测量的精度要求较高，很少的误差会造成结果的很大变化，即敏感性很强，现提出另一方法，在A点测得黑匣子方向后，到B点再测方向，AB距离为a，∠BAC=α，∠ABC=β，利用正弦定理得出d=asinα/sin(α+β)。需要指出的是，当黑匣子位于较远处而α又较小时，α+β可能非常接近π（∠ACB接近于0），而sin（α+β）又恰好位于分母上，因而对结果的精确性影响也会很大，为了使结果较好，应使a也相对较大。BACaαβ返回舰艇的会合某航空母舰派其护卫舰去搜寻其跳伞的飞行员，护卫舰找到飞行员后，航母通知它尽快返回与其汇合并通报了航母当前的航速与方向，问护卫舰应怎样航行，才能与航母汇合。舰艇的会合12,11222aabrbaah令：则上式可简记成：222rh-yx)(A(0,b)XYB(0,-b)P(x,y)O航母护卫舰θ1θ2])([)(22222b-yxabyx即：22222222)1(411ababaayx可化为：记v2/v1=a通常a1222|AP|a|BP|则汇合点p必位于此圆上。bxy)(tan1（护卫舰的路线方程）bxy)(tan2（航母的路线方程）即可求出P点的坐标和θ2的值。本模型虽简单，但分析极清晰且易于实际应用返回价格竞争问题：两个加油站位于同一条公路旁，为在公路上行驶的汽车提供同样的汽油，彼此竞争激烈．一天，甲加油站推出“降价销售”吸引顾客．结果造成乙加油站的顾客被拉走，影响了乙站的赢利．利润是受销价和销售量的影响和控制．他们为了挽回损失采取对策，决定也降低销售价以争取顾客．乙加油站如何决定汽油的价格，既可以同甲站竞争，又可以获取尽可能高的利润．分析：在这场“价格战”中，我们将站在乙加油站的立场上为其制定价格对策．因此需要组建一个模型来描述甲站汽油价格下调后乙加油站销售量的变化情况．为描述价格和汽油销售量之间的关系，我们引入如下一些指标：价格竞争影响乙加油站汽油销售量的因素(1)甲加油站汽油降价的幅度；(2)乙加油站汽油降价的幅度；(3)两站之间汽油销售价格之差．在这场“价格战”中，我们假设汽油的正常销售价格保持定常不变，并且假定以上各因素对乙加油站汽油销售量的影响是线性的．于是乙加油站的汽油销售量可以由下式给出返回遗传模型1．问题分析所谓常染色体遗传，是指后代从每个亲体的基因中各继承一个基因从而形成自己的基因型.如果所考虑的遗传特征是由两个基因A和B控制的，那么就有三种可能的基因型：AA，AB和BB.例如，金鱼草是由两个遗传基因决定它开花的颜色，AA型开红花，AB型的开粉花，而BB型的开白花.这里的AA型和AB型表示了同一外部特征(红色)，则人们认为基因A支配基因B，也说成基因B对于A是隐性的.当一个亲体的基因型为AB，另一个亲体的基因型为BB，那么后代便可从BB型中得到基因B，从A