高考总复习_集合与函数概念知识点及习题

用心爱心专心第一章集合与函数概念知识网络第一讲集合★知识梳理一：集合的含义及其关系1.集合中的元素具有的三个性质:确定性、无序性和互异性;2.集合的3种表示方法：列举法、描述法、韦恩图；3.集合中元素与集合的关系：文字语言符号语言属于不属于4.常见集合的符号表示数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集复数集符号NN或NZQRC集合集合表示法集合的运算集合的关系列举法描述法图示法包含相等子集与真子集交集并集补集函数函数及其表示函数基本性质单调性与最值函数的概念函数的奇偶性函数的表示法映射映射的概念集合与函数概念用心爱心专心二：集合间的基本关系表示关系文字语言符号语言相等集合A与集合B中的所有元素都相同BA且ABBA子集A中任意一元素均为B中的元素BA或AB真子集A中任意一元素均为B中的元素，且B中至少有一元素不是A的元素AB空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集A，B（B）三：集合的基本运算①两个集合的交集:AB=xxAxB且;②两个集合的并集:AB=xxAxB或;③设全集是U,集合AU,则UCAxxUxA且交并补{|,}ABxxAxB且{|,}ABxxAxB或UCAxxUxA且方法:常用数轴或韦恩图进行集合的交、并、补三种运算.★重、难点突破重点：集合元素的特征、集合的三种表示方法、集合的交、并、补三种运算。难点：正确把握集合元素的特征、进行集合的不同表示方法之间的相互转化，准确进行集合的交、并、补三种运算。重难点：1.集合的概念掌握集合的概念的关键是把握集合元素的三大特性，要特别注意集合中元素的互异性，在解题过程中最易被忽视，因此要对结果进行检验；2．集合的表示法（1）列举法要注意元素的三个特性；（2）描述法要紧紧抓住代表元素以及它所具有的性质，如)(xfyx、)(xfyy、)(),(xfyyx等的差别，如果对集合中代表元素认识不清，将导致求解错误：用心爱心专心问题：已知集合221,1,9432xyxyMxNy则MN=（）A.；B.)2,0(),0,3(；C.3,3；D.3,2[错解]误以为集合M表示椭圆14922yx，集合N表示直线123yx，由于这直线过椭圆的两个顶点，于是错选B[正解]C；显然33xxM，RN，故]3,3[NM(3)Venn图是直观展示集合的很好方法，在解决集合间元素的有关问题和集合的运算时常用Venn图。3．集合间的关系的几个重要结论（1）空集是任何集合的子集，即A（2）任何集合都是它本身的子集，即AA（3）子集、真子集都有传递性，即若BA，CB，则CA4．集合的运算性质（1）交集：①ABBA；②AAA；③A；④ABA，BBA⑤BAABA；（2）并集：①ABBA；②AAA；③AA；④ABA，BBA⑤ABABA；（3）交、并、补集的关系①ACAU；UACAU②)()()(BCACBACUUU；)()()(BCACBACUUU★热点考点题型探析考点一：集合的定义及其关系题型1：集合元素的基本特征[例1]（2008年江西理）定义集合运算：|,,ABzzxyxAyB．设1,2,0,2AB，则集合AB的所有元素之和为（）A．0；B．2；C．3；D．6[解题思路]根据AB的定义，让x在A中逐一取值，让y在B中逐一取值，xy在值就是AB用心爱心专心的元素[解析]：正确解答本题,必需清楚集合AB中的元素，显然，根据题中定义的集合运算知AB=4,2,0，故应选择D【名师指引】这类将新定义的运算引入集合的问题因为背景公平，所以成为高考的一个热点，这时要充分理解所定义的运算即可，但要特别注意集合元素的互异性。题型2：集合间的基本关系[例2]．数集ZnnX,)12(与ZkkY,)14(之的关系是（）A．XY；B．YX；C．YX；D．YX[解题思路]可有两种思路：一是将X和Y的元素列举出来，然后进行判断；也可依选择支之间的关系进行判断。[解析]从题意看，数集X与Y之间必然有关系，如果A成立，则D就成立，这不可能；同样，B也不能成立；而如果D成立，则A、B中必有一个成立，这也不可能，所以只能是C【名师指引】新定义问题是高考的一个热点，解决这类问题的办法就是严格根据题中的定义，逐个进行检验，不方便进行检验的，就设法举反例。[新题导练]1．第二十九届夏季奥林匹克运动会将于2008年8月8日在北京举行，若集合A={参加北京奥运会比赛的运动员}，集合B={参加北京奥运会比赛的男运动员}，集合C={参加北京奥运会比赛的女运动员}，则下列关系正确的是（）A．BAB.CBC.CBAD.ACB[解析]D；因为全集为A，而CB=全集=A2．(2006•山东改编）定义集合运算:ByxxyyxBA,,zA22,设集合1,0A,3,2B,则集合BA的所有元素之和为[解析]18，根据BA的定义，得到12,6,0AB，故BA的所有元素之和为183．(2007·湖北改编）设P和Q是两个集合，定义集合QPQxPxx且,|，如果1log3xxP，1xxQ,那么QP等于[解析]31xx；因为)3,0(1log3xxP，)1,1(1xxQ，所以)3,1(QP4．研究集合42xyxA，42xyyB，4),(2xyyxC之间的关系[解析]A与C，B与C都无包含关系，而BA；因为42xyxA表示42xy的定义域，故RA；42xyyB表示函数42xy的值域，),4[B；4),(2xyyxC表示曲线42xy上的点集，可见，BA，而A与C，B与C都无包含关系考点二：集合的基本运算[例3]设集合0232xxxA，0)5()1(222axaxxB用心爱心专心（1）若2BA，求实数a的值；（2）若ABA，求实数a的取值范围若2BA，[解题思路]对于含参数的集合的运算，首先解出不含参数的集合，然后根据已知条件求参数。[解析]因为2,10232xxxA，（1）由2BA知，B2，从而得0)5()1(4222aa，即0342aa，解得1a或3a当1a时，2,2042xxB，满足条件；当3a时，20442xxxB，满足条件所以1a或3a（2）对于集合B，由)3(8)5(4)1(422aaa因为ABA，所以AB①当0，即3a时，B，满足条件；②当0，即3a时，2B，满足条件；③当0，即3a时，2,1AB才能满足条件，由根与系数的关系得725521)1(22122aaaa，矛盾故实数a的取值范围是3a【名师指引】对于比较抽象的集合，在探究它们的关系时，要先对它们进行化简。同时，要注意集合的子集要考虑空与不空,不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况.[新题导练]6．若集合RxyySx,3，RxxyyT,12，则TS是（）A.S；B.T；C.；D.有限集[解析]A；由题意知，集合RxyySx,3表示函数Rxyx,3的值域，故集合),0(S；RxxyyT,12表示函数Rxxy,12的值域，),1[T，故STS7．已知集合2),(yxyxM，4),(yxyxN，那么集合NM为（）用心爱心专心A.1,3yx；B.)1,3(；C.1,3；D.)1,3([解析]D；NM表示直线2yx与直线4yx的交点组成的集合，A、B、C均不合题意。8．集合{|10}Axax,2|320Bxxx,且ABB,求实数a的值.[解析]10,1,2；先化简B得,1,2B.由于ABBAB,故1A或2A.因此10a或210a,解得1a或12a.容易漏掉的一种情况是:A的情形,此时0a.故所求实数a的值为10,1,2.备选例题1：已知1xyyM，1),(22yxyxN，则NM中的元素个数是（）A.0；B.1；C.2；D.无穷多个[解析]选A;集合M表示函数1xy的值域,是数集,并且RM,而集合N表示满足122yx的有序实数对的集合,即表示圆122yx上的点,是点集。所以，集合M与集合N中的元素均不相同，因而NM，故其中元素的个数为0[误区分析]在解答过程中易出现直线1xy与圆122yx有两个交点误选C；或者误认为1xy中Ry，而122yx中11y，从而]1,1[NM有无穷多个解而选D。注意，明确集合中元素的属性（是点集还是数集）是准确进行有关集合运算的前提和关键。备选例题2：已知集合A和集合B各有12个元素，BA含有4个元素，试求同时满足下面两个条件的集合C的个数：(Ⅰ)CBA，且C中含有3个元素；(Ⅱ)AC（表示空集）[解法一]因为A、B各有12个元素，BA含有4个元素，因此，BA的元素个数是2041212故满足条件(Ⅰ)的集合C的个数是320C上面集合中，还满足AC的集合C的个数是38C因此，所求集合C的个数是108438320CC[解法二]由题目条件可知，属于B而不属于A的元素个数是8412因此，在BA中只含有A中1个元素的所要求的集合C的个数为28112CC含有A中2个元素的所要求的集合C的个数为18212CC含有A中3个元素的所要求的集合C的个数为312C所以，所求集合C的个数是10843121821228112CCCCC用心爱心专心★抢分频道基础巩固训练：1．（09年吴川市川西中学09届第四次月考）设全集R,(3)0,1UAxxxBxx,则右图中阴影部分表示的集合为()A．0xx；B．30xx；C．31xx；D．1xx[解析]C；图中阴影部分表示的集合是BA，而03xxA，故13xxBA2.（韶关09届高三摸底考）已知2(1)0,log0AxxxBxx则AB=A．(0,1)；B．(0,2)；C．)0,(；D．(,0)(0,[解析]A；因为10xxA，10xxB，所以10xxBA3.（苏州09届高三调研考）集合{1,0,1}的所有子集个数为[解析]8；集合{1,0,1}的所有子集个数为8234.（09年无锡市高三第一次月考）集合A中的代表元素设为x，集合B中的代表元素设为y，若Bx且Ay，则A与B的关系是[解析]AB或AB；由子集和交集的定义即可得到结论5．(2008年天津)设集合RTSaxaxTxxS,8|,32|，则a的取值范围是（）A．13a；B．13aC．3a或1a；D．3a或1a[解析]A；5132|xxxxxS或，8|axaxT，RTS所以581aa，从而得13a综合提高训练：6．01mmP,恒成立对于任意实数xmxmxRmQ0442则下列关系中立的是()A．PQ;B．QP;C．QP;D．QP[解析]A；当0m时，有0)4(4)4(02mmm，即01mR