SARS传播的数学模型

SARS传播的数学模型设计人：高晶晶张琳郑博1问题描述•SARS（SevereAcuteRespiratorySyndrome，严重急性呼吸道综合症,俗称：SARS型肺炎）是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。SARS的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响，我们从中得到了许多重要的经验和教训，认识到定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。•1、对早期模型，评价其合理性和实用性。•2、建立自己的模型，特别要说明怎样才能建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，这样做的困难在哪里？•3、收集SARS对经济某个方面影响的数据，建立相应的数学模型并进行预测。2基本假设•1)假设所考查人群的总数恒定，且无病源的输入和输出。•2)将所考查人群分为现有病人、治愈者、死亡者、正常人四类。•3)假设已治愈的患者二度感染的概率为0，即患者具有免疫能力，不考虑其再感染。•4)假设所有患者均为“他人输入型”患者，即不考虑人群个体自身发病。•5)假设各类人群在人群总体中分布均匀。•6)假设已被隔离的人群之间不会发生交叉感染。•7)不考虑隐性SARS患者，即只要感染上SARS病毒的患者最终都会表现出症状.3符号说明•X(t):现有病人数•Y(t):累计病人数•R(t):累计治愈人数•D(t):累计死亡人数•T:采取强制措施的时间•L1:病人的死亡率•L2:病人的治愈率•P:采取控制措施后的隔离强度•R(t):未被隔离的病人平均每人每天感染的人数4问题的分析•把人群分为四类：正常人群、患病人群、治愈人类和死亡人群，分别用H(t)、X(t)、R(t)和D(t)表示。•在SARS爆发初期，由于整个社会对SARS病毒传播的速度和危害程度认识不够，政府和公众对之不予重视，没有采取任何有效的隔离控制措施。当疫情蔓延到4月20号，政府与社会开始采取强制措施，对SARS进行预防和控制。•因此SARS的传播规律可分为“控前”和“控后”两个阶段近乎自然的传播模式控制后政府控制后的传播模式控制前各类人的转化关系•控前模型为近似于自然传播时的S-I-R模型，控后模型为介入隔离强度后的微分方程模型，两个模型中各类人的转化关系如图5模型的建立控前现有病人数•假设某地区产生第一例SARS病人的时间为T0，在（T0,T）时段，是近乎于自由传播的时段，隔离强度为0，每个病人每天感染人数为一常数。•考察(t,△t)时段内现有病人数的变化，应该等于△t时间段新增的病人数减去死亡和治愈的人数。新增病人现有病人死亡和治愈病人•现有病人数的变化＝新增病人数－(死亡人数＋治愈人数)。我们设r为每个未被隔离的病人每天感染的人数，L1和L2分别为治愈率和死亡率。则有)()()()()()(t2211ttXLttXLtttXLttXLtttrXtrtX＝病人数治愈人数＝治愈率＝病人数死亡人数＝死亡率＝时间内感染人数每人在新增病人数＝病人数•于是有•当△t→0时，•累计死亡人数•死亡累计人数的变化＝新增死亡人数•当△t→0时)()()()()()()()()()(2121tXLLtrXttXttXttXLLttrXtXttX)()()()(21tXLLtrXdttdXttXLtDttD)()()(1)()(1tXLdttdD•累计治愈人数•治愈累计人数的变化＝新增治愈人数。••累计病人数•累计病人数＝现有病人数＋累计死亡人数＋累计治愈人数ttXLtRttR)()()(2)()(2tXLdttdR)()()()(tRtDtXtYSARS传播的控前模型•初始值)()()()()()()()()()()()(2121tRtDtXtYtXLdttdRtXLdttdDtXLLtrXdttdX0)0(0)0(1)0(1)0(RDYX控后模型•控后隔离强度从控前的0变为p。未被隔离的病人平均每人每天感染的人数r随时间逐渐变化，它从初始的最大值a+b逐渐减小至最小值a。设每个未被隔离的病人每天感染的人数•其中，用来反映r(t)的变化快慢，可以用附件中的数据估计出它的大小。•类似于控前模型的分析，我们来考虑在t到t+△t时段内各类人群的变化情况。)()(Ttbeatr•现有病人数•现有病人数的变化＝新增病人数－(死亡人数＋治愈人数)。与控前模型一样，用和表示治愈率和死亡率。则有)()()()()()()1()()()1(t2211ttXLttXLtttXLttXLtttXtrpttrtXp＝病人数治愈人数＝治愈率＝病人数死亡人数＝死亡率＝时间内感染人数每人在新增病人数＝病人数•于是有•当△t→0时，•累计死亡人数•△t时间内死亡累计人数的变化等于新增死亡人数。•当△t→0时)()()()()1()()()()()()()1()()(2121tXLLtXtrpttXttXttXLLttXtrptXttX)()()()()1()(21tXLLtXtrpdttdXttXLtDttD)()()(1)()(1tXLdttdD•累计治愈人数•治愈累计人数的变化＝新增治愈人数。••累计病人数•累计病人数＝现有病人数＋累计死亡人数＋累计治愈人数ttXLtRttR)()()(2)()(2tXLdttdR)()()()(tRtDtXtYSARS传播的控后模型•初始值X(T)取控前模型的最后一个值。TttRtDtXtYtXLdttdRtXLdttdDtXLLtXtrpdttdX,)()()()()()()()()()()()()1()(21216.0245.0)(babeatrt6.模型的求解：6.1控前模型的求解对于现有病人数，我们可以根据SARS传播的控前方程(5.8)，求得它的解析解为(5.19)其中，(5.20)再将分别代入SARS传播的控后方程(5.17)，就可以给出、以及的数值解。再将分别代入SARS传播的控后方程(5.17)，就可以给出、以及的数值解。1)0(0695.0053.055.021XLLrTeXtXtLLrt,)0()()(216.2控后模型的求解同理，我们求得现有病人数得解析解(5.21)其中，(5.22)我们已经分析过，为一客观参数。由于3月5日第一例SARS进入我国，是我们记时的起点；4月20日即为的情况。和为待估计的参数，现在来估计和。根据附件中的数据，将各时刻累计病人数减去累计治愈人数再减去死亡人数，可得到现有病人数，估计和的值。估计时我们按均方最小误差原则，计算出其估计值分别为：，。TteTXtXTtebPTtLLap,)()()1()1()]()1[()(21476.0245.0Tbapp%65P02.0p至此即为关于的一元确定函数。我们根据以上求出的解，作出了现有病人数、累计死亡人数、累计治愈人数、累计病人数的曲线图，如图4所示。其中，打点的是实际公布数据。)(tXt图4理论值与实际值对照图从图4中可以看出，方程的解与实际数据吻合的很好，说明我们的参数和模型都是正确可靠的。7模型检验与结果分析7.1灵敏度分析根据我们所建的模型，卫生部门通常可以采取两种方案对疫情进行有效控制。一是改变控制时间点；二是改变控制强度。现在我们分别考察他们对模型的影响。隔离强度对的模型影响图5隔离强度对的模型影响隔离强度累计病人数55％699665％282775％1339p表1由图5和表1可以看出：隔离强度75%与隔离强度65%相比，可使发病总人数减小1500人左右。隔离强度65%与隔离强度55%相比，可使发病总人数减小4000人左右。说明隔离强度，对疫情的传播具有极大的敏感度和相关性。控制时间对的模型影响图6控制时间对的模型影响表2控制时间累计病人数延后5天5382延后4天4729延后2天37334月20日2879提前2天2764提前4天1576提前5天1621T由图6和表2可以看出：控制时间的提前或延后，对累计病人影响显著。说明控制时间T，对疫情的传播具有极大的敏感度和相关性。7.2收敛性讨论收敛的判别标准为当时，各类人群数是否收敛。针对该模型，我们要判别控后模型方程组解的收敛性，X(t)的取值至关重要,D(t)、R(t)以及Y(t)的收敛性都直接依赖于X(t)是否收敛到0。将控后模型中X(t)的解析解取极限得:tbPTtLLaptteTXtX)1()]()1[(21lim)()(lim(5.23)t该试为t的指数函数，其收敛性取决于自变量的系数。当时，，模型收敛，疫情能够得到控制。当，，模型发散，疫情难以控制。0)1(21LLap0)(limtXt0)1(21LLap0)(limtXt分析发现，模型收敛得条件为:aLLp211(5.24)其中，245.0a0.053L10695.02L所以，要使疫情得到控制，必须使隔离强度。%50p7.3计算机模拟检验为了检验模型求解结果的正确性，我们进行了仿真模拟。模拟结果如图7所示。图7计算机模拟图从以上曲线可以看出：计算机模拟结果与模型计算结果有着良好的一致性。本模型是可以信赖的SARS传播模型。8模型的评价8.1模型的优点本文中所建立的是一个连续的微分方程模型，它从机理上准确地描述了每一时刻的现有病人、治愈者、死亡者的变化规律，消除了离散模型在处理非整数天数时的困难，机理合理、方法直观、实用，结果与实际数据拟合的很好。该模型根据附录给出的数据设置变量，各变量之间相互影响，关系明确；同时设定的参数合情合理，意义明确，消除了人为因素对模型结果的影响。建立的微分方程稳定性较好，给出了模型的收敛性条件，即隔离强度达到多少才能控制疫情，对政府的决策有指导意义。该模型针对不同隔离强度进行分段研究，能够方便有效的预测疫情趋势。欲对某疫区进行预测，只需对参数进行估计，给出初值带入方程即可。8.2模型的缺点为了简化模型的复杂性，我们设定隔离强度，治愈率、死亡率等参数在一定阶段不发生变化，而实际情况下，随着感染人数的减少，其会发生变化，还需要针对具体情况做具体分析。模型给出的把人群的每一个个体、每一个地区视为相同的，忽略了性别、年龄结构以及地区差异对隔离措施强度、控制时间等参数的影响等，而事实上，个体免疫力与个体年龄因素有关的，同时不同地域对疫情的趋势也有影响，有待改进。我们忽略了人口流动给该地区传染病带来的影响，而实际上SARS的传染源多为输入性病人。如果考虑人口流动，模型要加以改进。9问题的推广与应用传染病对人类的威胁与祸害由来已久，自从人类开始向文明社会迈进，病毒就已不断的袭击人类。当某种传染传染病病菌首次侵入缺乏患病经验的种群时，往往会爆发大规模的传入病，造成严重后果。虽然随着人类的医学研究的发展与突破，已经能够有效的防治和控制许多传染病，但是由于病毒的遗传与变异，可能会出现新的突发性传染病。如2003年SARS这一突发疫情袭击了世界上20多个国家和地区，我国首当其冲。虽然早期的临床经验对之有初步的认识，但对它的危害、传染性都没有完全认清，它的传播途径、传染性等都需要进一步研究。同时突发疾病的不确定性严重影响了使我国经济的发展和人们生活、学习和工作各方面，更重要得是SARS带来的恐慌和政府为了预防传播扩散采取的措施改变了原有社会的消费、投资、生产等行为模式，对国民经济各方面如旅游、社会总需求、进出口贸易等造成的直接损失总额达到2100亿元，加上间接影响远远不止2100亿元。大面积、大规模突发性传染病具有蔓延迅速、来势凶猛、难以预防与治疗的特点。传染病流行过程的研究与其它学科有所不同，不能通过在人群