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面积类1、已知椭圆：与正半轴、正半轴的交点分别为，动点是椭圆上任一点，求面积的最大值。【解析】试题分析：先求顶点坐标，再求直线方程，根据椭圆的参数方程表示出点的坐标，然后再求点到直线的距离，表示出面积，然后求最值试题解析：依题意，，，直线：，即设点的坐标为，则点到直线的距离是，当时，，所以面积的最大值是考点：椭圆的参数方程、点到直线的距离、三角函数求最值2、设点A（，0），B（，0），直线AM、BM相交于点M，且它们的斜率之积为.（Ⅰ）求动点M的轨迹C的方程；（Ⅱ）若直线过点F（1，0）且绕F旋转，与圆相交于P、Q两点，与轨迹C相交于R、S两点，若|PQ|求△的面积的最大值和最小值（F′为轨迹C的左焦点）.【解析】（Ⅰ）设，则化简轨迹的方程为（Ⅱ）设，的距离，，将代入轨迹方程并整理得：设，则，设，则上递增，，考点：椭圆，根与系数关系，基本不等式，坐标表示3、已知椭圆的右焦点为，上顶点为B，离心率为，圆与轴交于两点（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，过点与圆相切的直线与的另一交点为，求的面积【解析】（Ⅰ）由题意，，，，∵得，,则，，得，,则（Ⅱ）当时，，，得在圆F上，直线，则设由得，又点到直线的距离，得的面积考点：椭圆，根与系数关系，坐标表示等，考查了学生的综合化简计算能力4、设椭圆的左焦点为，离心率为，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.(1)求椭圆方程.(2)过点的直线与椭圆交于不同的两点，当面积最大时，求.【解析】(1)由题意可得，，又，解得，所以椭圆方程为(2)根据题意可知，直线的斜率存在，故设直线的方程为，设，由方程组消去得关于的方程由直线与椭圆相交于两点，则有，即得由根与系数的关系得故又因为原点到直线的距离，故的面积令则，所以当且仅当时等号成立，即时，考点：1.椭圆方程；2.椭圆与直线综合；3.基本不等式.5、已知椭圆的左、右焦点分别为、，P为椭圆上任意一点，且的最小值为.（1）求椭圆的方程；（2）动圆与椭圆相交于A、B、C、D四点，当为何值时，矩形ABCD的面积取得最大值？并求出其最大面积.【解析】（1）因为P是椭圆上一点，所以.在△中，，由余弦定理得.因为，当且仅当时等号成立.因为，所以.因为的最小值为，所以，解得.又，所以.所以椭圆C的方程为.（2）设，则矩形ABCD的面积.因为，所以.所以.因为且，所以当时，取得最大值24.此时，.所以当时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为.考点：椭圆的定义、余弦定理、二次函数6、已知、分别是椭圆:的左、右焦点，点在直线上，线段的垂直平分线经过点．直线与椭圆交于不同的两点、，且椭圆上存在点，使，其中是坐标原点，是实数．（Ⅰ）求的取值范围；（Ⅱ）当取何值时，的面积最大？最大面积等于多少？【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）当时，的面积最大，最大面积为.【解析】（Ⅰ）设椭圆的半焦距为，根据题意得解方程组得∴椭圆的方程为．由，得．根据已知得关于的方程有两个不相等的实数根.∴，化简得：．设、，则．（1）当时，点、关于原点对称，，满足题意；（2）当时，点、关于原点不对称，.由，得即∵在椭圆上，∴，化简得：．∵，∴．∵，∴，即且．综合（1）、（2）两种情况，得实数的取值范围是．（Ⅱ）当时，，此时，、、三点在一条直线上，不构成.∴为使的面积最大，.∵∴.∵原点到直线的距离，∴的面积．∵，，∴.∴．∵，∴．“”成立，即．∴当时，的面积最大，最大面积为考点：直线和椭圆的相关问题，综合考查考生的运算求解能力.7、设椭圆的离心率，是其左右焦点，点是直线（其中）上一点，且直线的倾斜角为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若是椭圆上两点，满足，求（为坐标原点）面积的最小值.【解析】（Ⅰ）则,故（Ⅱ）当直线的斜率不存在时，可设代入椭圆得，此时，,当直线的斜率存在时，设代入椭圆得：,设则由得：当时，取等号，又，故的最小值为.考点：直线与椭圆的位置关系综合应用.8、已知椭圆的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为的菱形的四个顶点.（I）求椭圆的方程；（II）直线与椭圆交于，两点，且线段的垂直平分线经过点，求（为原点）面积的最大值.【解析】(I)因为椭圆的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为的菱形的四个顶点,所以,椭圆的方程为(II)设因为的垂直平分线通过点，显然直线有斜率，当直线的斜率为时,则的垂直平分线为轴,则所以因为，所以，当且仅当时，取得最大值为当直线的斜率不为时,则设的方程为所以，代入得到当,即方程有两个不同的解又，所以，又，化简得到代入，得到又原点到直线的距离为所以化简得到因为，所以当时，即时，取得最大值综上，面积的最大值为．考点：直线与圆锥曲线的位置关系．9、如图，A,B是椭圆的两个顶点,，直线AB的斜率为．求椭圆的方程；（2）设直线平行于AB，与x,y轴分别交于点M、N，与椭圆相交于C、D，证明：的面积等于的面积．【解析】（1）解：依题意，，，，整理得解得．所以椭圆的方程为．（2）证明：由于//，设直线的方程为，将其代入，消去，整理得．设，．所以证法一：记△的面积是，△的面积是．由，，则因为，所以，从而．证法二：记△的面积是，△的面积是．则线段的中点重合．因为，所以，．故线段的中点为．因为，，所以线段的中点坐标亦为．从而．考点：1.斜率公式；2.直线与曲线的位置关系；3.韦达定理.10、已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设椭圆与曲线的交点为、，求面积的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）抛物线的焦点为，∴又椭圆离心率，∴，所以椭圆的方程为（2）设点，则，连交轴于点，由对称性知：由得：，（当且仅当即时取等号）面积的最大值为.考点：椭圆标准方程的求解，直线与椭圆的位置关系.11、已知椭圆：的右焦点在圆上，直线交椭圆于、两点.(1)求椭圆的方程；(2)若(为坐标原点)，求的值；(3)设点关于轴的对称点为（与不重合），且直线与轴交于点，试问的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．【解析】(1)由题设知，圆的圆心坐标是，半径为，故圆与轴交与两点，.1分所以，在椭圆中或，又，所以，或(舍去，∵),…于是，椭圆的方程为.(2)设，；直线与椭圆方程联立,化简并整理得.∴，,∴，.∵，∴,即得∴，，即为定值.(3)∵，,∴直线的方程为令，则,∴当且仅当即时等号成立.故的面积存在最大值考点：直线与椭圆的位置关系点评：主要是考查了椭圆方程的求解，以及直线与椭圆位置关系的运用，属于中档题。12、已知两点F1(-1,0)及F2(1,0),点P在以F1、F2为焦点的椭圆C上,且|PF1|、|F1F2|、|PF2|构成等差数列.（1）求椭圆C的方程;（2）如图,动直线l:y=kx+m与椭圆C有且仅有一个公共点,点M,N是直线l上的两点,且F1M⊥l,F2N⊥l.求四边形F1MNF2面积S的最大值.【解析】(1)依题意,设椭圆的方程为.构成等差数列,,.又,.椭圆的方程为(2)将直线的方程代入椭圆的方程中,得由直线与椭圆仅有一个公共点知,,化简得:设,,当时,设直线的倾斜角为,则,,,,当时,,,.当时,四边形是矩形,所以四边形面积的最大值为考点：直线与椭圆的位置关系点评：主要是考查了椭圆方程，以及直线与椭圆的位置关系的运用，属于中档题。13、如图，已知椭圆的左焦点为，过点的直线交椭圆于两点，线段的中点为，的中垂线与轴和轴分别交于两点．（1）若点的横坐标为，求直线的斜率；（2）记△的面积为，△（为原点）的面积为．试问：是否存在直线，使得？说明理由．【解析】（Ⅰ）解：依题意，直线的斜率存在，设其方程为．将其代入，整理得．设，，所以．故点的横坐标为．依题意，得，解得．（Ⅱ）解：假设存在直线，使得，显然直线不能与轴垂直．由（Ⅰ）可得．因为，所以，解得，即．因为△∽△，所以．所以，整理得．因为此方程无解，所以不存在直线，使得．考点：直线与椭圆相交的位置关系点评：直线与椭圆相交时常联立方程借助于方程根与系数的关系整理化简，此类题目计算量较大要求学生具有较高的数据处理能力14、已知椭圆：的离心率为，分别为椭圆的左、右焦点，若椭圆的焦距为2．⑴求椭圆的方程；⑵设为椭圆上任意一点，以为圆心，为半径作圆，当圆与椭圆的右准线有公共点时，求△面积的最大值．【解析】⑴因为，且，所以．2分所以．4分所以椭圆的方程为．⑵设点的坐标为，则．因为，，所以直线的方程为．由于圆与有公共点，所以到的距离小于或等于圆的半径．因为，所以，即．又因为，所以．解得，又，∴．当时，，所以考点：本题主要考查椭圆的标准方程，椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系，不等式的解法。点评：中档题，求椭圆的标准方程，主要运用了椭圆的几何性质，a,b,c,e的关系。曲线关系问题，往往通过联立方程组，得到一元二次方程，运用韦达定理，简化解题过程。利用函数观点，建立三角形面积的表达式，确定其最值。15、已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点的直线与椭圆相切，直线与轴交于点，当为何值时的面积有最小值？并求出最小值.【解析】（Ⅰ）设方程为，抛物线的焦点为，则.双曲线的离心率所以，得∴椭圆C的方程为.（Ⅱ）设直线的方程为，由对称性不妨设由消得：依题意，得：由，令，得，即当且仅当即时取等号.因为故时，有最小值.考点：直线与椭圆的位置关系点评：主要是考查了直线与椭圆的位置关系的运用，属于中档题。16、已知椭圆的离心率为，短轴的一个端点到右焦点的距离为，直线交椭圆于不同的两点。（1）求椭圆的方程；（2）若坐标原点到直线的距离为，求面积的最大值。【解析】（1）由，椭圆的方程为：（2）由已知，联立和，消去，整理可得：，设，则，当且仅当时取等号显然时，。考点：本题考查了椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系17、已知椭圆的离心率为,且过点．（1）求椭圆的标准方程；（2）四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC、BD过原点O，若,（i）求的最值．（ii）求证：四边形ABCD的面积为定值；【解析】(1)由题意，，又，解得,椭圆的标准方程为.(2)设直线AB的方程为，设联立，得-①=(i)当k=0(此时满足①式),即直线AB平行于x轴时，的最小值为-2.又直线AB的斜率不存在时，所以的最大值为2.11分(ii)设原点到直线AB的距离为d，则.即,四边形ABCD的面积为定值考点：本题考查了直线与圆锥曲线的位置关系点评：对于直线与圆锥曲线的综合问题，往往要联立方程，同时结合一元二次方程根与系数的关系进行求解；而对于最值问题，则可将该表达式用直线斜率k表示，然后根据题意将其进行化简结合表达式的形式选取最值的计算方式.向量点乘类1、在直角坐标系中,点到两点的距离之和等于4,设点的轨迹为,直线与交于两点.(1)写出的方程;(2)，求的值.【解析】(1)设,由椭圆定义可知,点的轨迹是以为焦点,长半轴为2的椭圆,它的短半轴,故曲线的方程为.(2)证明:设,其坐标满足消去并整理,得故.即，而，于是，解得考点：椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系.2、已知椭圆的离心率为，且过点.（1）求椭圆的方程；（2）若过点C（-1，0）且斜率为的直线与椭圆相交于不同的两点，试问在轴上是否存在点，使是与无关的常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.【解析】（1）∵椭圆离心率为，∴，∴.1分又椭圆过点（，1），代入椭圆方程，得.所以.4分∴椭圆方程为，即.（2）在x轴上存在点M，使是与K无关的常数.证明：假设在x轴上存在点M（m,0）,使是与k无关的常数，∵直线L过点C（-1，0）且斜率为K,∴L方程为，由得.设，则∵∴====设常数为t，则.整理得对任意的k恒成立，解得，即在x轴上存在点M（），使是与K无关的常数.考点：椭圆的标准方程及几何性质，直线与椭圆的位置关系，平面向量的数量积。点评：中档题，曲线关系问题，往往通过联立方程组，得到一元二次方程，运用韦达定理。求椭圆标准方程时，主要运用了椭圆的几何性质，建立了a,bac的方程组。3、已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的