20高数第一章例题及答案(终)理工类 吴赣昌

第一章函数、极限与连续内容概要名称主要内容函数邻域axxaU,（即,Uaxaxa）0,0Uaxxa（0,,0Uaxaxax）函数两个要素：对应法则f以及函数的定义域D由此，两函数相等两要素相同；（与自变量用何字母表示无关）解析表示法的函数类型：显函数，隐函数，分段函数；特性局部有界性对集合DX，若存在正数M，使对所有Xx，恒有Mxf，称函数xf在X上有界，或xf是X上的有界函数；反之无界，即任意正数M（无论M多大），总存在（能找到）Xx0，使得Mxf0局部单调性区间DI，对区间上任意两点21xx，当21xx时，恒有：21xfxf，称函数在区间I上是单调增加函数；反之，若21xfxf，则称函数在区间I上是单调减小函数；奇偶性设函数xf的定义域D关于原点对称；若Dx，恒有xfxf，则称xf是偶函数；若Dx，恒有xfxf，则称xf是奇函数；周期性若存在非零常数T，使得对Dx，有DTx，且xfTxf，则称xf是周期函数；初等函数几类基本初等函数：幂函数；指数函数；对数函数；三角函数；反三角函数；反函数求法和性质；复合函数性质；初等函数课后习题全解习题1-1★1．求下列函数的定义域：知识点：自然定义域指实数范围内使函数表达式有意义的自变量x的取值的集合；思路：常见的表达式有①alog□,（□0）②/N□,（□0）③(0)④arcsin（1,1）等解：（1）1,00,11100101122xxxxxxxy；（2）31121121arcsinxxxy；（3）3,00,030031arctan3xxxxxxxy；（4）3,11,1,,1310301lg3xxorxxxxxyx；（5）4,22,11601110)16(log221xxxxxyx；★2．下列各题中，函数是否相同？为什么？（1）2lg)(xxf与xxglg2)(；（2）12xy与12yx知识点：函数相等的条件；思路：函数的两个要素是f（作用法则）及定义域D（作用范围），当两个函数作用法则f相同（化简后代数表达式相同）且定义域相同时，两函数相同；解：（1）2lg)(xxf的定义域D=Rxxx,0，xxglg)(的定义域},0RxxxD，虽然作用法则相同xxlg2lg2，但显然两者定义域不同，故不是同一函数；（2）12xy，以x为自变量，显然定义域为实数R；12yx，以x为自变量，显然定义域也为实数R；两者作用法则相同“2□1”与自变量用何记号表示无关，故两者为同一函数；★3．设3,03,sin)(xxxx，求)2()4()4()6(，，，，并做出函数)(xy的图形知识点：分段函数；思路：注意自变量的不同范围；解：216sin)6(，224sin4，224sin402；如图：★4．试证下列各函数在指定区间内的单调性：（1）1,1xxy（2）xxyln2，,0知识点：单调性定义。单调性是局部性质，函数在定义域内不一定有单调性，但是可以考查定义域的某个子区间上函数的单调性的问题。思路：利用单调性的定义即可。解：（1）设1x，2x1,，当21xx时，011112121221121xxxxxxxxyy，由单调性的定义知是单调增函数；（2）设1x，2x,0，21xx，2121221121ln)()ln()ln(xxxxxxxxyy由1x，2x,0，21xx，知121xx，故0ln21xx（对数函数的性质），则有021yy，得结论是单调增函数；★5．设)(xf为定义在ll,内的奇函数，若)(xf在l,0内单调增加，证明：)(xf在0,l内也单调增加知识点：单调性和奇偶性的定义。思路：从单调增加的定义出发，证明过程中利用奇函数的条件；证明：设2121,0,,xxlxx，则1221),,0(,xxlxx，由xf在l,0内单调增加得，12xfxf1，又xf为定义在ll,内的奇函数，则（1）式变形为12xfxf，即12xfxf，则结论成立。3x3233图1-1-3y0★6．设下面所考虑函数的定义域关于原点对称，证明：（2）两个偶函数的和仍然是偶函数，两个奇函数的和是奇函数；（3）两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函数，偶函数与奇函数的乘积是奇函数。知识点：函数奇偶性定义，奇偶性是函数的整体性质。本题可作为结论应用。思路：按定义证明即可。证明：设函数xgxf,定义域分别是21,DD（21,DD是关于原点对称区间）；（1）设xgxfxF，定义域为21DD，显然21DD也关于原点对称，当xgxf,均为偶函数时，xFxgxfxgxfxF，得xF为偶函数；当xgxf,均为奇函数时，xFxgxfxgxfxF，得xF为奇函数；（2）令xgxfxG，定义域为21DD，21DD关于原点对称，当xgxf,均为奇函数时，xGxgxfxgxfxG)(，得xF为偶函数；当xgxf,均为偶函数时，xGxgxfxgxfxG，得xF为偶函数；当xgxf,为一奇一偶时，xGxgxfxgxfxG，得xG为奇函数；★7．下列函数中哪些是偶函数，哪些是奇函数，哪些既非奇函数又非偶函数？（1）1sectanxxy；（2）2xxeey；（3）xexxycoscos；（4）22xxxy。知识点：函数奇偶性定义，奇偶性是函数的整体性质；思路：按定义证明，尤其先判断函数定义域是否关于原点对称，并利用基本初等函数的性质；解：（1）1sectan1sectanxxxxxf，显然既不等于xf，也不等于xf，故是非奇非偶函数；下面三个函数的定义域为全体实数R，关于原点对称（2）xfeexfxx2，故是偶函数；（3）xfexxxfxcoscos，故是偶函数；（4）xfxxxxf22，故是奇函数；★8．下列各函数中哪些是周期函数？并指出其周期：（1）1cosxy；（2）xxytan；（3）xy2sin。知识点：函数周期性。思路：利用定义，及基本初等函数性质，或已知结论，可按已知结论（如弦函数CxAycos，则最小正周期2T，切函数也有类似结论）。解：（1）由弦函数周期公式知最小正周期2T；（2）对正数T，TxTxTxftan，而切函数周期是的整数倍，故本题函数不是周期函数；（3）22cos1sin2xxy，则最小正周期22T★★9．证明：xxxfsin在,0上是无界函数；知识点：无界函数定义。思路：证明函数在某区间上是无界的，只需证对0M（无论M有多大），),0(0x，使其函数值Mxf||0即可。证明：对于任意正数M，要使Mxxxf|sin|||，考虑当Zkkx,22，22|sin|||kxxxf∴要使Mk22，只要2(,22MMk），取1220Mk∴0M（无论M有多大），2200kx，使得Mxxxf|sin|||000，∴xxxfsin在,0上是无界函数（注1：0k取值只要并且确保Mkf22即可，因此取2220Mk也可；注2：数学符号“”表示“任意”；“”表示“存在”；“”表示“使得”。）★10．火车站行李收费规定如下：当行李不超过50kg时，按每千克3/20元收费，当超出50kg时，超重部分按每千克1/4元收费，试建立行李收费xf（元）与行李重量kgx之间的函数关系式。知识点：函数关系的建立。思路：认清变量，关键是找出等量关系。解：33050,050,202031,15050550,502044xxxxfxfxxxxx。★11．收音机每台售价为90元，成本为60元，厂方为鼓励销售商大量采购，决定凡是订购超过100台的，每多订一台，售价就降低一分，但最低价为每台75元a)将每台的实际售价p表示为订购量x的函数；b)将厂方所获得利润L表示成订购量x的函数；c)某一商行订购了1000台，厂方可获利润多少？知识点：函数关系的建立，以及经济函数；cxfxf)(0)(。思路：分清变量及函数关系，经济函数关系总利润L（总收入）R(总成本)C。解：售价恰好降到75元时需订购的台数位16001000107590，则（1）：。90,0100190(100),100160010075,1600xpxxx（2）：29060,01001609010060,10016001007560,160030,0100131,100160010015,1600xxxLRCpxxxxxxxxxxxxxxxx（3）210001000311000100110002L（元）。习题1-2★1．求下列函数的反函数：（1）;11xxy；（2）122xxy；知识点：反函数求法；思路：解出x的过程即为求反函数的过程，直接函数的因变量变为反函数的自变量；解：（1）xxyyyxxyxxxy11111111（习惯上自变量用字母x表示）（2）yyxyyyyyxxxxx1log12221222xxy1log2。★2．设xxxxf000,,,101，求1xf，12xf；知识点：分段函数的定义；思路：代入即可；解：1,101,110,1010,11,101,1xxfxxfxxxx111,,,1011010101,,,101122222xxxxfxxxxf★3．设函数xxxf3，xx2sin，求12f，1fff知识点：复合函数定义；思路：逐层代入即可：解：21122sin12，12f832121213f；01f，000013fff，001ffff★★4．设xxxf1，求xff和xfff。知识点：函数的复合；思路：同上题，逐层代入即可。解：xxxxxxxxfxff2111