初中二次根式

1教育学科教师讲义讲义编号：副校长/组长签字：签字日期：学员编号：年级：八课时数：3课时学员姓名：辅导科目：数学学科教师：课题二次根式授课日期及时段教学目的了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根．重难点会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根．【考纲说明】1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根．2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根．【趣味链接】【知识梳理】一．平方根部分要点一、平方根和算术平方根的概念1.算术平方根的定义如果一个正数x的平方等于a，即2xa,那么这个正数x叫做a的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；a的算术平方根记作a，读作“a的算术平方根”，a叫做被开方数.要点诠释：当式子a有意义时，a一定表示一个非负数，即a≥0，a≥0.2.平方根的定义如果2xa，那么x叫做a的平方根.求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算.a(a≥0)的平方根的符号表达为(0)aa，其中a是a的算术平方根.要点二、平方根和算术平方根的区别与联系21．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：a和a2．联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0．要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.要点三、平方根的性质1.0(0)aa；2.2(0)aaa；3.2(0)||(0)aaaaaa；4.积的算术平方根的性质：(00)ababab，；5.商的算术平方根的性质：(00)aaabbb，.6.若0ab，则ab.要点四、平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：62500250，62525，6.252.5，0.06250.25.二．立方根部分要点一、立方根的定义如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根.这就是说，如果3xa，那么x叫做a的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方.要点诠释：一个数a的立方根，用3a表示，其中a是被开方数，3是根指数.开立方和立方互为逆运算.要点二、立方根的特征立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.要点诠释：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同.两个互为相反数的数的立方根也互为相反数.要点三、立方根的性质333aa33aa33aa要点诠释：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题.要点四、立方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如，30.0002160.06＝，30.2160.6＝，32166＝，321600060＝.三．【经典例题】1．已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣9的立方根是2，c是的整数部分，求a+b+c的平方根．【思路点拨】首先根据平方根与立方根的概念可得2a﹣1与3a+b﹣9的值，进而可得a、b的值；接着估计的大小，可得c的值；进而可得a+b+c，根据平方根的求法可得答案．【答案与解析】解：根据题意，可得2a﹣1=9，3a+b﹣9=8；故a=5，b=2；又∵2＜＜3，∴c=2，∴a+b+c=5+2+2=9，∴9的平方根为±3．2．x为何值时，下列各式有意义？(1)2x；(2)4x；(3)11xx；(4)13xx．【答案与解析】解：(1)因为20x，所以当x取任何值时，2x都有意义．(2)由题意可知：40x，所以4x时，4x有意义．(3)由题意可知：1010xx解得：11x．所以11x时11xx有意义．4(4)由题意可知：1030xx，解得1x且3x．所以当1x且3x时，13xx有意义．3．求下列各式的值．(1)2222252434；(2)111200.36900435．【思路点拨】（1）首先要弄清楚每个符号表示的意义.（2）注意运算顺序.【答案与解析】解：(1)222225243449257535；(2)1118111200.369000.63043543590.261.72．4．求下列各式中的x.（1）23610;x（2）21289x；（3）2932640x【答案与解析】解：（1）∵23610x∴2361x∴36119x（2）∵21289x∴1289x∴x＋1＝±17x＝16或x＝－18.（3）∵2932640x∴264329x5∴8323x∴21499xx或5．已知a、b是实数，且26|2|0ab，解关于x的方程2(2)1axba．【答案与解析】解：∵a、b是实数，26|2|0ab，260a，|2|0b，∴260a，20b．∴a－3，2b．把a－3，2b代入2(2)1axba，得－x＋2＝－4，∴x＝6．6．小丽想用一块面积为4002cm的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为3002cm的长方形纸片，使它长宽之比为2:3，请你说明小丽能否用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片.【答案与解析】解：设长方形纸片的长为3x(x＞0)cm，则宽为2xcm，依题意得32300xx.26300x.250x.∵x＞0，∴50x.∴长方形纸片的长为350cm.∵50＞49,∴507.∴35021,即长方形纸片的长大于20cm.由正方形纸片的面积为4002cm,可知其边长为20cm,∴长方形的纸片长大于正方形纸片的边长.答:小丽不能用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片.6【课堂练习】1.已知2a－1与－a＋2是m的两个不同的平方根，求m的值.【答案】2a－1与－a＋2是m的平方根，所以2a－1与－a＋2互为相反数.解：当2a－1＋（－a＋2）＝0时，a＝－1，所以m＝22221[2(1)1]39a2.已知4322232baa，求11ab的算术平方根．【答案】解：根据题意，得320,230.aa则23a，所以b＝2，∴1131222ab，∴11ab的算术平方根为112ab．3.求下列等式中的x：（1）若21.21x，则x＝______；（2）2169x，则x＝______；（3）若29,4x则x＝______；（4）若222x，则x＝______．【答案】（1）±1.1；（2）±13；（3）32；（4）±2.4.若2110xy，求20112012xy的值．【答案】解：由2110xy，得210x，10y，即1x，1y．①当x＝1，y＝－1时，20112012201120121(1)2xy．②当x＝－1，y＝－1时，2011201220112012(1)(1)0xy．5.某小区为了促进全民健身活动的开展，决定在一块面积约为1000m2的正方形空地上建一个篮球场，已知篮球场的面积为420m2，其中长是宽的倍，篮球场的四周必须留出1m宽的空地，请你通过计算说明能否按规定在这块空地上建一个篮球场？【答案】7解：设篮球场的宽为xm，那么长为2815xm，由题意知，所以x2=225，因为x为正数，所以x==15，又因为=900＜1000，所以按规定在这块空地上建一个篮球场．【课后作业】一.选择题1．下列说法中正确的有（）．①只有正数才有平方根．②2是4的平方根．③16的平方根是4．④2a的算术平方根是a．⑤2(6)的平方根是6．⑥93．A．1个B．2个C．3个D．4个2．若m＝40－4，则估计m的值所在的范围是（）A．1＜m＜2B.2＜m＜3C.3＜m＜4D.4＜m＜53.试题下列说法中正确的是（）A.4是8的算术平方根B.16的平方根是4C.6是6的平方根D.－a没有平方根4.能使x－3的平方根有意义的x值是（）A.x＞0B.x＞3C.x≥0D.x≥35.（2015•河南模拟）若=a，则a的值为（）A．1B．﹣1C．0或1D．±16.若x，y为实数，且|x＋1|＋1y＝0，则2013xy的值是（）A.0B.1C.－1D.－2011二.填空题7.若10404102，则1.0404＝__________.8.如果一个正方形的面积等于两个边长分别是3cm和5cm的正方形的面积的和，则这个正方形的边长为________.9.下列各数：81，1625，1.44，124，81的平方根分别是_______________；算术平方根分别是_______________.10．（1）25的平方根是________；8（2）25的平方根是________，算术平方根是________；（3）2x的平方根是________，算术平方根是________；（4）22x的平方根是________，算术平方根是________．11．（2015•诏安县校级模拟）已知，求a﹣b=．12.若，则____________.三.解答题13．x为何值时，下列各式有意义？(1)2;x（2）;x（3）2;x（4）1.x14.（2014春•富顺县校级月考）已知：|x﹣1|+（y﹣2）2+=0，求x+y+z值的平方根．15.如图，实数a，b对应数轴上的点A和B，化简2222()()ababab【答案与解析】一．选择题1.【答案】A；【解析】只有②是正确的.2.【答案】B；【解析】6407，所以2＜40－4＜3.3.【答案】C；【解析】A.∵4是16的算术平方根，故选项A错误；B.∵16的平方根是±4，故选项B错误；C.∵6是6的一个平方根，故选项C正确；D.当a≤0时，－a也有平方根，故选项D错误．4.【答案】D；【解析】要使x－3的平方根有意义，∴x－3≥0，即x≥3．5.【答案】C；【解析】解：∵=a，∴a≥0．当a=0时，=a；当0＜a＜1时，＞a；9当a=1时，=a；当a＞时，＜a；综上可知，若=a，则a的值为0或1．故选C．6.【答案】C；【解析】x＋1＝0，y－1＝0，解得x＝－1；y＝1．2013xy＝－1.二.填空题7.【答案】1.02；【解析】被开方数向左移动四位，算术平方根的值向左移动两位.8.【答案】34cm；【解析】这个正方形的边长为223534.9.【答案】±9；±45；±1.2；±32；±3；9；45；1.2；32；3.10.【答案】（1）±5；（2）±5；5；(3）±x，|x|；（4）±（x＋2）,|x＋2|；【解析】2||aa.11.【答案】－8；【解析】解：根据题意得，a+3=0，b﹣5=0，解得a=﹣3，b=5，所以，a﹣b=﹣3﹣5=﹣8．故答案为：﹣8．12.【答案】；【解析】12x，x＝.三.解答题13.【解析】解：（1）2x≥0，解得x≥0；（2）－x≥0，解得x≤0；（3）20,x解得x为一切实数；（4）x－1≥0，解得x≥1.14.【解析】解：∵|x﹣1|+（y﹣2）2+=0，∴，解得x=1，y=2，z=3，10∴x+y+z=1+2+3=6，∴x+y+z的平方根为．15.【解析】根据2||aa∵0abab且∴原式＝－a＋b－(b－a)－(a＋b)＝－a＋b－b＋a－a－b＝－a－b.【归纳总结】【课后反馈】