圆锥曲线中的最值范围问题

圆锥曲线中的最值、范围问题1．圆锥曲线中的范围问题(1)解决这类问题的基本思想是建立目标函数和不等关系．(2)建立目标函数的关键是选用一个合适的变量，其原则是这个变量能够表达要解决的问题；建立不等关系的关键是运用圆锥曲线的几何特征、判别式法或基本不等式等灵活处理．2．圆锥曲线中的存在性问题(1)所谓存在性问题，就是判断满足某个(某些)条件的点、直线、曲线(或参数)等几何元素是否存在的问题．(2)这类问题通常以开放性的设问方式给出，若存在符合条件的几何元素或参数值，就求出这些几何元素或参数值；若不存在，则要求说明理由．3．圆锥曲线中的证明问题圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：一类是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，如：某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等；另一类是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等)．4．定点问题(1)解析几何中直线过定点或曲线过定点问题是指不论直线或曲线中的参数如何变化，直线或曲线都经过某一个定点．(2)定点问题是在变化中所表现出来的不变的点，那么就可以用变量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变量所影响的某个点，就是要求的定点．5．定值问题解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关，不随参数的变化而变化，而始终是一个确定的值．6．最值问题圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何方法，即利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．解决圆锥曲线中最值、范围问题的基本思想是建立目标函数和建立不等关系，根据目标函数不等式求最值、范围．因此这类问题的难点，就是如何建立目标函数和不等关系．建立目标函数或不等关系的关键是选用一个合适变量，其原则是这个变量能够表达要解决的问题，这个变量可以是直线的斜率、直线的截距、点的坐标等，要根据问题的实际情况灵活处理．求圆锥曲线中最值的方法圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何方法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．[例1]已知A、B、C是椭圆M：x2a2＋y2b2＝1(ab0)上的三点，其中点A的坐标为(23，0)，BC过椭圆的中心，且∠OCA＝90°，|BC|＝2|AC|.(1)求椭圆M的方程；(2)过点(0，t)的直线(斜率存在)与椭圆M交于P、Q两点，设D为椭圆与y轴负半轴的交点，且|DP|＝|DQ|，求实数t的取值范围．[师生共研](1)∵|BC|＝2|AC|且BC过点(0,0)，则|OC|＝|AC|.∵∠OCA＝90°，∴C(3，3)．由题意知a＝23，则椭圆M的方程为x212＋y2b2＝1，将点C的坐标代入得312＋3b2＝1，解得b2＝4.∴椭圆M的方程为x212＋y24＝1.(2)由题意知D(0，－2)，设直线l的斜率为k，当k＝0时，显然－2t2；当k≠0时，设直线l：y＝kx＋t，联立x212＋y24＝1，y＝kx＋t，消去y得(1＋3k2)x2＋6ktx＋3t2－12＝0，由Δ0可得，t24＋12k2.①设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，PQ的中点为H(x0，y0)，则x0＝x1＋x22＝－3kt1＋3k2，y0＝kx0＋t＝t1＋3k2，∴H－3kt1＋3k2，t1＋3k2.∵|DP|＝|DQ|，∴DH⊥PQ，即kDH＝－1k.∴t1＋3k2＋2－3kt1＋3k2－0＝－1k，化简得t＝1＋3k2，②由①②得，1t4.综上，t∈(－2,4)．1．椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的右焦点F2与抛物线y2＝4x的焦点重合，过F2作与x轴垂直的直线l1与椭圆交于S，T两点，与抛物线交于C，D两点，且|CD||ST|＝22.(1)求椭圆E的方程；(2)若过点M(2,0)的直线l与椭圆E相交于A，B两点，设P为椭圆E上一点，且满足(O为坐标原点)，当253时，求实数t的取值范围．解：(1)设椭圆的半焦距为c，则c＝1，且|CD|＝4，|ST|＝2b2a，∴|CD||ST|＝2ab2＝22，又a2－b2＝1，∴a＝2，b＝1，∴椭圆E的方程为x22＋y2＝1.(2)由题意得，直线l的斜率存在，设直线l：y＝k(x－2)，联立x22＋y2＝1，y＝kx－2，消去y得(1＋2k2)x2－8k2x＋8k2－2＝0，由Δ0，得k212.①设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系得x1＋x2＝8k21＋2k2，x1x2＝8k2－21＋2k2，∴y1＋y2＝k(x1＋x2)－4k＝－4k1＋2k2，则＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2·8－16k21＋2k2253，∴k214或k2－1314(舍去)．②由①②得14k212，又AB的中点N4k21＋2k2，－2k1＋2k2，∴，得P8k21＋2k2t，－4k1＋2k2t，代入椭圆方程得32k41＋2k22t2＋16k21＋2k22t2＝1，即t2＝32k4＋16k21＋2k22＝16k21＋2k2＝161k2＋2，∵14k212，∴83t24，即t∈263，2∪－2，－263.热点二最值与范围问题[微题型1]求线段长度、三角形面积的最值【例2－1】(2014·新课标全国Ⅰ卷)已知点A(0，－2)，椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的离心率为32，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为233，O为坐标原点.(1)求E的方程；(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点.当△OPQ的面积最大时，求l的方程.解(1)设F(c，0)，由条件知2c＝233，得c＝3.又ca＝32，所以a＝2，b2＝a2－c2＝1.故E的方程为x24＋y2＝1.(2)当l⊥x轴时不合题意，故设l：y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2).将y＝kx－2代入x24＋y2＝1，得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0.当Δ＝16(4k2－3)0，即k234时，x1，2＝8k±24k2－34k2＋1.从而|PQ|＝k2＋1|x1－x2|＝4k2＋1·4k2－34k2＋1.又点O到直线PQ的距离d＝2k2＋1.所以△OPQ的面积S△OPQ＝12d·|PQ|＝44k2－34k2＋1.设4k2－3＝t，则t0，S△OPQ＝4tt2＋4＝4t＋4t.因为t＋4t≥4，当且仅当t＝2，即k＝±72时等号成立，且满足Δ0.所以当△OPQ的面积最大时，l的方程为y＝72x－2或y＝－72x－2.探究提高若一个函数式的分母中含有一次式或二次式、分子中含有一次式或二次式的二次根式，则可以通过换元的方法把其转化为分母为二次式、分子为一次式的函数式，这样便于求解此函数式的最值.2、（济南市2016届高三上学期期末）平面直角坐标系xoy中，已知椭圆2222:1xyCabab的左焦点为F，离心率为22，过点F且垂直于长轴的弦长为2.（I）求椭圆C的标准方程；（II）设点A，B分别是椭圆的左、右顶点，若过点2,0P的直线与椭圆相交于不同两点M,N.（i）求证：AFMBFN；（ii）求MNF面积的最大值.解：（1）22ace,又222ab,所以1,2ba.所以椭圆的标准方程为1222yx…………（4分）（i）由题知，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为：)2(xky，设1122,,,AxyBxy，联立12)2(22yxxky，整理得0288)21(2222kxkxk,则016828214642224kkkk，所以.2102k222122212128218kkxxkkxx，121)2(1122112211xxkxxkxyxykkNFMF)1)(1(4)(32212121xxkxxkxkx021482441642183212824)(32233322222121kkkkkkkkkkkkkkxxkxkx0NFMFkk，即AFMBFN………………………………（9分）（ii）,21)21(811222212kkkxxkMN点F0,1到直线MN的距离为21kkd，dMNSMNF21=22221212122121kkkkk222221212kkk.令221kt，则)2,1[t，)(tu211231223)21)(2(2222tttttttt当且仅当431t，即66k（此时适合△＞0的条件）时，161maxtu，即42)(maxMNFS三角形MNF面积的最大值是24………………………………（14分）3、（东营市、潍坊市2016届高三高三三模）如图所示，椭圆E的中心为坐标原点，焦点1F、2F在x轴上，且1F在抛物线24yx的准线上，点P是椭圆E上的一个动点，12PFF面积的最大值为3．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）过焦点1F、2F作两条平行直线分别交椭圆E于A、B、C、D四个点．（ⅰ）试判断四边形ABCD能否为菱形，并说明理由；（ⅱ）求四边形ABCD面积的最大值．解：（Ⅰ）设椭圆方程为222210xyabab，∵焦点1F在抛物线24yx的准线1x上，∴1c，…………………………1分∵当点P在短轴顶点时12PFF面积最大，此时121232PFFScb，∴3b，∴2224abc，∴2a，∴椭圆方程为：22143xy．……………4分（Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）知11,0F，直线AB不能平行于x轴，所以设直线AB方程为1xmy，设1122,,,AxyBxy，联立221143xmyxy，得2234690mymy，所以12122269,3434myyyymm．……………………………………………5分连结,OAOB，若ABCD为菱形，则OAOB，即0OAOB，所以12120xxyy．…………………………………………………………………6分又212121212111xxmymymyymyy，所以有2121210myymyy，…………………………………………………7分所以22125034mm，显然方程无实数解，所以ABCD不能为菱形．…………………………………………………………8分（ⅱ）易知四边形ABCD为平行四边形，则4ABCDAOBSS，而11212AOBSOFyy，又因为11OF，所以21121212224ABCDSOFyyyyyy，…………9分由（ⅰ）知12122269,3434myyyymm，所以2222222223636341122424134349161ABCDmmmSmmmm，令21mt，则1t，……………………………………………………12分令19,1ftttt，则1t时，22219190tfttt，∴ft是增函数，∴当1t时，ft取最小值，且最小值为10，………………………