§1.1.2余弦定理

1第一章1.1.2余弦定理学习目标：1、会推导余弦定理；2．掌握余弦定理的两种表现形式3.会用余弦定理解三角形；问题探究：探究问题（一）已知两边和它们的夹角,求三角形的另一边在△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c.已知a,b和C，求边c.联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？用正弦定理试求，发现因A、B均未知，所以较难求边c。由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。如图设CBa，CAb，ABc，那么cab，则从而同理可证余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。对余弦定理的四点说明：(1)与正弦定理一样，余弦定理揭示了三角形的边角之间的关系，是解三角形的重要工具之一．(2)余弦定理的三个等式中，每一个都包含四个不同的量，它们是三角形的三边和一个角，知道其中的三个量，代入等式，就可以求出第四个量．(3)运用余弦定理时，若已知三边(求角)或已知两边及夹角(求第三边)，则由三角形全等的判定定理知，三角形是确定的，所以解也是唯一的．(4)勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例．探究问题（二）余弦定理的应用例1：若△ABC中，已知b=8,c=3,A=600,求边a变式训练1.在△ABC中，边a，b的长是方程x2－5x＋2＝0的两个根，C＝60°，则c＝________．探究问题三：余弦定理的推论及应用：Acos_______________；Bcos_______________；Ccos_______________；说明：（1）余弦定理的推论是余弦定理的第二种形式，适用于已知三角形三边来确定三角形的角的问题．（2）用余弦定理的推论还可以根据角的余弦值的符号来判断三角形中的角是锐角还是钝角．例2、在△ABC中，已知13,2,6cba，解三角形。提示：依次求解A、B、C.变式训练2．在ABC中，若a2=b2+c2+bc,求A.小结：本题由a2=b2+c2+bc，联想余弦定理求得A是解题的关键，类似地，由3222Cabcba，由63222abcba．由abcba22224C熟记这些结论，可以快速解题．(1)已知两边及其中一边的对角解三角形的方法①先由正弦定理求出另一条边所对的角，用三角形的内角和定理求出第三个角，再用正弦定理求出第三边，要注意判断解的情况；②用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出此边长．(2)已知两边及其夹角解三角形的方法方法一：首先用余弦定理求出第三边，再用余弦定理和三角形内角和定理求出其他两角．方法二：首先用余弦定理求出第三边，再用正弦定理和三角形内角和定理求出其他两角．[注意]解三角形时，若已知两边和一边的对角时，既可以用正弦定理，也可以用余弦定理．一般地，若只求角，则用正弦定理方便，若只求边，用余弦定理方便．例3、在△ABC中,若a=4、b=5、c=6,判断△ABC的形状。小结：如何判断三角形的形状问题(1)判断三角形的形状是看该三角形是否为某些特殊的三角形(如锐角、直角、钝角、等腰、等边三角形等)．(2)对于给出条件是边角关系混合在一起的问题，一般地，应运用正弦定理和余弦定理，cabABC2222coscababC22222cccababaabbababab2222cosabcbcA2222cosbacacB2要么把它统一为边的关系；要么统一为角的关系．再利用三角形的有关知识，三角恒等变形方法、代数恒等变形方法进行转化、化简，从而得出结论．判断三角形的形状，一般是从题设条件出发，根据正弦定理、余弦定理进行边角变换，全化为边的关系或全化为角的关系，导出边或角的某种特殊关系，然后利用平面几何知识即可判定三角形的形状。判断三角形形状的思路(1)转化为三角形的边来判断①△ABC为直角三角形⇔a2＝b2＋c2或b2＝a2＋c2或c2＝a2＋b2；②△ABC为锐角三角形⇔a2＋b2c2且b2＋c2a2且c2＋a2b2；③△ABC为钝角三角形⇔a2＋b2c2或b2＋c2a2或c2＋a2b2；④按等腰或等边三角形的定义判断．(2)转化为角的三角函数(值)来判断①若cosA＝0，则A＝90°，△ABC为直角三角形；②若cosA0，则△ABC为钝角三角形；③若cosA0且cosB0且cosC0，则△ABC为锐角三角形；④若sin2A＋sin2B＝sin2C，则C＝90°，△ABC为直角三角形；⑤若sinA＝sinB或sin(A－B)＝0，则A＝B，△ABC为等腰三角形；⑥若sin2A＝sin2B，则A＝B或A＋B＝90°，△ABC为等腰三角形或直角三角形．在具体判断的过程中，注意灵活地应用正、余弦定理进行边角的转化，究竟是角化边还是边化角应依具体情况决定．变式训练3.在ABC中，若2222sinsin2coscosbCcBbcBC，试判断ABC的形状.解：方法一：由正弦定理和已知条件得：2222sinsinsinsin2sinsincoscosBCCBBCBC，∵sinsin0BC，∴sinsincoscosBCBC，即cos()0BC，∵B、C为ABC的内角，∴90BC，90A，故ABC为直角三角形.方法二：原等式变形为：2222(1cos)(1cos)2coscosbCcBbcBC，即：222222coscos2coscosbcbCcBbcBC，由余弦定理得：222222222222222222()()22222abcacbacbabcbcbcbcabacacab2222222222[()()]4abcacbbca222bca故ABC为直角三角形.例4．在ABC中，已知23a，62c，060B，求b及A⑴解：∵2222cosbacacB=22(23)(62)223(62)cos045=212(62)43(31)=8∴22.b求A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：⑵解法一：∵cos222222(22)(62)(23)1,22222(62)bcaAbc∴060.A解法二：∵sin023sinsin45,22aABb又∵62＞2.41.43.8,23＜21.83.6,∴a＜c，即00＜A＜090,∴060.A评述：解法二应注意确定A的取值范围。1.在△ABC中，若(a－ccosB)sinB＝(b－ccosA)·sinA，判断△ABC的形状．解：法一：由正弦定理及余弦定理，知原等式可化为：a－c·a2＋c2－b22acb＝b－c·b2＋c2－a22bca，整理，得(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0.所以a2＝b2或a2＋b2－c2＝0，故△ABC为等腰三角形或直角三角形．法二：由正弦定理，知原等式可化为：(sinA－sinCcosB)sinB＝(sinB－sinCcosA)sinA，所以sinBcosB＝sinAcosA，所以sin2B＝sin2A，所以2B＝2A或2B＋2A＝π，所以A＝B或A＋B＝π2，故△ABC为等腰三角形或直角三角形．知识结构深化拓展1.余弦定理中的整体思想已知a，b，c的整体关系，可利用余弦定理的推论求角(cosA＝b2＋c2－a22bc)．如：b2＋c2－a2＝bc，a2＝b2＋c2＋bc，b2＋c2－a2＝2bc，a2＝b2＋c2＋2bc，b2＋c2－a2＝3bc，a2＝b2＋c2＋3bc等．2．正弦定理、余弦定理的灵活选用(1)“已知两边及其夹角”“已知三边”解三角形，应先选取余弦定理求解．(2)“已知两角及任一边”“已知两边和其中一边的对角”通常选用正弦定理．特别地，已知两边和其中一边的对角解三角形，若只求第三边，应选用余弦定理，若此时选用正弦定理，则计算量较大.