人教B版高中数学课件 选修1-2：第二章 推理与证明 2.1《综合法与分析法》

第二章推理与证明2.2.1综合法与分析法1、了解综合法的思考过程、特点,会用综合法证明题目.2、了解分析法的分析思路,会用分析法证明题目.3、能用分析法分析证题思路,用综合法书写证明过程.应用:1、证明不等式2、证明等式内容：本课主要学习综合法与分析法。通过两个引例出发,引入综合法与分析法,通过对比掌握它们证题的特点,并总结出它们之间的区别与联系,为在实际问题中分析问题寻找解题方法做好铺垫.重点:会用综合法和分析法证明问题;了解综合法与分析法的思考过程.难点:根据问题的特点,结合综合法与分析法的思考过程、特点,选择适当的证明方法.本课选用了两个例题。例题设置难易适度,每个例题后有针对性的练习,便于学生巩固和掌握,且第一个例题与变式训练分别用分析法和综合法来证明,让学生真正体会两种方法的优点与作用，另外,第二个例题可以用综合法，也可以用分析法,从而锻炼学生灵活应用方法解决问题的能力.采用一讲一练针对性讲解的方式，重点理解综合法与分析法的应用。通过观看视频，大家一起讨论一下我们应该如何测的恒星之间的距离呢？如何测的恒星之间的距离复习推理合情推理（或然性推理）演绎推理（必然性推理）归纳(特殊到一般）类比（特殊到特殊）三段论（一般到特殊）合情推理是发现的方法，演绎推理是数学中严格证明的工具.怎样用演绎推理来证明呢？这是要讲究方法的.今天,我们就来认识一些基本的证明方法……•合情推理得到的结论是不可靠的，需要证明.数学中证明的方法有哪些呢？间接证明（反证法）分析法综合法直接证明证明的方法引例一:证明不等式:222()xxxR2222(1)110xxx222xx证法1:由2(1)0x2(1)110x2220xx222xx证法2:由证法2是从已经成立的事实出发,经过正确推理,得到要证的结论.------综合法引例二:求证3725分析:从待证不等式不易发现证明的出发点,因此我们直接从待证不等式出发,分析其成立的充分条件.证明:要证明3725,只需证22(37)(25),即证1022120,即证22110,即证215,即证2125,因为2125显然成立,所以原不等式成立.在本例中,由于我们很难想到从“2125”入手,所以用综合法证明比较困难.以上采用的证明方法就是分析法.利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法.用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表示所要证明的结论.则综合法用框图表示为:1PQ12QQ23QQnQQ…综合法是由一个个推理组成的.特点：由因索果综合法概念从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件为止，这种证明的方法叫做分析法．这个明显成立的条件可以是：已知条件、定理、定义、公理等特点：执果索因（逆推）则分析法用框图表示为:得到一个明显成立的条件PP12QP1PP23…分析法概念(1)区别:综合法是从已知条件出发,逐步推向未知,每步寻找的是必要条件;分析法是从待求结论出发,逐步靠拢已知,每步寻找的是充分条件.(2)优缺点:综合法和分析法是直接证明的两种基本方法,两种方法各有优缺点,综合法从条件推出结论,能较简捷地解决问题,但不便于思考;分析法解题方向较为明确,容易寻找到解题的思路和方法,缺点是思路逆行,叙述较繁.1.综合法:要点:顺推证法;由因导果．2.分析法:要点:逆推证法;执果索因．3.综合法与分析法的区别及优缺点综合法与分析法的比较【分析法】从结论出发，寻找结论成立的充分条件直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件.要证：只要证：只需证：显然成立上述各步均可逆所以结论成立要证：所以结论成立格式分析基本不等式：(a0,b0)的证明.a+bab2证明:因为;所以所以所以成立()b20a20a+bab2a+baba+bab2证明:要证只需证只需证只需证因为成立所以成立a+bab22a+bab20a+bab()b20a()b20aa+bab2还原成综合法：证明:因为;所以当且仅当a=b时取等号所以所以成立证明:要证只需证只需证而当且仅当成立所以成立综合法：ababbaaabbbaab0aabbbaab2()()()()0aabbababab=abababba0,0ab22abbaabba，10,0,abababba例、已知求证：22abbaabbaababba3322,ababababab设是两个正实数，且，求证：证明：方法一（分析法）证明:要证只需证只需证只需证即只需证而由已知条件可知显然成立，所以命题得证.3322+ababab22(+)()()abaabbabab22aabbab2220aabb2()0abab2()0ab方法二（综合法）证明:即即由条件可知即，所以命题得证.22aabbab2220aabbab2()0ab0ab22(+)()()abaabbabab3322ababab例2：在△ＡＢＣ中，三个内角Ａ、Ｂ、Ｃ对应的边分别为a、b、c，且Ａ、Ｂ、Ｃ成等差数列，a、b、c成等比数列，求证△ＡＢＣ为等边三角形．证明：CA2BCB成等差数列、、A3BCBAacbcba2成等比数列、、accaBaccab22222cos2由余弦定理得0)(222caacacca即ca是等边三角形ABC解决数学问题时，往往要先作语言的转换，如把文字语言转换成符号语言，或把符号语言转换成图形语言。还要通过细致的分析，把其中的隐含条件明确表示出来．)sin)(cossin(cossincos:222244左边证明右边2cossincos22等式成立2cossincos44，求证：对任意锐角1.知识与技能:(1)综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.(2)分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）.(3)综合法与分析法的区别：综合法是从已知条件出发，逐步推向未知，每步寻找的是必要条件；分析法是从待求结论出发，逐步靠拢已知，每步寻找的是充分条件.2.思想与方法:顺推与逆推的思想.必做题：1.要证明不等式67225成立，只需证明：.2.已知22222aa与22的大小关系是.3.已知,ab是不相等的正数，2abxyab，，则xy，的大小关系是_________．4.已知,,abc是不全相等的正数，求证：abcbacacbcba6)()()(222222.22(67)(225)2222222aaxy必做题：4.证明：222,0bcbca,22()2abcabc,①同理22()2bcaabc,②22()2cababc,③因为,,abc不全相等，所以222bcbc,222caac,222abab三式不能全取等号，从而①、②、③三式也不能全取等号,∴abcbacacbcba6)()()(222222选做题：1.用分析法证明：若0a，则221122aaaa.2.已知函数1yx，222yxxt，11()2tyxx(0)x的最小值恰好是方程320xaxbxc的三个根，其中01t．求证：223ab；选做题答案：1.证明：要证221122.aaaa，只需证221122.aaaa由0a，所以两边均大于零，因此只需证222211(2)(2)aaaa只需证2222221111442222()aaaaaaaa，只需证22121()2aaaa，只需证2222111(2)2aaaa，即证2212aa，它显然成立．∴原不等式成立．2.证明:三个函数的最小值依次为1，1t，1t，由(1)0f，得1cab∴3232()(1)fxxaxbxcxaxbxab2(1)[(1)(1)]xxaxab，故方程2(1)(1)0xaxab的两根是1t，1t．故11(1)tta，111ttab．由22(11)(1)tta，可得222(1)(1)aba.∴223ab.