中考三角形总复习(解析版)

12016年中考数学考点总动员系列考点十四：三角形聚焦考点☆温习理解一、三角形1、三角形中的主要线段（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。（2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。（3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。2、三角形的三边关系定理及推论（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。推论：三角形的两边之差小于第三边。（2）三角形三边关系定理及推论的作用：①判断三条已知线段能否组成三角形②当已知两边时，可确定第三边的范围。③证明线段不等关系。3、三角形的内角和定理及推论三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。推论：①直角三角形的两个锐角互余。②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。二、全等三角形1、三角形全等的判定三角形全等的判定定理：2（1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）（2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）（3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）。直角三角形全等的判定：对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）2.全等三角形的性质：三、等腰三角形1、等腰三角形的性质定理及推论：定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。[来源:学科网ZXXK]推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°。2、等腰三角形的判定定理及推论：定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等。推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。3、三角形中的中位线连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。名师点睛☆典例分类考点典例一、三角形中位线【例2】（2014·河北）如图，△ABC中，D，E分别上边AB，AC的中点，若DE=2，则BC=（）3A、2B、3C、4D、5【答案】C.考点：三角形中位线定理.【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，中位线是三角形中的一条重要线段，由于它的性质与线段的中点及平行线紧密相连，因此，它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应用．【举一反三】1．(2015·湖北衡阳，18题，3分)如图所示，小明为了测量学校里一池塘的宽度AB，选取可以直达A、B两点的点O处，再分别取OA、OB的中点M、N，量得MN＝20m，则池塘的宽度AB为m．【答案】40考点：三角形中位线定理考点典例二、等腰三角形【例2】(2015·湖北衡阳，7题，3分)已知等腰三角形的两边长分别是5和6，则这个等腰三角形的周4长为（）．A．11B．16C．17D．16或17【答案】D考点：三角形三边关系；分情况讨论的数学思想【点睛】本题考查了等腰三角形的性质；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．【举一反三】(2015·湖北荆门，5题，3分)已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为（）A．8或10B．8C．10D．6或12【答案】C．【解析】试题分析：①2是腰长时，三角形的三边分别为2、2、4，∵2+2=4，∴不能组成三角形，②2是底边时，三角形的三边分别为2、4、4，能组成三角形，周长=2+4+4=10，综上所述，它的周长是10．故选C．考点：1．等腰三角形的性质；2．三角形三边关系；3．分类讨论．考点典例三、全等三角形【例3】如图，△ABC和△DEF中，AB=DE、角∠B=∠DEF，添加下列哪一个条件无法证明△ABC≌△DEF（）A．AC∥DFB．∠A=∠DC．AC=DFD．∠ACB=∠F【答案】C．【解析】5试题分析：根据全等三角形的判定定理，即可得出：∵AB=DE，∠B=∠DEF，∴添加AC∥DF，得出∠ACB=∠F，即可证明△ABC≌△DEF，故A、D都正确；添加∠A=∠D，根据ASA，可证明△ABC≌△DEF，故B都正确；添加AC=DF时，没有SSA定理，不能证明△ABC≌△DEF，故C都不正确．故选C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，证明三角形全等的方法有：SSS，SAS，ASA，AAS，还有直角三角形的HL定理．【举一反三】（2015.重庆市A卷，第20题，7分）如图，在△ABD和△FEC中，点B,C,D,E在同一直线上，且AB=FE,BC=DE,B=E。求证：ADB=FCE.【答案】证明见解析.考点：全等三角形的证明.考点典例四、相似三角形【例4】如图，在△ABC中，D、E分别是AB、BC上的点，且DE∥AC，若S△BDE：S△CDE=1：4，则S△BDE：S△ACD=（）20题图6A．1：16B．1：18C．1：20D．1：24【答案】C．【考点】相似三角形的判定与性质．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等高的三角形的面积的比等于底边的比，熟记相似三角形面积的比等于相似比的平方，用△BDE的面积表示出△ABC的面积是解题的关键．【举一反三】1.(2015.天津市，第16题，3分)如图，在△ABC中，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E.若AD=3，DB=2，BC=6，则DE的长为.7ECDAB【答案】185.【解析】试题分析：由DE∥BC可得△ADE∽△ABC,根据相似三角形的性质可得3,56ADDEDE=ABBC即,解得185DE.考点:相似三角形的判定与性质.2.(2015·黑龙江哈尔滨）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BA的延长线上，点F在BC的延长线上，连接EF，分别交AD、CD于点G，H，则下列结论错误的是（）（A）EAEGBEEF（B）EGAGGHGD（C）ABBCAECF（D）FHCFEHAD【答案】C考点：三角形相似的应用.考点典例五、位似三角形【例5】△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′的位似比是1：2，已知△ABC的面积是3，则△A′B′C′的面积是（）A．3B．6C．9D．12【答案】D．8【解析】考点：位似变换的性质．【点睛】此题主要考查了位似图形的性质，利用位似图形的面积比等于位似比的平方得出是解题关键．【举一反三】1.（2015·辽宁营口）如图，△ABE和△CDE是以点E为位似中心的位似图形，已知点A（3，4），点C（2，2），点D（3，1），则点D的对应点B的坐标是().A．（4，2）B．（4，1）C．（5，2）D．（5，1）【答案】C.【解析】试题分析：分别过C,D,A,B,做x轴的垂线，垂足分别是F,H,K；因为A,D的横坐标相同，所以D在AH上，∵E（1,0），C（2，2），A（3，4），D（3，1），∴EF=1，FH=1；∵CF∥AH∥BK,∴21EHEFAEEC,∵CD∥AB,∴21EBEDAEEC,∵DH∥BK,∴21EBEDBKDHEKEH,∵EH=2，DH=1，∴EK=4，BK=2，∴OK=5，∴B(5，2),故选C.考点：1.位似性质；2.平行线分线段成比例定理.2.（2015宜宾）如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，∠OCD=90°，CO=CD．若B（1，0），则点C的坐标为（）9A．（1，2）B．（1，1）C．（2，2）D．（2，1）【答案】B．考点：1．位似变换；2．坐标与图形性质．考点典例六：直角三角形【例6】（2015·湖南长沙）如图，为测量一颗与地面垂直的树OA的高度，在距离树的底端30米的B处，测得树顶A的仰角∠ABO为α，则树OA的高度为（）30.tanA米.30sinB米.30tanC米.30cosD米【答案】C【解析】试题分析：根据题意可得BO=30，tan∠ABO=AOBO，则AO=BO·tan∠ABO=30tanα.考点：三角函数的应用.【点睛】本题可以考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比边．10【举一反三】1.（2015·辽宁大连）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，点D在BC上，∠ADC=2∠B，AD=5，则BC的长为（）A.3-1B.3+1C.5-1D.5+1【答案】D考点：解直角三角形.2.(2015·湖北荆门，11题，3分)如图，在△ABC中，∠BAC=Rt∠，AB=AC，点D为边AC的中点，DE⊥BC于点E，连接BD，则tan∠DBC的值为（）[来源:Z。xx。k.Com]A．13B．21C．23D．14【答案】A．【解析】11考点：1．解直角三角形；2．等腰直角三角形．课时作业☆能力提升一、选择题1.（2015·湖南长沙）如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（）【答案】A【解析】试题分析：经过一个顶点作对边所在的直线的垂线段，叫做三角形的高.根据定义可得A是作BC边上的高，C是作AB边上的高，D是作AC边上的高.考点：三角形高线的作法2.（2015.山东济宁，第5题,3分）三角形两边长分别为3和6，第三边是方程213360xx的根，则三角形的周长为()A.13B.15C.18D.13或18【答案】A【解析】试题分析：解一元二次方程可求得方程的两根为124,9xx，那么根据三角形的三边关系，可知3＜第三边＜9，得到合题意的边为4，进而求得三角形周长为3+4+6=13．故选A12考点：解一元二次方程，三角形的三边关系，三角形的周长3.（2015.济宁，第9题,3分）如图，斜面AC的坡度（CD与AD的比）为1:2，AC=35米，坡顶有一旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带相连，若AB=10米，则旗杆BC的高度为()A.5米B.6米C.8米D.(35)米DCBA【答案】A考点：解直角三角形4.(2015.山东日照，第10题，3分)如图，在直角△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC=BD，连接AC，若tanB=，则tan∠CAD的值（）A.B.C.D.【答案】D【解析】试题分析：解：如图，延长AD，过点C作CE⊥AD，垂足为E，13∵tanB=，即=，∴设AD=5x，则AB=3x，∵∠CDE=∠BDA，∠CED=∠BAD，∴△CDE∽△BDA，∴，∴CE=x，DE=，∴AE=，∴tan∠CAD==．故选D．考点：解直角三角形．5.（2015成都）如图，在△ABC中，DE//BC，AD=6，BD=3，AE=4，则EC的长为（）A．1B．2C．3D．4【答案】B．【解析】试题分析：根据平行线段的比例关系，ADAEDBEC，即643EC，2EC，故选B．考点：平行线分线段成比例．6.(2015·黑龙江哈尔滨）如图：某飞机在空中A处探测到它的正下方地平面上目标C，此时飞机飞行高度14AC＝1200m，从飞机上看地平面指挥台B的俯角＝30，则飞机A与指挥台B的距离为（）（A）1200m(B)12002m(C)12003m(D)2400m【答案】D考点：三角函数的应用.7.（2015内江）如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E．若∠E=35°，则∠BAC的度数为（）A．40°B．45°C．60°D．70°【答案】A．【解析】试题分析：∵A