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七桥问题与一笔画赤城四小叶考良【教学目标】1、让学生体会用数学知识解决问题的方法。2、通过其中抽象出点、线的过程，使学生对点、线有进一步的认识。3、生活中的许多问题，可以用数学方法解决，但首先要通过抽象化和理想化建立数学模型、解决问题,通过“一笔画”的数学问题，解决实际问题。4、究“一笔画”的规律的活动，锻炼学生克服困难的意志及勇于发表见解的好习惯。5、“一笔画”问题及其结论的了解，扩大学生知识视野，激发学生学习兴趣。【重点】,运用“一笔画”的规律，快速正确地解决问题。【难点】,探究“一笔画”的规律【教学过程】一、展示问题引入新课下面呢老师要给大家讲个故事：18世纪时，欧洲有一个风景秀丽的小城哥尼斯堡，那里有七座桥。（课件出示）如图所示：河中有两个小岛,一个岛与河的左岸、右岸各有两座桥相连结，另一个岛与河的左岸、右岸各有一座桥相连结，两个岛屿之间也有一座桥相连结。人们经常在桥上走过，一天又一天，７座桥上走过了无数的行人。不知从什么时候起，脚下的桥梁触发了人们的灵感，一个有趣的问题在居民中传开了：谁能够一次走遍所有的７座桥，而且每座桥都只通过一次呢？大家都想找出问题的答案，但是谁也解决不了这个七桥问题。同学们，你能解决这个问题吗？为什么？你是怎样想的。二、分析并构建数学模型：后来著名数学家欧拉是这样解决的：他把两个岛屿和陆地分别看成点A,B,C,D.所走的七桥路线用线条表示，这样就构成了一个简单图形，于是，七桥问题就变成了这样一个图形问题：也就是怎样才能从A、B、C、D中的某一点出发，一笔画出这个图形。这节课我们重温欧拉的研究之路，探寻什么样的图形可以一笔画。一笔画指：1、下笔后笔尖不能离开纸。2、每条线都只能画一次而不能重复。A岛D岸B岛C岸●点A、B表示岛点C。D表示岸▎线表示桥同学们快速判断下面哪些图形能够一笔画?像这样各部分连在一起的图形，叫做连通图。能一笔画的图形必须是连通图。（课件出示连通图概念，同学们发现一笔画的图形必须是连通图）三、小组合作探究1、偶点和奇点是不是所有的连通图都能一笔画呢？接下来，他又花了大量的图来进行进一步的研究，发现了构成所有的图形的交点，不是奇点就是偶点。②有奇数条边相连的点叫奇点。如：●●●③有偶数条边相连的点叫偶点。如：●●2、小组合作探究我们看看是不是这样？（跟进判断练习）大量研究发现这与奇点的个数有关，老师给你一些图形，请你也做做实验，看看能不能像欧拉那样研究出结果？下列图形中。请找出每个图的奇点个数，偶点个数。试一试哪些可以一笔画出，请填表，从中你能发现什么规律？（1）、小组合作试验，填好试验单（2）、小组汇报试验单（3）、观察特点总结规律3、汇报研究结果，总结一笔画规律（1）奇点的个数是0或2的连通图。（2）当奇点个数是0的时候，任何一个点都可作起点，终点也是这个点；（3）当奇点个数是2的时候，起点一定是其中的一个奇点，终点一定是另一个奇点。4、用你发现的规律，说一说七桥问题的答案？问题解决了，可是大家形成了每周六去散步的习惯，如果让你当一回设计师，在此基础上进行二期工程改造，你能否设计不重复一次走完所有桥的路线图？四、知识的拓宽与深化在七桥问题中，如果允许再架一座桥，能否不重复地一次走遍这八座桥？这座桥应架在哪里？请你试一试！五、回归生活1、甲乙两个邮递员去送信,两人同时出发以同样的速度走遍所有的街道,甲从A点出发,乙从B点出发,最后都回到邮局(C点)。如果要选择最短的线路,谁先回到邮局?2、下图是一个公园的平面图,能不能使游人走遍每一条路不重复?入口和出口又应设在哪儿?六、课后延伸探究：赛纳河流经巴黎的这一段河中有两个岛，河岸与岛间共架设了15座桥。（l）能否从某地出发，经过这15座桥各一次后再回到出发点？（2）如果不要求回到出发点，能否在一次散步中，穿过所有的桥各一次？七、结束语同学们，数学来源于生活，只要同学们用善于发现的眼睛去观察生活就一定会有所收获,你们学了一笔画知识后，就可以当未来世界的设计师，把未来的城市街道设计成能一笔画成并回到出发点的路，把公园、展馆也设计成从某点出发能一笔画成的路线。到那时，投递员叔叔再送邮件时，就可以一次跑完所有街道最后回到邮局；人们参观公园只需走一趟就会对所有内容一览无余.在你们的劳动下，世界将会变得更美！欧拉(1707～1783)，18世纪最优秀的数学家，也是历史上最伟大的数学家之一，被称为“分析的化身”。他不但为数学界作出贡献，更把数学推至几乎整个物理的领域。他是数学史上最多产的数学家，平均每年写出八百多页的论文，还写了大量的力学、分析学、几何学、变分法等的课本，《无穷小分析引论》、《微分学原理》、《积分学原理》等都成为数学中的经典著作。欧拉对数学的研究如此广泛，因此在许多数学的分支中也可经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理。欧拉被称为有史以来最伟大的四位数学家之一。附：记录表教学反思如果说课内教学是小课堂，那么课外延伸就是大课堂。一笔画，是课外延伸的一个内容。《七桥问题与一笔画》是一个实验与探究的课题。这节课有两个重点：一是实验，二是探究。所以在刚开始展示题目时，就让学生反复实验，最终仍是不能一次不重复地走过七座桥。然后，引出欧拉对七桥问题的建模，把实际问题转化成“一笔画”的数学问题，并让学生体会到转化的数学思想以及从具体到抽象的思想。接着是活动探究，这是本节课的首要重点。在充分理解教材的基础上，我创造性地将教学内容重新打造，特意为学生设计了一个探究的图形与表格，为学生有效探究规律搭建了一个非常好的“手脚架”。学生在搜集、观察数据的同时，引发对数学问题的思考，培养学生的观察能力，用表格、语言表示规律，培养归纳猜想的能力。其次，运用“一笔画”的规律解决七桥问题，并把七桥问题拓宽与深化。最后，再次运用“一笔画”的规律解决生活中的实际问题，把数学问题又转化并应用到实际生活中，真正体现数学来源于生活并应用于生活这一特点，让学生感受到数学的价值。图号奇点个数偶点个数能否一笔画课堂教学中只有充分开放学习方式，才能拓宽学生的探究空间。在学生动手实践、自主探索、合作交流的学习过程中，本课注意了以下教学策略。①放手让学生动手操作心理学家皮亚杰指出：“活动是认识的基础，智慧从动作开始。”学生动手、动脑、动口，亲自操作感知，在头脑里形成鲜明的知觉表象，有助于他们对抽象数学知识的理解，启迪心智。②给予独立探究的空间让每个学生根据自己的体验，用自己喜欢的思维方式自由地、开放地去探究，去发现，去再创造有关的数学知识的过程。给予学生独立探究的时间和空间，促进学生主动、有效地进行探究。③引导自发合作探究合作探究是建立在学生自感独立探究有困难、或为了提高探究效率的基础上的，必须是学生自发的，让学生真正体验到有合作的必要性和必需性，体会到合作的优越性。④创新能力的启发与培养在课堂练习的环节设计了这样一道练习题：你能一笔画出下列图形吗？你还能再设计一个吗？通过学生的创造，他们一笔画出了鱼、树、花、音乐符号……学生主体性得到了充分的发展，体会到了自主、合作探索成功的喜悦。由此，增强了学生学习数学的兴趣，树立了学习数学的自信心；增强了自主探究、合作交流的意识，提高了探究的能力；求异思维、创新意识得到长足发展。反思本节课也不尽如人意的地方：在课的设计上可以更丰富一些，比如在学习了《一笔画》后，可以问学生，你觉得在哪些地方可以用到这些知识？有的说：出去旅游，选择线路图时，可以用到；分送报纸时可以省时……这样更能体现一笔画问题在生活中的应用由于课堂时间受到限制，设计了选择一个研究角度进行研究，这样有的研究行得通，有的行不通，因此一部分学生的研究没有得出结果，而只能在全班汇报的过程中聆听别人的研究成果，这是一个很大的遗憾。教师可以直接提供正反面材料，快速否定其中的两个行不通的研究角度，然后全班学生进行有效角度的研究，这样可以大大节省时间，同时让所有的学生进行有效的探究。