matlab最佳平方逼近

数值分析第一次试验最佳平方逼近试验任兵（200820302025）一、问题叙述求函数f(x)=exp(x)在[-1，1]上的二、三次最佳平方逼近多项式。二、问题分析由教材定义6.5有：对于给定的函数],[)(baCxf，如果存在*01(){(),(),,()}nSxSpanxxx使得22*()()()min()()()bbaaaxbxfxSxdxxfxsxdx则称S*(x)是f(x)在集合01{(),(),,()}nSpanxxx中的最佳平方逼近函数。显然，求最佳平方逼近函数)()(0**xaxSjnjj的问题可归结为求它的系数**1*0,,,naaa，使多元函数dxxaxfxaaaIjnjjban2010)()()(),,,(取得极小值，也即点(**1*0,,,naaa)是I(a0,…，an)的极点。由于I(a0,a1,…，an)是关于a0,a1,…，an的二次函数，利用多元函数取得极值的必要条件，0kaI(k=0,1,2,…,n)即0)()()()(20dxxxaxfxaIkjnjjbak得方程组),,2,1,0(,)()()()()()(0nkdxxxfxdxxxxakbajkbanjj如采用函数内积记号,)()()(),(,)()()(),(dxxxfxfdxxxxkqakjkbajk那么，方程组可以简写为0(,)(,)(0,1,2,,)nkjjkjafkn……………...（1）这是一个包含n+1个未知元a0,a1,…,an的n+1阶线性代数方程组，写成矩阵形式为0001000101111101(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)nnnnnnnnafafaf…………（2）此方程组叫做求aj(j=0,1,2,…,n)的法方程组。显然，其系数行列式就是克莱姆行列式Gn=Gn(0,1,…,n)。由于0,1,…,n线性无关，故Gn0，于是上述方程组存在唯一解),,1,0(*nkaakk。从而肯定了函数f(x)在01{(),(),,()}nSpanxxx中如果存在最佳平方逼近函数，则必是**0()()njjjSxax……………………………...（3）三、实验程序1、最佳平方逼近算法（1）输入被逼近函数f(x)和对应的逼近区间[a,b]并选择逼近函数系{∮（x）}和权函数；（2）解方程组（1）或（2），其中方程组的系数矩阵和右端的项由式（3）得到；（3）由式（3）得到函数的最佳平方逼近。2、将上述算法编写成MATLAB程序共需三个程序：（1）第一个程序（函数名：squar_approx.m）计算最佳逼近函数的系数，源代码如下：functionS=squar_approx(a,b,n)％定义逼近函数globali;globalj;％全局变量ifnargin3n=1;end％判断Phi2=zeros(n+1);％生成一个n+1*n+1大小的全0矩阵数组fori=0:nforj=0:n;Phi2(i+1,j+1)=quad(@rho_phi,a,b);％求rho_phi积分endendPhiF=zeros(n+1,1);％生成一个n+1*n大小的全0矩阵数组fori=0:nPhiF(i+1)=quad(@fun_phi,a,b);％求fun_phi积分ends=Phi2\PhiF;（2）第二个程序（函数名：rho_phi.m）代码如下：functiony=rho_phi(x)globali;globalj;y=(rho(x).*phi_k(x,i)).*phi_k(x,j);（3）第三个程序（函数名：fun_phi.m）functiony=fun_phi(x)globali;y=(rho(x).*phi-k(x,i)).*obj(x);四、试验结果f(x)=exp(x)在[-1，1]上的二、三次最佳平方逼近多项式。（1）编写下面三个函数：外部函数；多项式函数；被逼近函数；functiony=rho(x)％外部函数y=1;functiony=phi_k(x,k)％多项式函数ifk==0y=ones(size(x));elsey=x.^k;endfunctiony=obj(x)％被逼近函数y=exp(x)（2）当求的是二次逼近时得到如下结果clearS=squar_approx(-1,1,2)S=0.99631.10360.5367绘制两者的图形：fun='exp(x)';fplot(fun,[-1,1])holdonxi=-1:0.1:1;yi=polyval(S,xi);plot(xi,yi,'r:')得到如下结果：原函数exp(x)二次逼近（3）当求的是三次逼近时得到如下结果S=squar_approx(-1,1,3)S=0.99630.99800.53670.1761绘制图形如下：fun='exp(x)';fplot(fun,[-1,1])holdonxi=-1:0.1:1;yi=polyval(S,xi);plot(xi,yi,'r:')得到如下所得图形：原函数exp(x)三次逼近五．试验结论在该次实验中较顺利的达到了预期的结果。从试验结果看出三次逼近没有二次逼近效果理想，验证了最佳平方逼近理论。