必修二4.2.2圆与圆的位置关系

1、点和圆的位置关系有几种？如何判定?答：三种。点在圆外；点在圆上；点在圆内。设点P(x0，y0)，圆(x-a)2+(y-b)2=r2,圆心(a,b)到P(x0，y0)的距离为d,则:代数法:点在圆内(x0-a)2+(y0-b)2＜r2点在圆上(x0-a)2+(y0-b)2=r2点在圆外(x0-a)2+(y0-b)2＞r2几何法:点在圆内dr点在圆上d=r点在圆外dr2.判断直线和圆的位置关系:几何方法求圆心坐标及半径r(配方法)圆心到直线的距离d(点到直线距离公式)代数方法0)()(222CByAxrbyax消去y(或x)20pxqxt0:0:0:相交相切相离:::drdrdr相交相切相离直线和圆的位置关系几何方法代数方法圆和圆的位置关系几何方法代数方法类比猜想外离外切相交内切内含d＞R+rd=R+r|R-r|＜d＜R+rd=|R-r|d＜|R-r|圆与圆的位置关系有几种呢？如何判断圆与圆之间的位置关系呢几何方法两圆心坐标及半径(配方法)圆心距d(两点间距离公式)比较d和r1，r2的大小，下结论二、圆与圆的位置关系的判定：代数方法两圆的方程组成的方程组的实数解的情况代数法：联立直线的方程和圆的方程。1、如果方程组有两组实数解，则直线和圆相交。2、如果方程组有一组实数解，则直线和圆相切。3、如果方程组无实数解，则直线和圆相离。几何法：计算圆心到直线的距离d，和圆的半径r比较大小。1、如果dr，则直线和圆相交。2、如果d=r，则直线和圆相切。3、如果dr，则直线和圆相离。·222228804420xyxyxyxy①②例2：已知圆C1：，圆C2：，222880xyxy224420xyxy判断圆C1与圆C2的位置关系。解法一：圆C1与圆C2的方程联立，得到方程组：①-②得210xy③由③得12xy把上式代入①，并整理，得2230xx④方程④根的判别式2=-2-41(3)160（）所以，方程④有两个不相等的实数根，则方程组有两组不同的实数解，因此圆C1与圆C2相交。例2：已知圆C1：圆C2：222880xyxy224420xyxy判断圆C1与圆C2的位置关系。解法二：r1+r2=510∴C1和C2相交，它们有两个公共点圆C2：圆心坐标（2，2），r2=22(2)(2)10xy10|C1C2|=35r1-r2=51035510510圆心坐标（-1，-4），r1=522(1)(4)25xy圆C1：C2C1ABxyo●●•规律技巧:解决两圆的位置关系,运用几何方法(圆心距与半径的关系)比代数方法(方程组解的情况)简单.222228804420xyxyxyxy①②例2：已知圆C1：，圆C2：，222880xyxy224420xyxy判断圆C1与圆C2的位置关系，如果相交，求出交点坐标。解法一：圆C1与圆C2的方程联立，得到方程组：①-②得210xy③由③得12xy把上式代入①，并整理，得2230xx④解得121;3xx代入12xy可得121,1yy∴交点坐标为（-1,1），（3，-1）解：（1）联立方程得22224044120xyxyxy①②①-②得：20xy③2yx将此式代入①得212202;0xxxx代入③得120;2yy即两圆交点坐标是A(-2,0)；B(0,2)公共弦所在直线方程为：20xy例3：已知圆C1：2240xy2244120xyxy与圆C2：相交于（1）求C1与C2的公共弦所在直线的方程。A、B两点。分析：因两圆的交点坐标同时满足两个圆的方程,联立方程组消去x2项､y2项,即得两圆的两个交点所在的直线方程.利用勾股定理可求出两圆公共弦长.解：(2)∵两圆交点坐标是A(-2,0)；B(0,2)22(20)(02)22∴公共弦长即|AB|=法一：法二：∵两圆公共弦所在直线方程为:20ABlxy圆心C1到直线AB的距离2d∴公共弦长即|AB|=221224222rd例3：已知圆C1：2240xy2244120xyxy与圆C2：相交于（1）求C1与C2的公共弦所在直线的方程。（2）求C1与C2的公共弦的长度。A、B两点。xyoAB•规律技巧:求两圆的公共弦所在直线方程,只要将表示圆的两个方程相减即可得到.求圆的弦长用几何法简单.练习：已知圆C1:x2+y2+2x-6y+1=0,圆C2:x2+y2-4x+2y-11=0,求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长.题型三：与两圆相切有关的问题例2:求与圆x2+y2-2x=0外切且与直线相切于点的圆的方程.分析:先设出圆的方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r0),利用题设条件,得到关于a、b、r的三个方程,解方程组求得a,b,r即可.30xy(3,3)解:设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r0),将x2+y2-2x=0化为标准形式(x-1)2+y2=1,由题意可得规律技巧:本题利用了待定系数法,设出所求圆的方程,根据圆与圆相切,圆与直线相切的条件列出关于a,b,r的方程组求解.变式训练2:以(3,-4)为圆心,且与圆x2+y2=64内切的圆的方程.解:设所求圆的半径为r,则∴r=3或r=13,故所求圆的方程为(x-3)2+(y+4)2=9或(x-3)2+(y+4)2=169.223(4)|8|,r小结：判断两圆的位置关系的方法:(1)由两圆的方程组成的方程组有几组实数解确定.(2)依据连心线的长与两圆半径长的和或两半径的差的绝对值的大小关系.位置关系公共点个数圆心距|O1O2|图形示意外离外切相交内切内含0个|O1O2|r1+r21个|O1O2|=r1+r21个|O1O2|=|r1-r2|2个|O1O2|r1+r2|r1-r2|0个0≤|O1O2||r1-r2|复习作业：习题4.2A组8、9、10、11.易错探究例4:求与圆(x-2)2+(y+1)2=4相切于点A(4,-1)且半径长为1的圆的方程.错解:设所求圆的圆心C(a,b),则由①②解得a=5,b=-1.∴所求圆的方程为(x-5)2+(y+1)2=1.错因分析:两圆相切包括内切和外切两种情况,错解中认为相切就是外切,思考不到位,丢掉了内切的情况,造成错解.正解:设所求圆的圆心C(a,b),则①(1)当两圆外切时,有②由①②解得a=5,b=-1.∴所求圆的方程为(x-5)2+(y+1)2=1.22(4)(1)1,ab22(2)(1)3,ab(2)若两圆内切,则有③由①③解得a=3,b=-1.∴所求圆的方程为(x-3)2+(y+1)2=1.综上所述,所求圆的方程为(x-5)2+(y+1)2=1或(x-3)2+(y+1)2=1.22(2)(1)1,ab技能演练基础强化1.圆x2+y2-2x=0和x2+y2+4y=0的位置关系是()A.相离B.外切C.相交D.内切解析:圆:x2+y2-2x=0,配方(x-1)2+y2=1,圆心C1(1,0),半径r1=1.圆:x2+y2+4y=0,配方x2+(y+2)2=4,圆心C2(0,-2),半径r2=2.圆心距|C1C2|=r1+r2=3,∴两圆相交.答案:C52.两圆x2+y2=r2与(x-3)2+(y+1)2=r2(r0)外切,则r的值是()答案:D.10.510.5.2ABCD22(03)(01)102.10.2:rr解析圆心距3.已知半径为1的动圆与圆(x-5)2+(y+7)2=16相切,则动圆圆心的轨迹方程是()A.(x-5)2+(y+7)2=25B.(x-5)2+(y+7)2=17或(x-5)2+(y+7)2=15C.(x-5)2+(y+7)2=9D.(x-5)2+(y+7)2=25或(x-5)2+(y+7)2=9解析:设动圆圆心G(x,y).当两圆内切时,有(x-5)2+(y+7)2=9.当两圆外切时,有(x-5)2+(y+7)2=25.应选D.答案:D4.已知两圆x2+y2=10和(x-1)2+(y-3)2=20相交于A､B两点,则直线AB的方程是________.解析:二圆相减可得x+3y=0.x+3y=05.以点(1,2)为圆心,与直线4x+3y-35=0相切的圆的方程是_________________________.解析:半径又圆心(1,2).∴圆的方程为(x-1)2+(y-2)2=25.22|413235|5,43r(x-1)2+(y-2)2=256.两圆x2+y2=1和(x+4)2+(y-a)2=25相切,则实数a的值为__________.解析:当两圆内切时,有(0+4)2+(0-a)2=(5-1)2.∴a=0;当两圆外切时,有(0+4)2+(0-a)2=(5+1)2,∴a=±∴a=0或a=±25.25.025或能力提升7.已知点P是圆x2+y2=16上的一个动点,点A(12,0)是x轴上的一定点,当点P在圆上运动时,线段PA的中点M的轨迹是什么?并分析此轨迹与圆x2+y2=16的位置关系.解:设线段PA的中点M(x,y),P(x0,y0),则由中点坐标公式得:P(x0,y0)在圆x2+y2=16上,∴(2x-12)2+(2y)2=16,即(x-6)2+y2=4.这就是点M的轨迹方程.∴点M的轨迹是以(6,0)为圆心,2为半径的圆.两圆的圆心距而两半径之和为6.∴两圆相外切.22(60)06,d8.若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2ay-6=0(a0)的公共弦的长为则a=________.解析:两圆作差得弦所在直线方程为弦心距由弦心距､半弦及半径的关系得,∴a=1.23,1.ya1,da221(3)()4a1