§5-2微积分基本公式

§5－2微积分基本公式实例１以速度v(t)作变速直线运动s=s(t)的物体，在时间间隔[t0，T]内行进的路程为s=Ttdttv0=s(T)－s(t0)；注意s(t)=v(t)，所以定积分是被积函数的原函数在积分上下限之差．实例２以非负连续函数y=f(x)为曲顶、底为[a，b]的单曲边梯形的面积S=badttf=S(b)－S(a)，其中S(x)为曲边梯形在[a，x]段的面积；注意S(x)=f(x)，即S(x)是f(x)的一个原函数，所以定积分也是被积函数的原函数在积分上下限之差．再深入一步分析实例1．根据定积分的几何意义，其实S(x)=xadttf，即变动上限的定积分所确定的函数，正好就是被积函数的一个原函数．一、微积分基本定理设函数f(t)在[a，b]上可积，则对每个x[a，b]，有一个确定的值xadttf与之对应，因此可以按对应规律x[a，b]xadttf定义一个函数(x)=xadttf，x[a，b](1)称如此定义的函数(x)为积分上限函数，或称变上限函数．注意积分上限函数(x)是x的函数，与积分变量是t抑或u等无关．积分上限函数的几何意义正是实例1中所述的面积函数S(x)定理1(微积分基本定理)设函数f(x)在[a，b]上连续，则以(1)式定义的积分上限函数(x)在[a，b]上可导，且(x)=[xadttf]=f(x)，x[a，b]．(2)即连续函数的积分上限函数对上限求导等于被积函数．证明任取x[a，b]，改变量x满足x+x[a，b]，对应的改变量=(x+x)－(x)=xxadttf－xadttf=[xadttf+xxxdttf]－xadttf=xxxdttf，由积分中值定理=f()x，即x=f()，(介于x和x+x之间)当x0，x；而f(x)在区间[a，b]上连续，所以0limxf()=f(x)，于是0limxx=f(x)，即(x)在x处可导，且(x)=f(x)，x[a，b]．定理2(原函数存在定理)如果f(x)在区间[a，b]上连续，则在[a，b]上的原函数一定存在，且其中的一个原函数为(x)=xadttf．例1求xttdtedxd0sin．解xttdtedxd0sin=exsinx．例2求02)1ln(xdttdxd．解02)1ln(xdttdxd=])1ln([02xdttdxd=－ln(1+x2)．例3求22sinxadttdxd．解记(u)=uadtt2sin，则22sinxadtt=(x2)．根据复合函数求导法则，有22sinxadttdxd=[uadttdud2sin]dxdu=sinu22x=2xsinx4．二、牛顿－莱布尼兹公式定理3(牛顿－莱布尼兹公式)设f(x)在区间[a，b]上连续，F(x)是f(x)在[a，b]上的一个原函数，则babaxFdxxf)(=F(b)－F(a)．(3)其中记号baxF)(称为F(x)在a，b的双重代换，它是(3)式右边的简写．证明由定理1，(x)=xadttf是f(x)在[a，b]上的一个原函数，又题设F(x)是f(x)在[a，b]上的原函数，由原函数的性质，得(x)=F(x)+C，(axb，C为常数)．在上式中，分别以x=b，x=a代入后相减，得(b)－(a)=F(b)－F(a)．注意(a)=0，所以badxxf=(b)=(b)－(a)=F(b)－F(a)．公式(3)称为牛顿——莱布尼兹（Newton——Leibniz）公式，简称N——L公式．它把求定积分问题转化为求原函数问题，给出了一个不必求积分和的极限就能得到定积分的方法，称为微积分基本公式．例4求定积分：(1)103dxx；(2)40tanxdx．解(1)因为41x4是x3的一个原函数，由牛顿－莱布尼兹公式，103dxx=1044x=41；(2)因为－ln|cosx|是tanx的一个原函数，由牛顿－莱布尼兹公式，40tanxdx=40|cos|lnx=－(ln22－ln1)=21ln2．例5求定积分：(1)20|1|dxx；(2)11-)(dxxf，其中f(x)=0,1,20,1xxx．解(1)因为|1－x|=21,110,1xxxx，所以20|1|dxx=10)1(dxx+21)1(dxx=－21(1－x)210+21(x－1)221=1；(2)11-)(dxxf=01-)(dxxf+10)(dxxf=01-1dx+10)1(dxx=x01|+21(1+x)210=25．例6火车以72km/h的速度行驶，在到达某车站前以等加速度a=－2.5m/s2刹车，问火车需要在到站前多少距离开始刹车，可使火车到站时停稳？解首先计算开始刹车到停止所需的时间，速度从v0=72km/h=20m/s到v=0时间．因为开始刹车后火车以每秒－2.5m减速，由匀加速运动公式v(t)=v0+at=20－2.5t，令v(t)=0，得t=8(s)．以开始刹车作为计时开始，即t=0，则在t=0到t=8之间火车行进的路程s=8028080]4520[)5.220()(ttdttdttv=80m．所以火车需要在到站前80m开始刹车，才可使火车到站时停稳．*例7已知某化工产品的关于投资x的边际利润函数为MR=0.15(1－0.1e－0.1x)(万元)，现拟投资20万元，可望获利多少？解设关于投资x的利润函数为R(x)，则MR=R(x)，所以投资20万元时的利润R=]1.0[15.0)1.01(15.02001.02002001.0020dxedxdxedxMRxx=0.15(x+e–0.1x200)2.87．所以投资20万元时，可望获利2.87万元．练习5—21.回答下列问题：(1)运算“badxxfdxd=0”是否正确？为什么？(2)运算“11112]1[1xdxx=－[1－(－1)]=－2”是否正确？为什么？(3)运算“2622303cos1cos1cos12xxxxdtttdxdx”是否正确？为什么？2.计算下列各导数：(1)xdttdxd01；(2)xdttdxdcos02)cos(．3．计算下列各定积分：(1)012241133dxxxx；(2)dxx30|2|；(3)20dxxf，其中f(x)=.1,21,1,12xxxx