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《测试与检测技术基础》习题集王伯雄王雪李玉和罗秀芝选编清华大学精密仪器与机械学系2006年1月·1·绪言本习题集适用于机械工程学院平台课《测试与检测技术基础》，所采用的教材为《测试技术基础》。习题选编时主要考虑加强学生对课程基本内容的理解，对学生分析问题能力及应用能力的培养。习题集习题部分选自已有的习题，部分是我们在科研工作中总结抽选出来的成果内容。本习题集是原习题集2001版的再版，再版时根据教学大纲对原内容进行了大幅度的修改，增加了40％的习题量。由于编者的水平和视野的局限性，在本题集的选材和内容安排上一定有许多不足之处，恳望读者提出宝贵意见。编者2006年1月·2·第1章绪论1．什么是测量？试用数学关系式表达一个测量过程。2．实施测量的基本前提条件是什么？3．什么是国际单位制？其基本量及其单位是什么？4．试述一个测试系统的基本组成及其各环节的功能。5．考虑一根玻璃水银温度计作为一个测温系统，详细讨论组成该系统的各级。6．自己选择一本有关测试技术的参考书，写一篇关于其中一章测量某某物理量的过程和方法的总结。·3·第2章测试信号分析与处理1．判断下列序列是否是周期函数。如果是，确定其周期。（1）()⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=π8njenx（2）()nenxπ10cos2=2．已知周期信号x(t)的傅里叶系数是an，bn，cn。试证明延时信号x(t-t0)的傅里叶级数是()∑∑∞+−∞=∞=′=⎟⎠⎞⎜⎝⎛′+′+=−ntjnnnnnectnbtnaattx001000sincosωωω其中：0000sincostnbtnaannnωω−=′0000cossintnbtnabnnnωω+=′00tjnnneccω−=′3．求周期信号的傅里叶级数，并绘出其频谱图(1)x(t)t2T−0+1-1…2T…(2)x(t)t2T−0A-A…2T…(3)x(t)t0A……T周期性锯齿波x(t)=2/T•t(-T/2≤t≥T/2)周期方波()()⎩⎨⎧≤≤≤≤−−=T/2t0A0tT/2Ax(t)全波整流tSinωAx(t)0=·4·(4)x(t)t2T−01…2T…(5)x(t)t2τ−01…2τ…T4．求下列非周期信号的傅里叶变换，并绘出其频谱图（1）指数函数x(t)=Ae-at(a0，t≥0)（2）符号函数(下图中a)，单位阶跃函数(下图中b)x(t)t01-1x(t)t01(a)(b)提示：符号函数可记作Sgn(t)，可先对⎩⎨⎧−=−−000x(t)λλλtetett作傅里叶变换，变换后取极限λ→0，就得到符号函数的傅里叶变化；单位阶跃函数u(t)可看成是符号函数在纵坐标上平移而得。（3）周期指数()0x(t)=aeat(在-T/2，T/2内)注：用复指数计算周期方形脉冲讨论T=3τ，T=5τ时频谱图的变化·5·x(t)t01TT’截断的余弦函数⎪⎩⎪⎨⎧=TTttt,,00cosx(t)ω并用图解法讨论T0=T’，T0T’，T0T’时，对频谱图的影响。（4）指数衰减振荡信号x(t)=e-atcosω0t（5）x(t)t01τW（6）x(t)t01Tτ（7）绘出x(t)=Acos(2f0t+Φ)+k，时域图和频谱图。（8）x(t)t01-τ/2τ/2具有时移τ的三角脉冲(按一种方法计算，另外列出两种解法的思路)具有时移τ和在原点的两个方波脉冲求余弦脉冲的频谱()()()()⎩⎨⎧≥=2/τt02/τtτtcostxπ·6·（9）x(t)t0τ0（10）x(t)t0…5．已知一信号x(t)及其频谱如图1－5所示，现用其与一振荡信号cos2πf0t（f0fm）相乘。（在这个关系中，信号x(t)叫做调制信号，振荡信号叫做载波。）试求调幅信号x(t)cos2πf0t的傅里叶变换，并示意画出调幅信号及其频谱。又问：若f0fm时将会出现什么情况。x(t)t0x(f)tfm-fmII0图1－56．信号x1(t)与x2(t)间关系如图1－6所示，已知x1(t)的频谱为X1(f)，求信号x2(t)的频谱X2(f)。x1(t)tt0x2(t)tt0图1－6求二余弦脉冲的频谱用图解方法求调制信号x(t)=e-atcosω0t(a0，t≥0)经周期化后的频谱·7·7．图解法求卷积X1(t)tX2(t)t8．求()()btatee−−∗信号的傅里叶变换，并绘出其频谱图，(a0，b0，t0)。9．对三个正弦信号x1(t)=cos2πt，x2(t)=cos6πt，x3(t)=cos10πt，进行理想采样，采样频率fs=4Hz。求三个采样输出序列，比较三个结果，画出x1(t)、x2(t)和x3(t)的时域波形及采用点位置，并以频域图形解释频率混叠现象。10．计算下列离散时间序列的DFT（21,1,21,0,21,1,21,0−−−）11．用FFT算法求上题序列的频谱。试对此二题的结果作出解释。12．求x(t)=Asinωt的概率密度函数，并绘出其曲线图。13．求周期余弦信号x(t)=Acosω0t的自相关函数和功率谱，并绘出其图形。14．求方波和正弦波(见下图)的互相关函数。试与二正弦波相关的结果作比较，并分析其原因。x(t)t01-1y(t)t01-1Sinωt*·8·15．设y=x2。试就x=0，1，2，3，4，5。六个数据点计算x与y之间的相关系数ρxy，并解释所得结果。16．用图解法推演指数函数：x(t)=e-t（t≥0）的离散傅里叶变换(DFT)。已知x(t)及其频谱()fX如题图7-18所示。x(t)t01|X(f)|f01题图7－1817．一平稳随机信号经低通滤波后作数字频谱分析。设仅对信号中500Hz以下频率成分感兴趣，并希望以0.5Hz的分辨率分析其频谱。试求：（1）采样频率fs。（2）采样点数N。（3）窗长T。·1·第3章测试系统特性分析1．一台压电式传感器的灵敏度Scp=9.00PC/N，把它和一台灵敏度调到Svc=0.005V/PC的电荷放大器连接，然后接到灵敏度为Sxv=20mm/V的光线示波器上记录。试画出仪器框图，并计算总灵敏度S。2．一量程为50µA的微安表，校准时读数如下：测量次数12345标准表读数1020304050被校表读数1020.529.53950.5求该表的线性度(用最小二乘法回归)若用计算机，试用Matlab语言编写此计算过程程序。3．求题图2－3所示串联、并联和具有负反馈的测量系统的总灵敏度S。图中各环节均为线性环节。xS1S2SnxyS1S2Sn……yS2S3yxS1图2－34．用一个时间常数τ=0.35秒的一阶装置（传递函数()ssHτ+=11）去测量周期分别为1秒、2秒和5秒的正弦信号，问各种情况的相对幅值误差将是多少？5．一减速箱减速比为5：1，两齿轮转轴上各有其不平衡量，引起的振动在减速箱上测得得信号为y(t)，经频谱分析仪分析出其频谱图为()fY，试答：y(t)t|Y(f)|f(Hz)1020304050·2·（1）此被测机械系统的输入输出各是什么？（2）此系统是否是线性系统？（3）在频谱图上那两个频率成分是二轴不平衡振动所引起的。（电机转速为3000转/分）6．求周期信号x(t)=2cos100t+cos(300t-π/4)通过一阶系统，[其频响函数H(jω)=1/(0.05jω+1)]后的稳态响应。（1）列出时域求输出响应的步骤；（2）用图解法求；①时域输入与输出的合成波形；②输入、输出的频域表达(幅值频谱与相位频谱)。7．试说明测试用二阶装置阻尼比ξ大多采用ξ=0.6~0.7的原因。8．一个二阶动态特性()()()⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++=nnnjjsH2222ωωζωωω测试装置的阻尼比ζ=0.7，固有频率fn=50Hz，求其在题图3-16所示信号x(t)激励下的稳态输出y(t)。9．一测试装置的幅频特性如题图2－10所示，相频特性为：ω=125.5rad/s时相移75°；ω=150.6rad/s时相移90°；ω≥626rad/s时相移180°。若用该装置测量下两复杂周期信号：x1(t)=A1sin125.5t+A2sin150.6tx2(t)=A3sin626t+A4sin700t试问，该装置对x1(t)和x2(t)能否实现不失真测量？为什么？A(f)f(Hz)1419图2－101x(t)t0.0250.05····3·10．求周期信号x(t)=0.5cos10t+0.2cos(10t-45°)通过传递函数为()1005.01+=ssH的装置后所得到的稳态响应。11．将温度计从20℃的空气中突然插入80℃的水中，若温度计的时间常数τ=3.5S，求2S后的温度计指示值是多少？12．一气象探测气球升空时携带一时间常数为15τ的一阶温度计，并以5m/s的速度通过大气层，已知温度随高度变化为升高30m下降0.15℃，探测气球将高度和温度数据无线电信号发回地面，按理论计算，在3000m处的温度应为-1℃。试问在实测到-1℃处的高度应是多少？13．已知一个二阶系统的测试装置的静态增益为4，输入一单位力激励后其响应中的最大超调量为9.42s。试求该装置的传递函数及其无阻尼频率。·1·第4章被测量的获取1．有一钢板原长L=1m；钢板的弹性模量E=2.1×106kg·f/cm2，在力P作用下，使用BP—3型箔式应变片（其R=120Ω；灵敏度系数K=2）。测出拉伸应变为300με。求：钢板的伸长ΔL；σ应变片的ΔR/R；如果要测出1με，则相应的ΔR/R是多少？2．有一电阻应变片，其灵敏度S=2，R=120Ω。设工作时其应变为1000με，问其ΔR=?若将此应变片接成如图所示电路，试求：（1）无应变时的电流表示值；（2）有应变时的电流表示值；（3）电流表的示值相对变化量；（4）这一变化量是否能从表中读出。3．一电容测微仪，其传感器的圆形极板半径为r=4mm，工作初始间隙d0=0.3mm，空气介质。求：（1）如果传感器的工作间隙由初始间隙变化Δd=±1μm时，电容的变化量是多少？（2）如果测量电路的放大系数K2=1mV/PF，读数仪表的灵敏度K0=5格/mV，Δd=±1μm时，读数仪表的指示值变化多少格？4．一平行板电容位移传感器，极板宽度b=4cm；极板间距δ=0.2mm，若用它来测位移X，试计算其灵敏度。5．一铂电阻温度传感器用于测量0∼200℃的温度。传感器的电阻—温度关系为：RT=R0(1+αT+βT2)，已知：R0=100Ω，R100=138.5Ω，R200=175.83Ω。试计算：（1）α及β值（2）传感器在100℃的非线性度。6．电容式液位计如图，液缸中放两个金属圆筒，外筒内径2R，内筒外径2r，缸中液体介电常数ε1，气体介质电常数ε0，电极总长L，液面高度L1。求：（1）液面高度L1与电容C的关系式；（2）灵敏度S，分析L1与C是否是线性关系。P应变片钢板LmA工件dxbε0ε1L12r2RL·2·7．以变气隙自感传感器为例，试分析差动与非差动的传感器的灵敏度。9．用固有频率fn=15Hz，阻尼率ζ=0.7的惯性速度传感器，测量下列两种振动：x1(t)=5aSin(2πf1t)；x2(t)=aSin(2πf2t)，其中f1=10Hz，f2=100Hz。试求此传感器的输出信号，如果用压电加速度传感器，其输出信号又如何？9．今欲设计一测量30Hz以上的振动的速度传感器，要求最大振幅误差不超过±5%，若阻尼率ζ=0.6，问机械系统固有频率应取何值？10．总结速度传感器与加速度传感器的工作频段以及m、K、ζ对工作频段的影响。11．设一力传感器可作为二阶振动环节处理，已知传感器的固有频率f0=800Hz，阻尼比ζ=0.14。用它测量正弦变化的外力，其频率为f=400Hz。求振幅比A(ω)及相角差ψ(ω)。若将ζ改为0.7，A(ω)与ψ(ω)又是何值？12．有一片霍尔元件，其灵敏度KH=1.2mV/mA·KGS，把它放在一个梯度为5KGS/mm的磁场中，若额定控制电流是20mA，并设霍尔元件在平衡位置附近做±0.01mm的摆动，试计算其输出电势。13．压电式加速度计与电荷放