数值分析课件典型例题与习题1

1/36《数值分析》典型例题I一、二章内容提要典型例题分析例题与练习题实验题介绍2/36化大为小化繁为简化难为易核心的概念误差算法的构造与分析收敛性稳定性复杂度(时间与空间)等01:313/36有效数字概念若近似值x的绝对误差限是某一位上的半个单位,该位到x的第一位非零数字一共有n位,则称近似值x有n位有效数字。01:31******.*****x从左向右看第一个非零数误差限不超过该位的半个单位n位有效数字4/36nraxe1051)(如果x具有n位有效数字,则相对误差满足:mnaaax10021.nmxxxe1021|)(|其绝对误差满足:如果一个规格化浮点数则称近似数x具有n位有效数字。5/36*lim()nnxx0101()()nnxxxxx迭代法思想:01:31收敛性收敛速度|()|1xIterate:Tosayordoagainoragainandagain(1)()(*)(*)(*)0(*)0rrxxxx6/36例1.经过四舍五入得出x1=6.1025和x2=80.100,试问它们分别具有几位有效数字?解：*4112|*|10xx*3122|*|10xx7/36例2.已知近似数x有两位有效数字,试求其相对误差限。解：|er(x)|5*10-28/36例3.如下近似值的绝对误差限均为0.005,问各近似值有几位有效数值x1=1.38,x2=-0.0312,x3=0.00086。9/36例4.二次方程x2–16x+1=0,取求使具有4位有效数。937.7636381x解:直接计算x1≈8–7.937=0.063修改算法1110.06274715.937863x000005093715000509371593715221.).(.).().()(x4位有效数0005.0)937.7()8()(1x计算出的x1具有两位有效数10/36例5.采用迭代法计算,取x0=77)7(211kkkxxx(k=0，1，2，……)若xk具有n位有效数字,求证xk+1具有2n位有效数字。77)/7(21)/7(2121kkkkkxxxxx221|7|721)7(21|7|kkkkxxxxnkkxx22211041721|7|721|7|nkx2111021|7|Ex1：对是否都有这一性质?C11/36例6.序列{yn}满足递推关系yn=10yn-1–1(n=1,2,·····)若取y0=21/2≈1.41(三位有效数字)。递推计算y10时误差有多大？思考:这个计算过程稳定吗？例7.设y0=28,按递推公式yn=yn-1–(783)1/2/100(n=1,2,·····)计算到y100。若取(783)1/2≈27.982(5位有效数字),试问计算y100将有多大的误差？12/36例8.设计算球体V允许其相对误差限为1%,问测量球半径R的相对误差限最大为多少?)(4)(2ReRVe)(3)(ReVerr解：由球体计算公式分析误差传播规律故当球体V的相对误差限为1%时，测量球半径R的相对误差限最大为0.33%。334RVdRRdV24相对误差传播规律13/36例9.利用级数可计算出无理数的近似值。由于交错级数的部分和数列Sn在其极限值上下摆动,试分析为了得到级数的三位有效数字近似值应取多少项求和。71513114解:由部分和nkknkS11121)1(121|4|nSn只需31021121nn1000时,Sn有三位有效数。14/362[arctan()]11dxdxx201arctan()arctan(0)arctan()1xdxxxx2311(11)1aaaaa2460(1)darctan()xaaaax3571arctan()357xxxx15/3610ie16/36例10.在计算机上对调和级数逐项求和计算nknkS11当n很大时，Sn将不随n的增加而增加。试分析原因。17/36例11.证明方程1-x-sinx=0在区间[0,1]上有一根,使用二分法求误差不大于0.5*10-4的根需要二分多少次？提示:f(0)=1,f(1)=-sin10。且f′(x)=-1-cosx在区间(0,1]严格单调递减。411011022n18/36例12.构造求ex+10x-2=0根的迭代法。提示:(2e)()10xx()10xex故迭代法算法一阶收敛。19/36例13.应用牛顿迭代法于方程x3–a=0,导出求立方根的迭代公式,并讨论其收敛阶。解：令f(x)=x3–a，则牛顿迭代公式22313323nnnnnnxaxxaxxx2332)(xaxx33232)(xax42)(xax**()0()0xx且故立方根迭代算法二阶收敛20/36例14.设a为正实数,试建立求1/a的牛顿迭代公式,要求在迭代公式中不含有除法运算,并考虑迭代公式的收敛。xn+1=xn(2–axn)，(n=0，1，2……)kaxaxk20)1(1])1(1[120kaxaxk所以,当|1–ax0|1时,迭代公式收敛。01)(axxf解:建立方程利用牛顿迭代法，得1–axn+1=(1–axn)2整理，得21/36例15.证明对于C0,迭代格式212(3)3nnnnxxCxxC*xC是计算的三阶方法。22/36例16.***()1()()0xpxfx解:2()()()()(),()(),()0()xxpxfxqxfxpxqxfxx设试确定函数和使求解根的迭代格式至少三阶收敛。2()1()()()()()()2()()()xpxfxpxfxqxfxqxfxfx2()()()()()()()()()()()2()()()2()()()2()()()2()()()xpxfxpxfxpxfxpxfxqxfxqxfxfxqxfxfxqxfxfxqxfxfx*******2()2()()()()2()[()]0xpxfxpxfxqxfx()1/()pxfx3()()2[()]fxqxfx23/36Ex2.若x*是f(x)=0的m重根,试证明修正的牛顿迭代法1()()nnnnfxxxmfx至少为二阶收敛。1/1/1()[()]()1/[()]()mmuxfxuxmfxfx且[f(x)]1/m或f(x)/f′(x)单根1/1/1[()](x)()1/[()]()()mmfxfxxxmmfxfxfx24/36Ex3对于复变量z=x+iy的复值函数f(z)应用牛顿迭代公式)()(1nnnnzfzfzz时为避开复数运算,令zn=xn+iynf(zn)=An+iBn，f′(zn)=Cn+iDn证明221nnnnnnnnDCDBCAxx221nnnnnnnnDCCBDAyy25/36例17.提示:取初值x1=21/2,222lim=2nnnxx给出求的迭代格式,并证明。12nnxx迭代格式考虑序列单调有界,则该序列必有极限。26/3601:31**2.5(),()()1,xxxxx定理设为的不动点在的某邻域连续且则迭代法局部收敛。例18.:()x提示因为连续,由局部保号性知存在一个邻域|()|1,xL有且有|()|1,xL有且有***|()||()()|||xxxxLxx****[,]()xxxxxx对于有27/36例19.已知方程x3-x2-1=0在x0=1.5附近有根,试判断下列迭代格式的收敛性。223111111/;2)1/13)1);nnnnnxxxxxx。28/36例20.证明由迭代格式xn+1=xn/2+1/xn产生的迭代序列{xn},对任意的x00,均收敛于21/2。21212(2)2(2)nnnnxxxx29/36牛顿迭代法的收敛域问题:用牛顿迭代法求解方程zd–1=0的复根。例如d=3时,方程在复平面上三个根分别是iz23212iz23213z1=1选择中心位于坐标原点，边长为2的正方形内的任意点作初始值，进行迭代，把收敛到三个根的初值分为三类，并分别标上不同颜色(例如红、绿和蓝)。对充分多的初始点进行实验，绘出牛顿迭代法对该方程的收敛域彩色图。30/3631/3632/3633/3634/36%%PerformNewtoniterationsfork=1:maxIter;Z=Z-(f(Z,d)./fprime(Z,d));endfunctiony=f(x,d);y=(x.^d)-1;endfunctiony=fprime(x,d);y=d*(x.^(d-1));end代码片段1:35/36%%Finddrootsofunity,andthemaskforj=1:droot=exp(2*pi*i/d)^j;%thejthrootMj=abs(Z-root);%distance%Eachrootgetsauniquenumberin[1,d]mask=(Mj=tol)*j;renderMat=renderMat+mask;endcolormap(hsv);%Setthecolormapimagesc(renderMat)%Renderthefractal代码片段2:36/36作业题目1:您研究领域中的数值分析问题？01:31题目2:用Newton迭代法法画出最美的图形标准:1.图形美2.代码美要求:1.m文件2.说明文档(word或pdf)