北师大版2017高考数学总复习11-2综合法课件PPT

基础诊断考点突破第2讲综合法、分析法、反证法基础诊断考点突破最新考纲1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点；2.了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程和特点．基础诊断考点突破知识梳理1．直接证明内容综合法分析法基础诊断考点突破定义从命题的出发，利用，通过演绎推理，一步一步地接近要证明的，直到完成命题的证明．我们把这样的思维方法称为综合法.从出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等．我们把这样的思维方法称为分析法．条件定义、公理、定理及运算法则结论求证的结论充分条件基础诊断考点突破实质由因导果执果索因框图表示P⇒Q1→Q1⇒Q2→…→Qn⇒QQ⇐P1→P1⇐P2→…→得到一个明显成立的条件文字语言因为……所以……或由……得……要证……只需证……即证……基础诊断考点突破2.间接证明间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，反证法是一种常用的间接证明方法．(1)反证法的定义：在假定命题结论的前提下，经过推理，若推出的结果与定义、公理、定理矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定命题结论成立的方法叫反证法．(2)用反证法证明的一般步骤：①反设——假设命题的结论不成立；②归谬——根据假设进行推理，直到推出矛盾为止；③结论——断言假设不成立，从而肯定原命题的结论成立．反面成立基础诊断考点突破诊断自测1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)精彩PPT展示(1)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．()(2)用反证法证明结论“ab”时，应假设“ab”．()(3)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾．()(4)在解决问题时，常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程．()基础诊断考点突破解析(1)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充分条件．(2)应假设“a≤b”．(3)反证法只否定结论．答案(1)×(2)×(3)×(4)√基础诊断考点突破2．要证a2＋b2－1－a2b2≤0，只要证明()A．2ab－1－a2b2≤0B．a2＋b2－1－a4＋b42≤0C.a＋b22－1－a2b2≤0D．(a2－1)(b2－1)≥0解析a2＋b2－1－a2b2≤0⇔(a2－1)(b2－1)≥0.答案D基础诊断考点突破3．若a，b，c为实数，且ab0，则下列命题正确的是()A．ac2bc2B．a2abb2C.1a1bD.baab解析a2－ab＝a(a－b)，∵ab0，∴a－b0，∴a2－ab0，∴a2ab.①又ab－b2＝b(a－b)0，∴abb2，②由①②得a2abb2.答案B基础诊断考点突破4．用反证法证明命题：“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是()A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根解析因为“方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”等价于“方程x3＋ax＋b＝0的实根的个数大于或等于1”，所以要做的假设是“方程x3＋ax＋b＝0没有实根”．答案A基础诊断考点突破5．(教材改编)在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，则△ABC的形状为________．解析由题意2B＝A＋C，又A＋B＋C＝π，∴B＝π3，又b2＝ac，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－ac，∴a2＋c2－2ac＝0，即(a－c)2＝0，∴a＝c，∴A＝C，∴A＝B＝C＝π3，∴△ABC为等边三角形．答案等边三角形基础诊断考点突破考点一综合法的应用【例1】(2017·东北三省三校模拟)已知a，b，c0，a＋b＋c＝1.求证：(1)a＋b＋c≤3；(2)13a＋1＋13b＋1＋13c＋1≥32.证明(1)∵(a＋b＋c)2＝(a＋b＋c)＋2ab＋2bc＋2ca≤(a＋b＋c)＋(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)＝3，∴a＋b＋c≤3.基础诊断考点突破(2)∵a＞0，∴3a＋1＞0，∴43a＋1＋(3a＋1)≥243a＋13a＋1＝4，∴43a＋1≥3－3a，同理得43b＋1≥3－3b，43c＋1≥3－3c，以上三式相加得413a＋1＋13b＋1＋13c＋1≥9－3(a＋b＋c)＝6，∴13a＋1＋13b＋1＋13c＋1≥32.基础诊断考点突破规律方法用综合法证题是从已知条件出发，逐步推向结论，综合法的适用范围：(1)定义明确的问题，如证明函数的单调性、奇偶性、求证无条件的等式或不等式；(2)已知条件明确，并且容易通过分析和应用条件逐步逼近结论的题型．在使用综合法证明时，易出现的错误是因果关系不明确，逻辑表达混乱．基础诊断考点突破【训练1】设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1，证明：(1)ab＋bc＋ac≤13；(2)a2b＋b2c＋c2a≥1.证明(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.由题设知(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤13.基础诊断考点突破(2)因为a＞0，b＞0，c＞0，所以a2b＋b≥2a，b2c＋c≥2b，c2a＋a≥2c，故a2b＋b2c＋c2a＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，即a2b＋b2c＋c2a≥a＋b＋c.所以a2b＋b2c＋c2a≥1.基础诊断考点突破考点二分析法的应用【例2】已知a＞0，证明：a2＋1a2－2≥a＋1a－2.证明要证a2＋1a2－2≥a＋1a－2，只需证a2＋1a2≥a＋1a－(2－2)．基础诊断考点突破因为a＞0，所以a＋1a－(2－2)＞0，所以只需证a2＋1a22≥a＋1a－2－22，即2(2－2)a＋1a≥8－42，只需证a＋1a≥2.因为a＞0，a＋1a≥2显然成立a＝1a＝1时等号成立，所以要证的不等式成立．基础诊断考点突破规律方法(1)逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件．正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键．(2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证.基础诊断考点突破【训练2】△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，A，B，C的对边分别为a，b，c.求证：1a＋b＋1b＋c＝3a＋b＋c.基础诊断考点突破证明要证1a＋b＋1b＋c＝3a＋b＋c，即证a＋b＋ca＋b＋a＋b＋cb＋c＝3也就是ca＋b＋ab＋c＝1，只需证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，需证c2＋a2＝ac＋b2，又△ABC三内角A，B，C成等差数列，故B＝60°，由余弦定理，得b2＝c2＋a2－2acos60°，即b2＝c2＋a2－ac，故c2＋a2＝ac＋b2成立．于是原等式成立．基础诊断考点突破考点三反证法的应用【例3】等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1＋2，S3＝9＋32.(1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn；(2)设bn＝Snn(n∈N＋)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．(1)解由已知得a1＝2＋1，3a1＋3d＝9＋32，解得d＝2，故an＝2n－1＋2，Sn＝n(n＋2)．基础诊断考点突破(2)证明由(1)得bn＝Snn＝n＋2.假设数列{bn}中存在三项bp，bq，br(p，q，r∈N＋，且互不相等)成等比数列，则b2q＝bpbr.即(q＋2)2＝(p＋2)(r＋2)．∴(q2－pr)＋2(2q－p－r)＝0.∵p，q，r∈N＋，∴q2－pr＝0，2q－p－r＝0.∴p＋r22＝pr，(p－r)2＝0.∴p＝r，与p≠r矛盾．∴数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．基础诊断考点突破规律方法(1)当一个命题的结论是以“至多”、“至少”、“唯一”或以否定形式出现时，可用反证法来证，反证法关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是与已知条件矛盾，与假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等．(2)用反证法证明不等式要把握三点：①必须否定结论；②必须从否定结论进行推理；③推导出的矛盾必须是明显的．基础诊断考点突破【训练3】(2017·郑州一中月考)已知a1＋a2＋a3＋a4100，求证：a1，a2，a3，a4中至少有一个数大于25.证明假设a1，a2，a3，a4均不大于25，即a1≤25，a2≤25，a3≤25，a4≤25，则a1＋a2＋a3＋a4≤25＋25＋25＋25＝100，这与已知a1＋a2＋a3＋a4100矛盾，故假设错误．所以a1，a2，a3，a4中至少有一个数大于25.基础诊断考点突破[思想方法]分析法和综合法各有优缺点．分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考．实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来．基础诊断考点突破[易错防范]1．用分析法证明时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)……”“即证……”“只需证……”等，逐步分析，直到一个明显成立的结论．2．在使用反证法证明数学命题时，反设必须恰当，如“都是”的否定是“不都是”“至少一个”的否定是“不存在”等.