2016年《南方新课堂・高考总复习》数学(理科) 第二章 第4讲 函数的单调性与最值

第4讲函数的单调性与最值1．会求一些简单函数的值域．2．理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义．1．函数的单调性设函数y＝f(x)的定义域为A，区间I⊆A，如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说y＝f(x)在区间I上是单调递增函数，I称为y＝f(x)的单调递增区间；如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1x2时，都有____________，那么就说y＝f(x)在区间I上是单调递减函数，I称为y＝f(x)的单调递减区间．f(x1)f(x2)前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件①对于任意x∈I，都有f(x)≤M；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M①对于任意x∈I，都有f(x)≥M；②存在x0∈I，使得____________结论M为最大值M为最小值2．用导数的语言来描述函数的单调性设函数y＝f(x)，如果在某区间I上f′(x)0，那么f(x)为区间I上的增函数；如果在某区间I上__________，那么f(x)为区间I上的减函数．f′(x)03．函数的最大(小)值f(x0)＝M)D1．函数y＝x2－6x的单调递减区间是(A．(－∞，2]B．[2，＋∞)C．[3，＋∞)D．(－∞，3]2．若函数y＝(2k＋1)x＋b在实数集上是增函数，则()A．k－12B．k－12AC．b0D．b03．已知函数f(x)的值域是[－2,3]，则函数f(x－2)的值域为()DA．[－4,1]C．[－4,1]∪[0,5]B．[0,5]D．[－2,3]4．(2015年广东汕头一模)下列函数中，是偶函数，且在区间(0，＋∞)内单调递增的函数是()DA．y＝xB．y＝cosxC．y＝|lnx|D．y＝2|x|12考点1利用定义判断函数的单调性例1：已知函数f(x)＝x2＋ax(x≠0，a∈R)．(1)判断函数f(x)的奇偶性；(2)若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数,求实数a的取值范围.(2)设x2x1≥2，f(x1)－f(x2)＝x21＋ax1－x22－ax2＝x1－x2x1x2[x1x2(x1＋x2)－a]，由x2x1≥2，得x1x2(x1＋x2)16，x1－x20，x1x20.要使f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，只需f(x1)－f(x2)0，即x1x2(x1＋x2)－a0恒成立，则a≤16.解：(1)当a＝0时，f(x)＝x2为偶函数；当a≠0时，f(－x)＝x2－ax≠±f(x)，则f(x)既不是奇函数也不是偶函数．【规律方法】(1)利用增、减函数的定义证明或判断函数的单调性,其步骤是：设出指定区间上的任意两个值→作差→变形→判符号→定结论(2)本题还可以利用导数求解:f′(x)=2x－2ax,要使f(x)在区间[2,+∞)上是增函数,只需当x≥2时，f′(x)≥0恒成立,即2x－2ax≥0,则a≤2x3∈[16,+∞)恒成立,故当a≤16时,f(x)在区间[2,+∞)是增函数.【互动探究】1．试用函数单调性的定义判断函数f(x)＝2xx－1在区间(0,1)上的单调性．解：任取x1，x2∈(0,1)，且x1x2，则f(x1)－f(x2)＝2x1x1－1－2x2x2－1＝2x2－x1x1－1x2－1.由于0x1x21，x1－10，x2－10，x2－x10，故f(x1)－f(x2)0，即f(x1)f(x2)．所以函数f(x)＝2xx－1在区间(0,1)上单调递减．考点2利用导数判断函数的单调性例2：(1)若f(x)＝x3－6ax的单调递减区间是(－2,2)，则a的取值范围是()A．(－∞，0]B．[－2,2]C．{2}D．[2，＋∞)答案：C解析：f′(x)＝3x2－6a,若a≤0,则f′(x)≥0，∴f(x)单调递增，排除A，B；若a0，则由f′(x)＝0，得x＝±2a.当x－2a和x2a时,f′(x)0,f(x)单调递增;当－2ax2a时，f(x)单调递减,∴f(x)的单调减区间为(－2a，2a)，从而2a＝2.∴a＝2.(2)若f(x)＝x3－6ax在区间(－2,2)上单调递减，则a的取值范围是()A．(－∞，0]B．[－2,2]C．{2}D．[2，＋∞)答案：D解析：f′(x)＝3x2－6a，若a≤0，则f′(x)≥0，∴f(x)单调递增,排除A，B;若a0，则由f′(x)＝0，得x＝±2a.当x－2a和x2a时，f′(x)0，f(x)单调递增;当－2ax2a时，f(x)单调递减，∴f(x)的单调减区间为(－2a，2a)，则区间(－2,2)是区间(－2a，2a)的子集,故－2a≤－2，2a≥2，解得a≥2.故选D.【规律方法】(1)在研究函数的单调性时，应先确定函数的定义域．函数的单调性是对某一个区间而言的．若f(x)在区间A与B上都是单调递增(或递减)函数，则在A∪B上不一定单调．(2)注意f(x)在区间A上单调递减与f(x)的单调递减区间为A的区别．本题中f(x)的单调递减区间是(－2,2)是指方程f′(x)＝3x2－6a＝0的两根为±2；第(2)小题f(x)在(－2,2)上单调递减是指f′(x)＝3x2－6a≤0在(－2,2)上恒成立．【互动探究】2．(2013年大纲)若函数f(x)＝x2＋ax＋1x在12，＋∞上是增函数，则a的取值范围是()A.[－1,0]B.[－1，＋∞)C.[0,3]D.[3，＋∞)解析：f′(x)＝2x＋a－1x2≥0，a≥－2x＋1x2在12，＋∞上恒成立，a≥－2x＋1x2max.而－2x＋1x2在12，＋∞上单调递减，－2x＋1x2max＝－1＋4＝3，即a≥3.故选D.D考点3函数的最值与值域例3：求下列函数的值域：(1)y＝3x＋2x－2；(2)y＝－x2－2x＋3(－5≤x≤－2)；(3)y＝x2－xx2－x＋1；(4)y＝x＋4x.解：(1)方法一：y＝3x＋2x－2＝3x－6＋8x－2＝3＋8x－2，∵8x－2≠0，∴y≠3.∴函数y＝3x＋2x－2的值域是{y|y∈R，且y≠3}．方法二：由y＝3x＋2x－2，得x＝2y＋1y－3.∴y≠3.(2)∵y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，x∈[－5，－2]，∴其图象是开口向下，顶点为(－1,4)．∴当x＝－5时，ymin＝－12；当x＝－2时，ymax＝3.∴y＝－x2－2x＋3(－5≤x≤－2)的值域是[－12,3]．(3)方法一：y＝x2－xx2－x＋1＝1－1x2－x＋1.∵x2－x＋1＝x－122＋34≥34，∴－13≤1－1x2－x＋11，即－13≤y1.故该函数的值域为－13，1.方法二：∵x2－x＋1≠0，∴对函数去分母，整理，得(y－1)x2－(y－1)x＋y＝0.易知y≠1，故上式可看作是关于x的二次方程．∵x∈R，∴方程有实根．∴Δ＝(y－1)2－4y(y－1)≥0，解得－13≤y≤1.又y≠1，故该函数的值域为－13，1.(4)方法一：函数y＝x＋4x是定义域为{x|x≠0}的奇函数，故其图象关于原点对称．当x＞0时，y＝x＋4x≥2x·4x＝4，当且仅当x＝2时取得等号．当x＜0时，y≤－4，当且仅当x＝－2时取得等号．综上所述，函数的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)．方法二：函数y＝x＋4x的定义域为{x|x≠0}．∵y′=1－4x2，令y′0，解得x－2或x2；y′0，解得－2x0或0x2，∴当x－2或x2时，f(x)单调递增；当－2＜x＜0或0＜x＜2时，f(x)单调递减．故当x＝－2时，f(x)极大值＝f(－2)＝－4；当x＝2时，f(x)极小值＝f(2)＝4.∴所求函数的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)．①代入法：适用于定义域为有限集的函数；【规律方法】常用的求值域的方法有：②分离系数法：若函数y＝f(x)解析式中含有|x|，x2，x，sinx，cosx等元素，又能用y表示出来，则利用这些元素的有界性解出y的范围；③配方法：适用于二次函数类的函数；⑥换元法：主要处理一些根式类的函数；⑦不等式法：借助于不等式的性质和均值不等式等工具求最值；⑧最值法：通过求导数进而求出最值．④反函数法：适用于形如y＝ax＋bcx＋d类的函数；⑤判别式法：适用于形如y＝ax2＋bx＋cmx2＋nx＋p类的函数；【互动探究】3．求下列函数的值域：(1)y＝3x＋25－4x；(2)y＝－x2＋x＋2；(3)y＝3x2－1x2＋2.解：(1)y＝3x＋25－4x＝14×12x＋85－4x＝14×34x－5＋235－4x＝－34＋2345－4x.∴该函数的值域为yy∈R，且y≠－34.(2)y＝－x2＋x＋2＝－x－122＋94.∴该函数的值域是－∞，94.(3)由y＝3x2－1x2＋2知，x∈R且(3－y)x2＝2y＋1，当y＝3时，显然不成立．∴由y≠3，得x2＝2y＋13－y.∵x2≥0，∴2y＋13－y≥0.解得－12≤y＜3.∴函数的值域为－12，3.●思想与方法●⊙利用分类讨论及数形结合思想求最值例题：(2014年广东广州水平测试)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)＝x－x2.(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)在区间[a，a＋1]上的最大值．解：(1)函数f(x)是定义在R上的奇函数，在f(－x)＝－f(x)中，令x＝0，解得f(0)＝0.又当x0时，f(x)＝x－x2，∴当x0时，－x0，f(x)＝－f(－x)＝－(－x－x2)＝x＋x2.∴函数f(x)的解析式是f(x)＝x－x2，x0，0，x＝0，x＋x2，x0，即f(x)＝x－x2，x≥0，x＋x2，x0.图2-4-1(2)如图2­4­1，画出函数f(x)＝x－x2，x≥0，x＋x2，x0的图象．两个分段函数的对称轴分别是x＝－12，x＝12.又区间[a，a＋1]的长度为1，∴当a－1时，a＋10，f(x)＝x＋x2，函数f(x)的最大值为f(a)＝a＋a2；当－1≤a－12时，0≤a＋112，函数f(x)的最大值为f(a＋1)＝(a＋1)－(a＋1)2＝－a－a2；当－12≤a≤12时，12≤a＋1≤32，函数f(x)的最大值为f12＝14；当a12时，a＋132，f(x)＝x－x2，函数f(x)的最大值为f(a)＝a－a2.∴函数f(x)在区间[a，a＋1]上的最大值为g(a)＝a＋a2，a－1，－a－a2，－1≤a－12，14，－12≤a≤12，a－a2，a12.