第 01章 2 次课 -- 加速度 圆周运动

上海师范大学1/231.平均加速度四、加速度§1.1质点运动的描述xyOAABBBAttaAB2.（瞬时）加速度dtdtat0limjtitdtrddtdayxdddd22vv加速度大小2222)()(yxyxaadtddtda加速度是矢量,的方向与速度的增量相同.a上海师范大学2解：如图建立坐标系.0vyo§1.1质点运动的描述由加速度定义得即dtd0.1t0d0.1d0tvvvv两边积分,得t0.10ln-lnv即t0.10evv化简得tty0.10eddvv由速度的定义得即dtedyt0.10tyttyded01.0-00v两边积分,得]e1[-1.00tyv即]e1[100.1ty代入初速度,得（2）此球体在停止运动前经历的路程有多长？0.1dtda/23例3有一个球体在某液体中竖直下落，其初速度为,它的加速度为,式中的单位为m·s-2.问:（1）经过多少时间后可以认为小球已停止运动;ja0.1j100a上海师范大学30/my/st10-1/msv0v0/st2.34.66.99.28.99749.89959.98999.9990v0/10v/st/my0/100v0/1000v0/10000vt0.10evv]e1[100.1ty§1.1质点运动的描述(i)根据述计算结果,可以认为经过9.2秒钟后小球已停止.(ii)小球停止前,下落了约10米的距离./23上海师范大学4)(tr)(ta()tv质点运动学的核心小结4.由质点的运动方程可以求得质点在任一时刻的速度和加速度.3.已知质点的加速度以及初始速度和初始位置,可求质点速度及其运动方程.§1.1质点运动的描述1.位矢、位移、速度、加速度是描述质点运动状态的物理量.5.运动函数、速度、加速度之间的关系:求导dtrd求导dtda积分dta积分dtr/232.运动函数反映物体运动的规律,是运动学的核心.)(tr上海师范大学5§1.2圆周运动/23一、平面极坐标和自然坐标系rxyo以为坐标的参考系称为平面极坐标系.),(r极坐标系和直角坐标之间的变换关系为圆周运动是一种特殊的曲线运动.对于圆周运动,在极坐标系和自然坐标下描述更简单.A(x,y)也可用位矢的大小r和位矢与x轴之间的夹角为表示.设一质点在Oxy平面内运动，某时刻它位于点A.A点的位置可以用位矢表示.jyixr即质点在点A的位置可由A(r,)来确定.xysin,cosryrx(1)2.自然坐标系A(x,y)切线法线tene质点作曲线运动时,任意一点处以切线和法线为坐标轴构成的坐标系称为自然坐标系.如图所示,和是切线方向和法线方向的单位矢量.tene1.平面极坐标系上海师范大学6二、圆周运动的角速度和角加速度xyor§1.2圆周运动如图所示,质点在平面上作半径为r的圆周运动.AB在某一t时刻,质点在A位置,其坐标为A(r,).显然,当质点在圆周上运动时,角将随时间变化.因此,角是时间的函数(t).(t)称为角坐标.质点运动的快慢怎么表示?因半径r不变,因此如果角坐标随时间变化越快,则质点运动越快.为了描述角坐标(t)随时间变化的快慢,引入角速度.2.角速度tttd)(d)(即角速度(2)角坐标(t)随时间的变化率,即d/dt叫做角速度.用符号表示.角度的单位用弧度(rad)表示,因此角速度的单位为弧度每秒,符号为rad·s-1角速度随时间变化的快慢又用什么量来表示呢?/231.角坐标上海师范大学7§1.2圆周运动xyorAdB2.角加速度角速度(t)随时间的变化率,即d/dt称为角加速.用符号表示.3.圆周运动的速率rdds质点在dt时间内的位移为rd由图可知,有rddsrd因此质点在A点处的速度大小(速率)为dtrddtds)(trdtrd即角加速度tdd(3)/23)()(trtv(4)即上海师范大学8三、圆周运动的切向加速度和法向加速度1vro2v2te1te§1.2圆周运动速度方向沿切线方向,因此在自然坐标系下质点的速度可表示为tterevv(5)请注意:切线方向单位矢量是随时间变化的!!te下面分别讨论(6)式中的二项.taddvteetddddttvv因此,圆周运动的加速度(6)/23(4)式就是质点作圆周运动时的速率与角速度的关系.质点作圆周运动时,速度方向不断改变,因此圆周运动是变速运动!有加速度!圆周运动的加速度有什么特点?)()(trtv(4)上海师范大学9§1.2圆周运动taddvteetddddttvv(6)1vro2v2te1te的方向沿切线方向,因此称为切向加速度.用表示.tddetvta(7)即ttedtda切向加速度的大小为dtdat(8)/231.切向加速度切向加速度的方向沿切线方向.特别地,当质点作匀速率圆周运动时,有0tateetaddddttvv?(6)上海师范大学101te2tete质点作圆周运动时,切向单位矢量的长度不变,方向随时间变化.如右下图所示.§1.2圆周运动1vro2v2te1te2.法向加速度第二项称为法线方向的加速度,简称为法向加速度.为什么?t时间内,切向单位矢量的变化大小为1ttee当很小时,有1tteedtedtettt0limte即ne平行于法线方向.nedtd是法向单位矢量ne因此,netteddddtv称为法向加速度./23圆周运动的加速度teetaddddttvv?(6)上海师范大学11切向加速度（速度大小变化引起）法向加速度（速度方向变化引起）1v2vv§1.2圆周运动1vro2v2te1tenetnadd法向加速度(7)圆周运动的加速度小结:圆周运动加速度ntntddeetenaetanataavvrtrtaddddtv)rv(rrdtda22nvv22ntaaa大小/23上海师范大学12四、匀速率圆周运动和匀变速率圆周运动质点作匀速率圆周运动,速率为常数.v§1.2圆周运动1.匀速率圆周运动0dtdat因此切向加速度根据,匀速率圆周运动的角速度也为常量.)()(trtv0dtd所以角加速度ner2(8)nntenaenaetanataa加速度dtddtdt0由此可得(9)tdtdtdtt000设t=0时,=0;则/23匀速率圆周运动只有法加速度,没有切向加速度!上海师范大学132.匀变速率圆周运动§1.2圆周运动质点作匀变速率圆周运动,速率是随时间变化的,而角加速度=常数.rat切向加速度也是常数rran22法向加速度不是常数加速度ntntereraaa2(10)设t=0时,=0,=0;则dtddtddtddtdt020021tt)(20202上两式消去时间t,可得(11)/23(9)式形式上与匀变速直线运动的公式相似.tvva02/20atxvtx)(2020xxa2tv上海师范大学14a§1.2圆周运动例1对于作曲线运动的物体,判断下列说法是否正确的：五、例题分析(A)切向加速度必不为零；(B)法向加速度必不为零（拐点处除外）；(C)由于速度沿切线方向,法向分速度必为零,因此法向加速度必为零；(D)若物体作匀速率运动，其总加速度必为零；(E)物体的加速度为恒矢量,它一定作匀变速率运动.a/23例2如图一超音速歼击机在高空A时的水平速率为1940km/h,沿近似于圆弧的曲线俯冲到点B,其速率为2192km/h,所经历的时间为3s,设圆弧的半径约为3.5km,且飞机从A到B的俯冲过程可视为匀变速率圆周运动,若不计重力加速度的影响,求:(1)飞机在点B的加速度;(2)飞机由点A到点B所经历的路程.ABoABAvBvr上海师范大学15atana解§1.2圆周运动dtatdv得tta0tddBAvvv两边积分得,119.608hkm2192smBvs,3ABtmkmrAB3105.35.3119.538hkm1940smAv已知：(1)因飞机作匀变速率运动所以at和为常量.taddtv由tatABv-v即由此可得,切向加速度为tatABv-v23.233703sm538.9-608.9/23oABAvBvr上海师范大学16oABAvBvratana得到点B的法向加速度raB2nv因此,飞机在点B的加速度2n2taaa2172.09.1053.23ntaatg加速度的方向用与法向之间夹角表示aran2由法向加速度公式232sm9.105105.3)9.608(222sm4.1089.1053.2325.122172.0arctg§1.2圆周运动/23上海师范大学17因此,在时间t内矢径所转过的角度为r飞机经过的路程为rs代入数据得233.232139.538s119.608hkm2192smBvs,3ABtmkmrAB3105.35.3119.538hkm1940smAv已知：oABAvBvratana(2)求飞机经过的路程因为飞机作匀速率圆周运动,)21(2ttrA2t21tatAv20021tt由221ttA得m55.172185.1041616.72)(21)(trtrA§1.2圆周运动/23上海师范大学18一、时间与空间在牛顿力学或经典力学范围内,两个相对作直线运动的参考系中，时间的测量是绝对的，空间的测量也是绝对的，与参考系无关.BA小车以较低的速度沿水平轨道先后通过点A和点B.v§1.3相对运动(i)时间:表示物质运动的持续性.表示物质运动的广延性.(ii)空间：时间和长度的的绝对性是经典力学或牛顿力学的基础./23地面上人测得车通过A、B两点间的距离和时间与车上的人测量结果相同.v上海师范大学19说明,物体运动的轨迹依赖于观察者所处的参考系二、相对运动§1.3相对运动设有一汽车匀速度行驶在公路上.汽车上一个人向上抛出一个球,那么球的运动轨迹如何呢?(i)车上的人观察到的结果是球在竖直方向上下运动.(ii)地面上的人却观察到球的运动轨迹是一条抛物线.如下图所示.1.运动轨迹的相对性2.速度变换公式汽车上的人观察到的球的速度与地面上的人观察到的球的速度有什么关系?为此,要建立两个参照系,一个在地面上不动,另一个随汽车一起运动.分析球在两个参照系中的运动./23vvv上海师范大学20(1)式两边除以时间t,得首先要分析质点在相对作匀速直线运动的两个坐标系中的位移关系.*0t'zz'yy'xx'oop'p'rPtuu'xxy'yz'ztto'orQ'QD'p§1.3相对运动为了得到质点在两个参照系的速度之间的关系.设S系(Oxyz)静止;而S´系(O´x´y´z´)相对于S系以速度u运动;初始时刻,两坐标系重合.则任意时刻质点在两坐标系中的位移关系为Drr'(1).'',系中的位移系和分别是质点在SSrrtDtrtr'(2)当t0时,(2)式为dtDddtrddtrd'(3)u'vv即(4)(