【数学】2011届高考数学复习课件：三角函数的图象和性质

一、三角函数图象的作法1.几何法y=sinx作图步骤:(2)平移三角函数线;(3)用光滑的曲线连结各点.(1)等分单位圆作出特殊角的三角函数线;xyoPMAxyoy=sinx-11o1A22322.五点法作函数y=Asin(x+)的图象的步骤:(1)令相位x+=0,,,,2,解出相应的x的值;232(3)用光滑的曲线连结(2)中五点.(2)求(1)中x对应的y的值,并描出相应五点;3.变换法:函数y=Asin(x+)+k与y=sinx图象间的关系:①函数y=sinx的图象纵坐标不变,横坐标向左(0)或向右(0)平移||个单位得y=sin(x+)的图象;②函数y=sin(x+)图象的纵坐标不变,横坐标变为原来的,得到函数y=sin(x+)的图象;1③函数y=sin(x+)图象的横坐标不变,纵坐标变为原来的A倍,得到函数y=Asin(x+)的图象;④函数y=Asin(x+)图象的横坐标不变,纵坐标向上(k0)或向下(k0)平移|k|个单位得y=Asin(x+)+k的图象.要特别注意,若由y=sin(x)得到y=sin(x+)的图象,则向左或向右平移应平移||个单位.二、三角函数图象的性质注正切函数的对称中心有两类:一类是图象与x轴的交点,另一类是渐近线与x轴的交点,但无对称轴,这是与正弦、余弦函数的不同之处.1.正弦函数y=sinx(xR)是奇函数,对称中心是(k,0)(kZ),对称轴是直线x=k+(kZ);余弦函数y=cosx(xR)是偶函数,对称中心是(k+,0)(kZ),对称轴是直线x=k(kZ)(正,余弦函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于x轴的直线,对称中心为图象与x轴的交点).222.正切函数y=tanx(xR,x+k,kZ)是奇函数,对称中心是(,0)(kZ).2k2三、正、余弦函数的性质1.定义域:都是R.2.值域:都是[-1,1].对y=sinx,当x=2k+(kZ)时,y取最大值1;当x=2k+(kZ)时,y取最小值-1;对y=cosx,当x=2k(kZ)时,y取最大值1,当x=2k+(kZ)时,y取最小值-1.2233.周期性:①y=sinx、y=cosx的最小正周期都是2;②f(x)=Asin(x+)和f(x)=Acos(x+)的最小正周期都是T=.||24.奇偶性与对称性:正弦函数y=sinx(xR)是奇函数,对称中心是(k,0)(kZ),对称轴是直线x=k+(kZ);余弦函数y=cosx(xR)是偶函数,对称中心是(k+,0)(kZ),对称轴是直线x=k(kZ)(正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于x轴的直线,对称中心为图象与x轴的交点).225.单调性:y=sinx在[2k-,2k+](kZ)上单调递增,在[2k+,2k+](kZ)上单调递减;y=cosx在[2k,2k+](kZ)上单调递减,在[2k+,2k+2](kZ)上单调递增.222232.值域是R,在上面定义域上无最大值也无最小值.1.定义域:{x|x+k,kZ}.23.周期性:是周期函数且周期是,它与直线y=a的两个相邻交点之间的距离是一个周期.注一般说来,某一周期函数解析式加绝对值或平方,其周期性是:弦减半、切不变.四、正切函数的性质oxy五、典型例题例1利用单位圆中的三角函数线证明当0时,不等式sintan成立.2提示由S△OAPS扇形OAPS△OAT得:×OA×MP××OA2×OA×AT121212故有sintan.×1×sin×12××1×tan121212即xyoPTMA例2解不等式|sinx|cosx.{x|+2kx+2k,kZ}4743.求函数y=sin4x+23sinxcosx-cos4x的最小正周期和最小值,并写出该函数在[0,]上的单调增区间.解:∵y=sin4x+23sinxcosx-cos4x=(sin2x-cos2x)(sin2x+cos2x)+3sin2x=3sin2x-cos2x6=2sin(2x-)故该函数的最小正周期是,最小值是-2.3在[0,]上的单调增区间是[0,]和[,].65由2k-≤2x-≤2k+(kZ)得:226k-≤x≤k+(kZ).36令k=0,1即得函数y=sin4x+23sinxcosx-cos4x4.已知函数y=cos2x+sinxcosx+1,xR.(1)求当y取得最大值时自变量x的集合;(2)该函数的图象可由y=sinx(xR)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到?1232解:(1)y=cos2x+sinxcosx+1=cos2x+sin2x+12321434546=sin(2x+)+.5412当且仅当2x+=2k+(kZ),即x=k+(kZ)时,626函数y取得最大值.故当y取得最大值时,自变量x的集合是:{x|x=k+,kZ}.6(2)将函数y=sinx依次进行如下变换:①将y=sinx的图象向左平移,得y=sin(x+)的图象;66②将所得图象上各点横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),得到y=sin(2x+)的图象;126③将所得图象上各点纵坐标缩短到原来的倍(横坐标不变),得到y=sin(2x+)的图象;1261254④将所得图象向上平移个单位长度,得到y=sin(2x+)+的图象;12654综上得到y=cos2x+sinxcosx+1的图象.32125.已知函数f(x)=sin(x+)(0,0≤≤)是R上的偶函数,其图象关于点M(,0)对称,且在区间[0,]上是单调函数,求和的值.432解:∵f(x)=sin(x+)(0,0≤≤)是R上的偶函数,∴sin(-x+)=sin(x+),即-cossinx=cossinx对任意实数x都成立.∵0,∴cos=0.又∵0≤≤,∴=.2∵f(x)的图象关于点M对称,∴f(x)=cosx.∴点M为f(x)图象的一个对称中心.∴=k+(kZ).432∴=(kZ).4k+23∴f(x)=cosx在区间[0,]上是减函数.∵0,223综上所述,=,=2或.2必有≤,即0≤2.∴要使f(x)=cosx在区间[0,]上是单调函数,24k+23∴0≤2(kZ).解得k=0或1.23∴=2或.6.如果函数y=sin2x+acos2x的图象关于直线x=-对称,求a的值.8解:y=sin2x+acos2x=a2+1sin(2x+),其中,tan=a.法1∵函数y=sin2x+acos2x的图象关于直线x=-对称,8∴当x=-时,y取最大值或最小值.8∴2(-)+=k+,kZ.28∴=k+,kZ.43∴a=tan=tan(k+)=-1.43法2∵函数y=sin2x+acos2x的图象关于直线x=-对称,8∴当x=-时,y取最大值或最小值.8|sin2(-)+acos2(-)|2=a2+188解得a=-1.法3∵函数y=sin2x+acos2x的图象关于直线x=-对称,8∴当自变量取0,-时的函数值相同.4即0+a=-1+0.∴sin0+acos0=sin2(-)+acos2(-).44∴a=-1.法4∵函数y=sin2x+acos2x的图象关于直线x=-对称,8而函数y=sin2x+acos2x的周期为,∴当x=-+=时,函数值为0.848∴sin+acos=0.44∴a=-1.课后练习1.已知函数f(x)=log(sinx-cosx),(1)求它的定义域和值域;(2)判断它的单调区间;(3)判断它的奇偶性;(4)判断它的周期性,如果是周期函数,求出它的一个周期.12解:(1)由sinx-cosx0,即2sin(x-)0得:42k+x2k+,kZ445{x|2k+x2k+,kZ}.445∴f(x)的定义域为∵sinx-cosx=2sin(x-)≤2,4∴f(x)=log(sinx-cosx)≥log2=-.121212∴f(x)的值域为[-,+∞).12(2)∵y=sinx-cosx在f(x)的定义域上的单调递增区间是(2k+,2k+](kZ);443[2k+,2k+)(kZ),4543单调递减区间是[2k+,2k+)(kZ).4543单调递增区间是(2k+,2k+](kZ);443∴f(x)的单调递减区间是(3)∵f(x)的定义域在数轴上对应的点关于原点不对称,∴函数f(x)是非奇非偶函数.=log(sinx-cosx)12(4)∵f(x+2)=log[sin(x+2)-cos(x+2)]12=f(x),∴函数f(x)是周期函数,它的一个周期是2.2.已知函数f(x)=Asin(x+)(A0,0,xR)在一个周期内的图象如图所示:232-25272oxy2求直线y=3与函数f(x)图象的所有交点的坐标.27解:根据图象得A=2,T=-(-)=4,2∴=.12∴y=2sin(x+).1212由(-)+=0得=.24∴y=2sin(x+).124由3=2sin(x+)得12432sin(x+)=.124∴x+=2k+或2k+(kZ).124323∴x=4k+或4k+(kZ).656665故所有交点坐标为(4k+,3)或(4k+,3)(kZ).3.设函数f(x)=ab,其中向量a=(2cosx,1),b=(cosx,3sin2x),xR.(1)若f(x)=1-3且x[-,],求x;(2)若函数y=2sin2x的图象按向量c=(m,n)(|m|)平移后得到函数y=f(x)的图象,求实数m,n的值.332解:(1)依题意f(x)=2cos2x+3sin2x=1+2sin(2x+).6由1+2sin(2x+)=1-3得:6sin(2x+)=-.632∵x[-,],∴2x+[-,].332665∴2x+=-.63∴x=-.4由(1)知f(x)=2sin2(x+)+1.1212∴m=-,n=1.∵|m|,2(2)函数y=2sin2x的图象按向量c=(m,n)平移后得到函数y=2sin2(x-m)+n即y=f(x)的图象.4.如图所示,某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin(x+)+b的解析式,其中,A0,0,0.xyo61014102030温度/℃时间/h(1)求这段时间的最大温差;(2)写出这段曲线的函数解析式.解:(1)由图示,这段时间的最大温差是:30℃-10℃=20℃.(2)图中从6时到14时的图象是函数y=Asin(x+)+b半个周期的图象.12∴=14-6.2解得=.812又由图示A=(30-10)=10,b=(30+10)=20,128∴y=10sin(x+)+20.将x=6,y=10代入可取=.43故所求的解析式为:y=10sin(x+)+20,x[6,14].8435.已知函数f(x)=,求f(x)的定义域,判断它的奇偶性,并求其值域.6cos4x+5sin2x-4cos2x解:由cos2x0得22xk+(kZ).解得x+(kZ).2k4故f(x)的定义域为{xR|x+,kZ}.2k4∵f(x)的定义域关于原点对称,且f(-x)=6cos4(-x)+5sin2(-x)-4cos2(-x)6cos4x-5cos2x+1cos2xf(x)=6cos4x+5sin2x-4cos2x==f(x),