解析几何讲义详解

解决解析几何的基本思路和流程讲义稿解析几何的本质：用代数方法解决几何问题，即由图形到代数的问题。从这个意义上讲，解决解析几何问题的基本思路和流程就应该是（1）画出图形（2）找出几何关系（3）把几何关系转化为代数关系(4)代数运算。图形：形状、位置、大小三个要素。函数解析式（方程）点的坐标（描点）图像（图形）点代数式因此，解析几何问题要从图形中的“点”找出几何关系和代数关系。看见“点”想位置：（1）“点”的自身位置：直角坐标系的意义就在于把一个点的位置分解为一个水平位置和一个竖直位置。如点（2,3）的水平位置是相对于原点方向向右、距离为2，竖直位置是相对于原点方向向上、距离为3.（2）“点”相对于其他点或线的位置关系。点表达位置（水平位置、竖直位置）代数关系：函数关系、方程关系知道位置找关系表达关系几何关系：与其他点或线的关系知道关系找位置一、关于直线直线需要确定其形状和位置。其中形状即直线的倾斜程度，由直线的倾斜角（或斜率k，k=tg）确定，位置由直线上的一个点000(,)Pxy确定。因此，直线的代数表达式（称之为直线的方程）是00()yykxx（k存在的前提下）。（1）因为直线的确定需要形状和位置两个要素，所以求直线的方程就需要两个相互独立的条件。比如已知两个点的坐标或已知一个点的坐标和直线的斜率等等。（2）如果直线的形状（即直线的倾斜程度）不能确定（x或y前面有字母系数），那么直线方程表达的就是过定点的直线集合。（如kx+y-2k+1=0，过定点（2，-1）的直线集合；X+ky+1=0，过定点（-1,0）的直线集合等等。（3）如果直线的位置（即直线过的点）不能确定（x或y前面没有字母系数、形状确定），那么直线方程表达的就是平行线集合。如x-2y+k=0，斜率为12k的平行线集合2x+y+b=0，斜率为k=-2的平行线集合等等。从解决函数问题的角度说就是：看到字母想分类（这里主要分成两类）。二、关于圆圆的本质是均匀变化，需要确定其位置和大小。其中位置由圆心确定，大小由半径确定，因此确定圆的方程需要三个相互独立的条件。解决圆的相关问题主要是用圆的性质，比如弦的性质（垂径定理：弦的中垂线过圆心。从直线和圆的位置关系上讲就是有两个公共点、代数关系：方程组有两组解）、切线的性质（切线垂直过切点的半径。从直线和圆的位置关系上讲就是有一个公共点、代数关系：方程组有一组解）。从图形的角度讲可以产生直角三角形等。也可以用方程或方程组解决。（1）弦：可以看成两个点点的位置：点在直线上、点在圆上.几何关系：垂径定理（垂直关系）关系代数关系：方程关系，方程组的解（2）切点：位置：切点在切线上、切点在圆上。几何关系：与过切点的半径垂直关系代数关系：方程组有一组解。三、关于圆锥曲线（1）圆锥曲线的定义：看到焦点想定义。用定义解决问题是解决圆锥曲线问题的一个重要方法。（2）圆锥曲线和直线的位置关系问题是高考的一个热点，通常通过解方程组、根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式、基本不等式、函数等方法解决。也是教学的难点，难点在于整个解题过程的运算量比较大，学生需要过运算关。如直线与圆锥曲线相交几何关系：既在直线上又在曲线上代数关系：满足方程，方程组的解直线和圆锥曲线相切，与直线与圆锥曲线相交类似处理。中点弦：看位置、想关系（几何关系：交点、中点。代数关系：方程组做差的直线-----点差法）解决问题的基本思路和流程就应该是（1）画出图形（2）找出几何关系（3）把几何关系转化为代数关系(4)代数运算。四、关注直角三角形在解析几何中的应用（勾股定理、向量的应用）直线中点直角三角形（图1）可以解决“两点间的距离、弦长公式、点到直线的距离公式”的推导。椭圆和双曲线中直角三角形可以确定椭圆或双曲线的形状。五、关注定义在圆锥曲线中的应用（看到焦点想定义）六、关注函数在解析几何中的应用（基本不等式、函数求最值）七、关注圆锥曲线中的“点”：看见点想位置八、解析几何中的“函数关系”直线方程可以看做是一次函数圆的方程、圆锥曲线的方程如果限定y0或y0，也可视为函数方程，所以某些题目可以借助函数方法解决。如涉及切线的问题等。九、应用举例1．直线y＝kx－k＋1与椭圆x29＋y24＝1的位置关系为()A．相交B．相切C．相离D．不确定分析：看见字母想分类：直线过定点M，看见点想位置，研究M与椭圆的位置关系。1、画图。2、几何关系（1）看到字母想分类：方程y＝kx－k＋1表示过定点（1,1）的直线集合，（2）点（1,1）在椭圆x29＋y24＝1内部，所以直线和椭圆相交。答案A2．已知倾斜角为60°的直线l通过抛物线x2＝4y的焦点，且与抛物线相交于A、B两点，则弦AB的长为________．分析：看见点想位置：A、B在直线上，又在抛物线上，满足方程。F是抛物线的焦点（看见焦点想定义）1、画图。2、几何关系：看到焦点想定义，抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离。3、代数关系：12AByyP4、解方程组计算12xx即可。3．[2014·重庆卷]已知直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆(x－1)2＋(y－a)2＝4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a＝________．分析：求值就是解方程，找等量关系：CD=31、画图2、几何关系：（看到字母想分类）ax＋y－2＝0表示过定点（0,2）的直线集合，(x－1)2＋(y－a)2＝4表示圆心为（1，a）（看见点想位置：水平位置确定、竖直位置不确定），半径为2的圆的集合。△ABC为边长是2等边三角形，圆心到直线的距离为3。3、代数关系：点到直线的距离公式计算[解析]由题意可知圆的圆心为C(1，a)，半径r＝2，则圆心C到直线ax＋y－2＝0的距离d＝|a＋a－2|a2＋1＝|2a－2|a2＋1.∵△ABC为等边三角形，∴|AB|＝r＝2.又|AB|＝2r2－d2，∴222－|2a－2|a2＋12＝2，即a2－8a＋1＝0，解得a＝4±15.4．[2014·江西卷]过点M(1，1)作斜率为－12的直线与椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于________．分析：中点弦（看见点想位置）：点在曲线上（代入方程），点在直线上（直线方程没有）。做差体现点在直线上（点差法）。1、画图2、几何关系：M是线段AB的中点，斜率为－123、代数关系：“点差”产生斜率和中点。[解析]设点A(x1，y1)，点B(x2，y2)，点M是线段AB的中点，所以x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，且x21a2＋y21b2＝1，x22a2＋y22b2＝1，两式作差可得x21－x22a2＝－（y21－y22）b2，即（x1＋x2）（x1－x2）a2＝－（y1＋y2）（y1－y2）b2，所以y1－y2x1－x2＝－b2a2，即kAB＝－b2a2.由题意可知，直线AB的斜率为－12，所以－b2a2＝－12，即a＝2b.又a2＝b2＋c2，所以c＝b，e＝22.5．[2014·辽宁卷]已知椭圆C：x29＋y24＝1，点M与C的焦点不重合．若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|＋|BN|＝______．分析：看见点想位置，涉及“中点”，一般要想中位线，如果是直角三角形斜边的中点，要想中线（中线等于斜边的一半）。1、画图2、几何关系：看到焦点想定义。三角形的中位线有|GF1|＝12|AN|，|GF2|＝12|BN|3、代数关系：|AN|＋|BN|＝2(|GF1|＋|GF2|)＝4a＝12.[解析]取MN的中点为G，点G在椭圆C上．设点M关于C的焦点F1的对称点为A，点M关于C的焦点F2的对称点为B，则有|GF1|＝12|AN|，|GF2|＝12|BN|，所以|AN|＋|BN|＝2(|GF1|＋|GF2|)＝4a＝12.6、[2014·山东卷]已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为x2a2＋y2b2＝1，双曲线C2的方程为x2a2－y2b2＝1，C1与C2的离心率之积为32，则C2的渐近线方程为()A.x±2y＝0B.2x±y＝0C.x±2y＝0D.2x±y＝0分析：1、画图2、几何关系：离心率之积为32，3、代数关系：计算离心率[解析]椭圆C1的离心率e1＝a2－b2a，双曲线C2的离心率e2＝a2＋b2a.由e1e2＝a2－b2a·a2＋b2a＝1－ba2×1＋ba2＝32，解得ba2＝12，所以ba＝22，所以双曲线C2的渐近线方程是y＝±22x.故选A.7．(2013·浙江高考改编)已知抛物线C：y2＝4x，过点P(－1,0)的直线l与抛物线C相切于点Q，则点Q到准线的距离为________．分析：视为函数2yx的切线问题。1、画图2、几何关系：切线、切点、曲线。切点在切线上、切点在曲线上。3、代数关系：不妨把抛物线设为函数200022200000200122,),,(42241214yyxQyykyxyyyyxyy，切点（所以导数即斜率）所以，则所求距离为28．过椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左顶点且斜率为1的直线与椭圆的另一个交点为M，与y轴的交点为B，若|AM|＝|MB|，则该椭圆的离心率为________．分析：眼睛盯住点中点：想中线、中位线求值：解方程关系：点在直线上、点在椭圆上1、画图。2、几何关系：AOBa是腰长为的等腰直角三角形，AOMa是斜边为的等腰直角三角形3、代数关系：易知：,22aaM在椭圆上，代入椭圆方程得：22222222136134423abbcaceba9、[2014·全国卷]直线l1和l2是圆x2＋y2＝2的两条切线．若l1与l2的交点为(1，3)，则l1与l2的夹角的正切值等于________．分析：关注切点：切点与圆心的连线垂直切线。1、画图2、几何关系：AOPBOP与全等，∠APB=2∠OPA3、代数关系：两点简单距离公式、勾股定理、正切公式。[解析]如图所示，根据题意，OA⊥PA，OA＝2，OP＝10，所以PA＝OP2－OA2＝22，所以tan∠OPA＝OAPA＝222＝12，故tan∠APB＝2tan∠OPA1－tan2∠OPA＝43，即l1与l2的夹角的正切值等于43.10、[2014·四川卷]设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值是________．分析：看见字母想分类，直线的位置确定、形状不定，研究其形状的关系（必有关系，研究直线的位置关系）1、画图2、几何关系：（看到字母想分类）x＋my＝0表示过定点A（0,0）的直线集合，mx－y－m＋3＝0表示过定点B（1,3）的直线集合，而且不论m为何值，两条直线互相垂直。ABP是直角三角形3、代数关系：勾股定理(也可以用向量处理)。4、计算|PA|·|PB|的最大值为基本不等式问题或转化为函数问题。[解析]由题意可知，定点A(0，0)，B(1，3)，且两条直线互相垂直，则其交点P(x，y)落在以AB为直径的圆周上，所以|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10.∴|PA||PB|≤|PA|2＋|PB|22＝5，当且仅当|PA|＝|PB|时等号成立．11．[2014·安徽卷]设F1，F2分别是椭圆E：x2＋y2b2＝1(0＜b＜1)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点．若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为________．分析：看见点想位置，A点在椭圆上且水平位置确定，代入椭圆方程可得A点坐标。三点共线、长度关系，可以考虑121AFFBMF与相似或向量求出B点坐标，B点在椭圆上代入即可。1、画图2、几何关系：AF2⊥x轴，121AFFBMF与相似，点A,B在椭圆上。F1，F2分别是椭圆E：x2＋y2b2