解析函数的零点及唯一性

1三、用函数的零点判断极点的类型21、函数的零点例.)1()(1,03的零点是函数zzzfzz定义若函数定义若函数)(zf在点0z的某个邻域),(0dzO内解析，；且除了点0z外，在),(0dzO内，)(zf处处不为零，则称0z为)(zf孤立零点.()fz在点解析，并且0z0()0fzz0，则称为函数的零点)(zf0()0fz30z0z)(zf)(zf1m定义若为函数的零点，00(||)()(),nnnmfzczzzzd且存在自然数使在的Taylor级数为则称为的m级零点，其中0z)(zf0.mc4m级零点的判别方法零点的充要条件是：0zm0z定理1如果在解析,那末为的级)(zf)(zf;)1,2,1,0(,0)(0)(mnzfn.0)(0)(zfm证明：对于在点解析函数来说，它在该点的邻域内的Taylor级数展开式的系数是唯一的，并且有，从而根据函数零点的定义：前m项为零，有0z)(zf!)(0)(nzfcnn;)1,2,1,0(,0)(0)(mnzfn.0)(0)(zfm,2,1,0n5定理20z)()()(0zzzzfm其中)(z在点0z解析，且为)(zf的m级零点的充要条件为0)(0z另外，我们有我们下面仅证明其必要性。充分性自己思考。6级数展开式为点的在Taylorzzf0)(证明：如果是函数的m级零点，则0z此处展开式的前m项系数都为零。若记20201)()()(zzczzcczmmm则有)(zf)()()(0zzzzfm2021010)()()()(mmmmmmzzczzczzczf其中：在处解析，并且)(z0)(0mcz0z7注意：不恒为零的解析函数的零点必是孤立零点.事实上，设0z为)(zf的m级零点，则由定义，存在0z的一个邻域),(10dzO，使得)()()(0zzzzfm8其中)(z在点0z解析，且0)(0z,从而)(z在点0z必为连续.由$1-4习题6可知，存在0z的一个邻域),(20dzO，)(z恒不为零，所以)(zf在邻域),(0dzO（),min(21ddd）内，除0z外，再无零点，即:0z是)(zf的孤立零点.这是解析函数区别于实可微函数的又一特性.9例如:0,00,1sin)(2xxxxxf0x是)(xf的零点，且)(xf可微，但nxn1也是)(xf的零点，且0limnnx所以0x是零点nx的极限点，不是孤立的.10推论：设)(zf在区域D内解析，}{nz(n=1,2,…)是)(zf在D内的一列零点，且，当则在中必恒为零。解析函数的唯一性定理：设)(zf与)(zg在区域D内解析，}{nz(n=1,2,…)是D内的点列，当m≠n时，nmzz，且0zzn；Dz0，若对一切n,都有)()(nnzgzf，则Dz，恒有)(zf=)(zg.Dzzn0n)(zfD11解析函数的惟一性定理说明了解析函数一个非常重要的特性：在区域D上的两个解析函数，只要在D内的某一部分(子区域或孤段)上的值相等，则它们在整个区域D上的值必相等.12练习求1123zzz的奇点,如果是极点,指出它的级数.答案1123zzz由于,1:是函数的一级极点所以z.1是函数的二级极点z,)1)(1(12zz13)2,1(k推论1点为的级极点的充要条件为是的级零点。)(zfm0zm)(1zf0z推论2若点为函数的级零点，则z0为函数的级零点；当时，z0为函数的级极点。)(zfkkm12mm)()(21zfzf0z21mm21mm)()(21zfzf14推论3(L’Hospital法则)设函数不恒为零，若为函数和的零点(极点)，则当时，函数的极限一定存在或为，且有0zz)()(lim)()(lim'2'12100zfzfzfzfzzzz注意：若函数在点解析，，则当为函数的级零点或级极点时，也分别是函数的级零点或级极点。0)(0zg)(1zf)(zfk)(2zf)2,1(k0z)()(21zfzf)(zg0z0z)(zfmm0zmm)()(zgzf15(1)由于123)1(zzf知1z是)(zf的一级零点.练习0z是五级零点,iz是二级零点.知是)(zf的一级零点.0z解(2)由于0cos)0(zzf答案例1求以下函数的零点及级数:,1)(3zzf(1)(2).sin)(zzf,03,01225)1()(zzzf的零点及级数.求16例2函数zsin1有些什么奇点,如果是极点,指出它的级.解函数的奇点是使0sinz的点,这些奇点是)2,1,0(kkz孤立奇点.kzkzzzcos)(sin因为的一级零点，是所以zkzsin,0)1(kzsin1的一级极点.即推论1为判断函数的极点提供了一个较为简便的方法.17例3．求下列函数孤立奇点的类型，并指出极点级数（2）解：显然和是函数的孤立奇点，分别取和32211sin)(zzzzf1z1z)(2zf1z1z)(2zf321sin)(zzz221sin)(zzz则可见和分别是的二级极点和三级极点。18（4）解：点为的一级零点;函数的零点为，且在这些点处不为零，由定理1，这些点为函数的一级零点。由定理2的推论2，为函数的二级零点，又由推论1及其注意，它为的二级极点，而为的简单极点。0z0)1()(4zzezezf1zeikzk2,2,1,0kzzee)'1(zzf)(1ze0z0)(4zf)1(zez,2ikzk,2,1k)(4zf