圆的几何综合题-(27题)

圆的几何综合题成都市龙泉驿区第九中学陈礼勇一、历年圆的几何综合题回顾1、一般分成三个问题，三个问题由易到难，由一般到特殊或由特殊到一般层层递进的方式设置问题；2、一般三个问题涉及到圆的切线的证明，线段相等、角相等、线段与角的计算、图形面积的计算、几何变量之间的函数关系探究、线段关系式的证明、角的关系式的证明等；3、常见的知识点有：垂径定理及其推论、圆心角定理及其推论、圆周角定理及其推论、切线的性质与判定、等腰三角形的性质与判定、解直角三角形、全等三角形与相似三角形的性质与判定、锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值等；4、常见的数学思想方法有：方程思想、函数思想、由特殊到一般或由一般到特殊的探究思想等；二、命题规律：1、圆中的如下定理出现的频率很高：垂径定理及其推论，圆心角定理及其推论，圆周角定理及其推论，切线的性质及其判定定理；2、常与等腰三角形(两半径加弦)，直角三角形（直径、半圆），相似三角形，全等三角形和锐角三角函数的概念结合考查；3、相似三角形基本图形的分解是关健，如：正A字形（A1形）、斜A字形（A2形）、正八字形（X1形）、斜八字形（X2形或蝴蝶形）、射影定理图、共角共边相似（A3形）图等出现的频率很高.4、结合重要的几何定理（及其逆定理）的基本图形命题，如弦切角定理的逆定理，切线长定理的逆定理，相交弦定理，切割线定理，割线定理等（具体见后面的例题）三、常见的几何模板及辅助线回顾1、三角形：图中若有角平分线，可向两边作垂线；也可将图对折看，对称以后关系现；角平分线平行线，等腰三角形来添；角平分线加垂线，三线合一试试看；线段垂直平分线，常向两端把线连；要证线段倍与半，延长缩短可试验；三角形中两中点，连接则成中位线；三角形中有中线，延长中线等中线.2、四边形：平行四边形出现，对称中心等分点；梯形里面作高线，平移一腰试试看；平行移动对角线，补成三角形常见；证相似，比线段，添线平行成习惯；等积式子比例换，寻找线段很关键；直接证明有困难，等量代换少麻烦；斜边上面作高线，比例中项一大片.3、圆：半径与弦长计算，弦心距来中间站；圆上若有一切线，切点圆心半径连；切线长度的计算，勾股定理最方便；要想证明是切线，半径垂线仔细辨；是直径，成半圆，想成直角径连弦；弧有中点圆心连，垂径定理要记全；圆周角边两条弦，直径和弦端点连；弦切角边切线弦，同弧对角等找完；如果遇到相交圆，不要忘作公共弦；内外相切的两圆，经过切点公切线；若是添上连心线，切点肯定在上面；要作等角添个圆，证明题目少困难.四、27题解题程序1、画：生长性画图，边画图边解决三个小问；2、标：将题中的已知条件标在图中；3、标：将未知问题、猜想的结论标在图中；4、联：联系知识点、联想常见的几何模块、不同知识进行联结，联系前面证明的结论；5、写：写出解题过程.五、常见定理及基本图形分析1、垂直于弦的直径，径连弦得射影定理；如2007成都、2010成都、2011成都.2、角平分线加“相似三角形的斜八字形”会出现“共边共角相似”：如2009成都、2010成都.3、以切线长定理的基本图形，关于切线的性质与判定的证明，出现两公共底边的两等腰三角形：如2007成都、2012辽宁朝阳、2012北京.4、直径与切线（性质或判定）相结合命题：如2007成都、2012成都、2012湖北天门、2012辽宁朝阳、2012北京、2012福建甫田、2012辽宁锦州.（1）圆中常见的二级图GFEODCBA垂径定理图垂径定理与射影定理点C为弧AF中点AB垂相交弦定理图直于CD，有AE=CEEDCBA点C为弧BD中点，有切割线定理图割线定理图切线长定理图ABC∽△BEC(2）部分中考题图形选2007成都2008成都2009成都2010成都2011成都2012成都2012湖北天门2012辽宁朝阳2012北京中考2012福建甫田2012辽宁锦州六、中考真题分析1、（成都中考2007，10分）如图，A是以BC为直径的O上一点，ADBC于点D，过点B作⊙O的切线，与CA的延长线相交于点EG，是AD的中点，连结CG并延长与BE相交于点F，延长AF与CB的延长线相交于点P．（1）求证：BFEF；（2）求证：PA是⊙O的切线；（3）若FGBF，且⊙O的半径长为32，求BD和FG的长度．2、（成都中考2008，共10分）如图，已知⊙O的半径为2，以⊙O的弦AB为直径作⊙M，点C是⊙O优弧AB上的一个动点（不与点A，点B重合）.连结AC，BC，分别与⊙M相交于点D，点E，连结DE.若AB=23.(1)求∠C的度数；(2)（2）求DE的长；(3)（3）如果记tan∠ABC=y，ADDC=x（0x3），那么在点C的运动过程中，试用含x的代数式表示y.3、（成都中考2009，共10分）．如图，Rt△ABC内接于⊙O，AC=BC，∠BAC的平分线AD与⊙0交于点D，与BC交于点E，延长BD，与AC的延长线交于点F，连结CD，G是CD的中点，连结0G．(1)判断0G与CD的位置关系，写出你的结论并证明；(2)求证：AE=BF；（3）若3(22)OGDE，求⊙O的面积.4、（成都中考2010，共10分）．已知：如图，ABC内接于⊙O，AB为直径，弦CEAB于F，C是AD的中点，连结BD并延长交EC的延长线于点G，连结AD，分别交CE，BC于点P，Q．（1）求证：P是ACQ的外心；（2）若3tan,84ABCCF,求CQ的长；（3）求证：2()FPPQFPFG．5、（成都中考2011，共10分）已知：如图，以矩形ABCD的对角线AC的中点为圆心，以OA长为半径作⊙O，⊙O经过B，D两点．过点B作BK⊥AC，垂足为K．过点D作DH∥KB，DH分别与AC，AB，⊙O及CB的延长线相交于点E，F，G，H．（1）求证：AE=CK；（2）如果AB=a，AD=aa(31为大于零的常数），求BK的长；（3）若F是EG的中点，且DE=6，求⊙O的半径.6、（成都中考2012，共10分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于F．切点为G，连接AG交CD于K．（1）求证：KE=GE；（2）若2KG=KD·GE，试判断AC与EF的位置关系，并说明理由；（3）在（2）的条件下，若sinE=35，AK=23，求FG的长．7、（2013年成都）如图，⊙O的半径25r，四边形ABCD内接圆⊙O，ACBD于点H，P为CA延长线上的一点，且PDAABD.（1）试判断PD与⊙O的位置关系，并说明理由：（2）若3tan4ADB，4333PAAH，求BD的长；（3）在（2）的条件下，求四边形ABCD的面积.8、（2014年成都）如图，在⊙O的内接△ABC中，∠ACB=90°，AC=2BC，过C作AB的垂线l交⊙O于另一点D，垂足为E.设P是⌒AC上异于A,C的一个动点，射线AP交l于点F，连接PC与PD，PD交AB于点G.（1）求证：△PAC∽△PDF；（2）若AB=5，⌒AP=⌒BP，求PD的长；（3）在点P运动过程中，设xBGAG，yAFDtan，求y与x之间的函数关系式.（不要求写出x的取值范围）9、（2013年北京)如图，AB是⊙O的直径，PA，PC分别与⊙O相切于点A，C，PC交AB的延长线于点D，DE⊥PO交PO的延长线于点E．（1）求证：∠EPD=∠EDO（2）若PC=6，tan∠PDA=43，求OE的长．*^#@网]10、（2014•北京）如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，⊙O的切线BD交AC的延长线于点D，E是OB的中点，CE的延长线交切线BD于点F，AF交⊙O于点H，连接BH．（1）求证：AC=CD；（2）若OB=2，求BH的长．11、（2014•南昌）如图1，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AB=4，BC=2，P是⊙O上半部分的一个动点，连接OP，CP．（1）求△OPC的最大面积；（2）求∠OCP的最大度数；（3）如图2，延长PO交⊙O于点D，连接DB，当CP=DB时，求证：CP是⊙O的切线．12、（2014辽宁盘锦）如图，△ABC中，∠C=90°，点G是线段AC上的一动点（点G不与A、C重合），以AG为直径的⊙O交AB于点D，直线EF垂直平分BD，垂足为F，EF交BC于点E，连结DE.(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)若cosA=12,AB=83，AG=23，求BE的长；(3)若cosA=12,AB=83，直接写出线段BE的取值范围.GFEDOCBA13、（2013泸州)如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且CDACBD.（1）求证：2CDCACB；（2）求证：CD是⊙O的切线；（3）过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E，若BC=12,2tan3CDA，求BE的长.第24题图CEOBAD14、（2012上海）如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A，B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D，E．（1）当BC=1时，求线段OD的长；（2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由；（3）设BD=x，△DOE的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域．E15、（2014•德阳）如图，⊙O中，FG、AC是直径，AB是弦，FG⊥AB，垂足为点P，过点C的直线交AB的延长线于点D，交GF的延长线于点E，已知AB=4，⊙O的半径为．（1）分别求出线段AP、CB的长；（2）如果OE=5，求证：DE是⊙O的切线；（3）如果tan∠E=，求DE的长．16、（2014•甘孜州）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB的中点O为圆心，OA为半径的圆交AC于点D，E是BC的中点，连接DE，OE．（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）求证：BC2=2CD•OE；（3）若cos∠BAD=，BE=，求OE的长．17、（2012湖北天门8分）如图，D为O⊙上一点，点C在直径BA的延长线上，CDACBD．（1）求证：CD是O⊙的切线；（2）过点B作O⊙的切线交CD的延长线于点E，若26tan3BCCDA，，求BE的长．EODBCA18、（2012北京中考）已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，ODBC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连结BE．（1）求证：BE与⊙O相切；（2）连结AD并延长交BE于点F，若9OB，2sin3ABC，求BF的长．EDCBOA19、(2012辽宁朝阳)如图已知P为⊙O外一点．PA为⊙O的切线，B为⊙O上一点，且PA=PB，C为优弧AB上任意一点（不与A，B重合），连接OP，AB，AB与OP相交于点D，连接AC，BC．（1）求证：PB为⊙O的切线；（2）若2tanBCA3，⊙O的半径为13，求弦AB的长．OPDCBA20、（2012辽宁锦州）如图：在△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过D做直线DE垂直BC于F，且交BA的延长线于点E.（1）求证：直线DE是⊙O的切线；（2）若cos∠BAC=31，⊙O的半径为6，求线段CD的长.OBFCDEA21、(福建甫田2012，本小题满分10分)如图，点C在以AB为直径的半圆O上，延长BC到点D，使得CD＝BC，过点D作DE⊥AB于点E，交AC于点F，点G为DF的中点，连接CG，OF，FB．(1)(5分)求证：CG是⊙O的切线；(2)(5分)若△AFB的面积是△DCG的面积的2倍，求证：OF∥BC．EFGDCBOA22、（福建厦门2012，本题满分9分）已知：如图8，⊙O是△ABC的外接圆，AB为⊙O的直径，弦CD交AB于E，∠BCD＝∠BAC.（1）求证：AC＝AD；（2）过点C作直线CF，交AB的延长线于点F，若∠BCF＝30°,则结论“CF一定是⊙O的切线”是否正确？若正确，请证明；若不正确，请举反例.图8FBCEDOAOFEDCBA23、（肇庆2012，本小题满分10分）