Lecture-13-数字滤波器(IIR)-华工数字信号处理课件-DSP

数字滤波器设计主讲人：薛洋[e-mail]——IIR数字滤波器Lecture13数字信号处理DigitalSignalProcessing2本讲主要内容引言系统的全通分解与最小相位系统；IIR数字滤波器的设计流程IIR模拟滤波器设计简介模拟和数字之间的转换和逼近方法课本第9章内容引言IIR滤波器是极零点滤波器，也即该滤波器既具有零点也具有极点。极点的存在说明了反馈的存在，因而导致了无限长的冲激响应。用差分方程来描述一个离散时间IIR滤波器：00[][]NMkkkkaynkbxnkNkkkMkkkzazbzH00)(IIR滤波器的主要优点：结构简单，计算量相对FIR较低；易于表示成级联的形式，使得高阶的滤波器能够由低阶滤波器的级联来实现。IIR滤波器的主要缺点：由于极点的存在，造成了IIR滤波器的不稳定；较难满足线性相位。在数字技术出现之前，采用模拟器件设计IIR滤波器是滤波器设计的主要任务，积累了成熟的设计技术。对于数字IIR滤波器的设计，主要思想是借助模拟IIR滤波器设计方法，采用相互映射，首先将数字滤波器的设计问题转化为模拟滤波器的设计，然后再设计相应的数字滤波器。因此对于IIR数字滤波器的设计问题的讨论集中于数字和模拟之间的转换逼近方法。通信系统主要的任务是实现信息的无失真传输，对于系统相位的失真比较敏感，因此在讨论IIR数字滤波器的设计之前，有必要对系统的全通分解、最小相位系统等概念作一个简要的回顾。系统的全通分解若一个因果系统的幅频响应对于所有的频率都等于1或某个常数则该系统称为全通系统。一个最简单的全通系统是该系统表明其输出信号仅仅是输入信号的延迟。()1,02japHe()kapHzz一个全通系统的极点和零点关于单位圆镜像对称分子分母多项式是互为镜像的多项式，即其中为N阶实系数多项式。进一步可以证明1*11(),11NkapkkkzHzz1()(),1()NapkzAzHzAz()Az2*()()()1jjjapapapHeHeHe全通系统的特点：除外，全通系统是IIR系统；全通系统的极点和零点的数目相等，且以单位圆镜像对称；稳定的全通系统的所有极点都在单位圆内，那么所有的零点都在单位圆外；当由0变化到时，全通系统的相频响应单调递减；全通系统的群迟延大于0。()kapHzz2)(211)()(jcgrerdd最小相位系统由于IIR滤波器难以满足线性相位的要求，因此分析全通系统的意义在于一个全通系统和一个最小相位系统的级联可以做到在不改变系统的幅频响应的前提下，实现对相位的矫正，使得系统的相位响应尽可能接近线性或者实现常数相位。一个因果、稳定的系统要求极点全部在单位圆内，如果一个系统的极点和零点全部位于单位圆内，则该系统称为最小相位系统。若零点全部在单位圆外，则系统为最大相位系统；若单位圆内外均有零点，则为混合相位系统最小相位滤波器具有一些重要的性质，首先最小相位滤波器相对于零相位（轴）具有最小的相位偏移，因此其冲激响应也具有最小的迟延。在反卷积和系统辨识的应用中，逆系统是一个非常重要的概念，给定一个稳定的因果系统则其逆系统，也就是逆滤波器()()/()HzNzDz1()()()()IVDzHzHzNz()()1IVHzHz当且仅当是最小相位滤波器时，逆滤波器才是稳定的、因果的，也即物理可实现的最小相位滤波器另一个重要的用途就是和全通系统级联，也即所谓的全通分解性质。任何一个非最小相位的因果系统的转移函数均可以由一个最小相位系统和一个全通系统级联构成证明：()Hzmin()Hz()apHzmin()()()apHzHzHz设系统有一个零点在单位圆外，即，，其余的极零点均在单位圆内，则不难得出若是最小相位的，上式又可以表示成()Hz0'1/zz01z110()()()HzHzzz1()Hz*11010*101()()()1zzHzHzzzzz11*10010min*1*100()(1)()11zzzzHzzzHzzzzz01z*1min10()()(1)HzHzzz10*101zzzz由于，所以也是最小相位的，而是全通的。IIR数字滤波器设计流程设计一个滤波器首先应该考虑滤波器的应用前提，明确滤波器在一个系统中的作用。比如要设计的是一个低通、带通还是高通滤波器…？是否要求线性相位？其次考虑实现的方式，是软件实现还是硬件实现？然后再考虑所要求的滤波器的性能如何，也就说明确滤波器的技术指标，如对通带、阻带和过渡带的要求典型的幅度技术指标通带：，为通带截止频率，为通带波纹1()1,jpppGeforpp阻带：，为阻带截止频率，为阻带波纹；峰值通带波纹：最小阻带衰减：过渡带宽度：(),jssGeforss01010|()|20log20log(1)dB|()|pjppjGeGe0|()|1jGe01010|()|20log20logdB|()|sjssjGeGeps典型的幅度技术指标一般对于低通滤波器的技术指标采用四个指标：滤波器的选型，确定使用FIR还是IIR来实现。由于IIR数字滤波器不存在直接的设计方法，需要借助对模拟IIR滤波器的设计来实现。首先将数字滤波器的设计指标通过逼近的方法转换成模拟滤波器的设计指标。由模拟滤波器的设计方法设计相应的模拟滤波器，最后由模拟再对应回数字，实现相应数字滤波器的设计。,,,ppss模拟和数字滤波器的幅频指标的对应数字滤波器的设计流程以双线性变换逼近法为例：IIR模拟滤波器设计简介由于数字IIR滤波器的设计实质上是利用模拟滤波器的成果，因此有必要对于模拟滤波器的设计作一个简要的介绍。模拟滤波器的设计主要有Butterworth，Chebyshev和椭圆滤波器，这里只介绍前两种滤波器的设计方法。模拟滤波器的设计采用的是函数逼近的方法来近似所要求的滤波器的幅频特性。滤波器的技术指标同滤波器的幅频特性紧密相关的，通常采用幅度平方特性建立滤波器的幅度特性和技术指标之间的函数联系。21010log|()|ppGj21010log|()|ssGj由于所设计滤波器的冲激响应一般是实数，因此有若用技术指标近似表示出，则由上式可以方便的确定出所需的系统函数，，这样问题就集中于对于滤波器幅度平方的近似上了，不同的近似函数就对应于不同类型的滤波器，如Butterworth，Chebyshev和椭圆滤波器等。,,,ppss2|()|Gj()GssjjssGsGjGjGjGjGjG*2模拟滤波器的设计步骤1)频率的归一化。由于滤波器的动态范围千差万别，为使设计工作规范化，通常需要将滤波器的频率相对于某个频率作一个归一化的处理。对于低通滤波器，令，则，；2)由所要求的技术指标来确定近似函数的参数，也即滤波器的设计参数；3)由求滤波器的系统函数，也即确定系统的极零点。/p1p/ssp2|()|Gj()GsjssGsGjGjGjGjGjG*2Butterworth滤波器Butterworth滤波器的定义：其中C为待定的常数，N为滤波器的阶数。设计的主要工作就是确定合适的C和N，进而设计系统的极零点。频率归一化后，由于2221|()|1NGjC/1022101pNpC/1022101sNsC1p/102101pC/1010/10101101loglog101spN确定参数后，下面剩下的任务就是确定合适的了，这等效于求系统函数。和归一化频率相对应，可以定义归一化复变量进一步有令//pppjjs()Gj()Gs2211()()1(1)1/NNNGpGpppj21(1)0NNp解得的极点为：表明2N个极点以为间隔，均匀分布在S平面上的单位圆上()()GpGp21exp,1,2,,22kkNpjkNN/NN阶Butterworth滤波器的极点分布考虑到所设计的滤波器应该是稳定的，因此将左半平面的极点赋予，即若N为偶数，则极点共轭成对出现，每一对共轭极点构成一个二阶系统，这样可以等效为个二阶系统的级联。若N为奇数，则等效为一个一阶系统和个二阶系统的级联。因此高阶系统可以转化为低阶（一阶和二阶）系统的级联。21exp,1,2,,2kkNpjkNN()Gp121()()()()NGppppppp()Gp/2N(1)/2NButterworth滤波器无论在通带还是阻带都是单调下降的，其过渡带随着N的增大而逐渐变窄00.511.522.5300.10.20.30.40.50.60.70.80.91归一化频率幅度平方N=5N=4N=3N=2N=1Chebyshev滤波器Chebyshev-I型滤波器：幅度平方特性为其中频率归一化2221|()|1()nGjC222cosarccos(),||1()cosharcosh(),||1nnforCnforcosh()2ee222cosarccos(),||1()cosharcosh(),||1nnforCnfor2221|()|1()nGjC由于2221|()|1()nGjC21010log|()|ppGj21010log|()|ssGj2221|()|1()nGjC又代入归一化形式得到/1022()101pnpC/1022()101snsC由于1p/102101p1sp由于2222()cosh(arcosh)nssCn/10/1022/102101101cosh(arcosh)101sspsnarcosharcoshsn所以，令进而，写出n的计算表达式222cosarccos(),||1()cosharcosh(),||1nnforCnfor2221|()|1()nGjC下面确定滤波器的极点分布，由于221()()1/nGpGpCpj的极点为的根，因此221/0nCpj/1nCpjj求解椭圆方程/njCpj该方程的根分布在一个椭圆的圆周上kp椭圆方程也因而得名。对于具体的求解步骤这里不再赘述，详见相关的专著。上述方程左半平面的根对应滤波器的极点，进而可以确定滤波器的系统函数为：NkpkNpsppspGsGp1)()(Chebyshev-I型滤波器的频率特性00.511.522.5300.10.20.30.40.50.60.70.80.91Chebyshev-I归一化频率幅度平方n=3n=4n=5Chebyshev-I型滤波器在通带内等波纹振荡，在阻带内单调下降。该滤波器在相同的阶数条件下，过渡带明显要窄于Butterworth滤波器。Chebyshev-II型滤波器和I型相比，不难判断其通带和阻带特性是相反的。同I型相反，II型在阻带内等波纹振荡，在通带内单调下降。Chebyshev-II型滤波器的设计步骤和I型滤波器的类似，这里就不详细讨论了。Chebyshev-II型滤波器的幅度平方定义为：2221|()|1()nGjC)()(112222