现代数字信号处理复习题

第1页，共7页现代数字信号处理复习题一、填空题1、平稳随机信号是指：概率分布不随时间推移而变化的随机信号，也就是说，平稳随机信号的统计特性与起始时间无关，只与时间间隔有关。判断随机信号是否广义平稳的三个条件是：（1）x(t)的均值为与时间无关的常数：Ctmx)(（C为常数）；（2）x(t)的自相关函数与起始时间无关，即：)(),(),(xiixjixRttRttR；（3）信号的瞬时功率有限，即：)0(xxRD。高斯白噪声信号是指：噪声的概率密度函数满足正态分布统计特性，同时其功率谱密度函数是常数的一类噪声信号。信号的遍历性是指：从随机过程中得到的任一样本函数,好象经历了随机过程的所有可能状态,因此,用一个样本函数的时间平均就可以代替它的集合平均。广义遍历信号x(n)的时间均值的定义为：，其时间自相关函数的定义为：。2、连续随机信号f(t)在区间上的能量E定义为：其功率P定义为：离散随机信号f(n)在区间上的能量E定义为：其功率P定义为：注意:(1)如果信号的能量0E∞，则称之为能量有限信号，简称能量信号。(2)如果信号的功率0P∞，则称之为功率有限信号，简称功率信号。3、因果系统是指：对于线性时不变系统，如果它在任意时刻的输出只取决于现在时刻和过去时刻的输入，而与将来时刻的输入无关，则该系统称为因果系统。4、对平稳随机信号，其自相关函数为)(xR，自协方差函数为)(xC，（1）当0时，有：)(xR=xD，)(xC＝2x。（2）当时，有：)(xR=2xm，)(xC＝0。第2页，共7页5、由Wold分解定理推论可知，任何AR或ARMA序列均可用无限阶的惟一MA模型MA(∞)来表示。6、经典功率谱估计的方法主要有周期图法(直接法)和相关图法(间接法)两大类。对经典谱估计方法的改进措施主要有:(1)经典谱估计性能分析；(2)Bartlett法谱估计；(3)Welch法谱估计。7、设计维纳滤波器时使用的正交性原理是指：在最小均方误差（MMSE）准则下，误差e(n)与每一个输入样本x(n-k)都是正交的。8、在训练自适应滤波器时，收敛速度与学习率及输入信号的自相关矩阵的最小特征值取值有关。学习率越大，收敛速度越快；最小特征值越小，收敛速度越慢。9、谱估计的分辨率是指估计值)(ˆS保证真实谱)(S中两个靠得很近的谱峰仍然能被分辨出来的能力，在经典谱估计中，决定谱估计分辨率的主要因素是窗函数的主瓣宽度。注意：主瓣越宽，分辨率越低。二、问答题1、什么叫能量信号？什么叫功率信号？答：（1）如果信号的能量0E∞，则称之为能量有限信号，简称能量信号。（2）如果信号的功率0P∞，则称之为功率有限信号，简称功率信号。2、什么叫线性时不变系统？什么叫因果系统？答：（1）具有线性性和时不变性的系统叫线性时不变系统。（2）对于线性时不变系统，如果它在任意时刻的输出只取决于现在时刻和过去时刻的输入，而与将来时刻的输入无关，则该系统称为因果系统。注意：因果系统是指当且仅当输入信号激励系统时，才会出现输出响应的系统。也就是说，因果系统的响应不会出现在输入信号激励系统的以前时刻。3、如何判断一个线性时不变系统是稳定的？答：一个线性时不变系统是稳定的充要条件：nnh)(（1）充分性：如果nnh)(成立，对有界的输入，输出也是有界的；（2）必要性：如果系统稳定，nnh)(成立。4、对于连续时间信号和离散时间信号，试写出相应的维纳－辛欣定理的主要内容。答：(1)连续时间信号相应的维纳－辛欣定理主要内容：连续时间信号的功率谱密度与其自相关函数满足如下关系：))(()()(xjxxRFdeRSdeSRjxx)(21)((2)离散时间信号相应的维纳－辛欣定理主要内容：离散时间信号的功率谱密度与其自相关函数满足如下关系：mjmxjxemReS)()(deeSmRmjjxx)(21)(5、试列举出随机信号的功率谱密度函数的三条性质。答：第3页，共7页6、什么是估计的偏差？什么叫无偏估计？什么叫渐进无偏估计？答：假设估计量为a（a可以是均值、方差、自相关函数等），它的估计值为aˆ，如果aaE)ˆ(，则称aˆ为a的无偏估计，否则称aˆ为有偏估计；定义估计的偏差为：aaEb)ˆ(~，如果估计值aˆ不是无偏估计，但随着样本数目的增加，其数学期望趋近于真实的估计量，即：0])ˆ([limaaEN，则称估计值aˆ为渐近无偏估计。7、请写出ARMA),(qp的数学模型表达式，并画出该模型的电路框图。答：（1）ARMA),(qp的数学模型表达式：式中，qp,...,,,,...,,2121为常数，100（2）该模型的电路框图如下所示：第4页，共7页8、请写出AR)(p的数学模型表达式，并画出该模型的电路框图。答：（1）AR)(p的数学模型表达式:（2）该模型的电路框图如下所示：注意：AR)(p模型又称全极点模型。10、请写出MA)(q的数学模型表达式，并画出该模型的电路框图。答：（1）MA)(q的数学模型表达式:（2）该模型的电路框图如下所示：注意：MA)(q模型又称全零点模型。11、什么是谱估计的分辨率？在经典谱估计中，决定其分辨率的主要因素是什么？答：谱估计的分辨率是指估计值)(ˆS保证真实谱)(S中两个靠得很近的谱峰仍然能被分辨出来的能力，在经典谱估计中，决定谱估计分辨率的主要因素是窗函数的主瓣宽度,主瓣越宽，分辨率越低。12、BT谱估计的理论根据是什么？请写出此方法的具体步骤。答：（1）相关图法又称BT法，BT谱估计的理论根据是：通过改善对相关函数的估计方法，来对周期图进行平滑处理以改善周期图谱估计的方差性能。（2）此方法的具体步骤是：①给出观察序列)1(),...,1(),0(Nxxx，估计出自相关函数：mNnNmN，mnxnxNmR1011)()(1)(ˆ②对自相关函数在（-M，M）内作Fourier变换，得到功率谱：mjMMmemmRS)()(ˆ)(ˆ式中，一般取1Nm，)(m为一个窗函数，通常可取矩形窗。可见，该窗函数的选择会影响到谱估计的分辨率。13、AR谱估计的基本原理是什么？与经典谱估计方法相比，其有什么特点？答：（1）AR谱估计的基本原理是：第5页，共7页p阶的AR模型表示为：piinuinxnx1)()()(其自相关函数满足以下YW方程：取pm,...,2,1,0，可得到如下矩阵方程：在实际计算中，已知长度为N的序列)(nx，可以估计其自相关函数)(ˆmRx，再利用以上矩阵方程，直接求出参数p,...,,21及2，于是可求出)(nx的功率谱的估计值。（2）与经典谱估计方法相比，其有以下特点：14、Burg算法有什么特点？答：(1)不需要估计自相关函数)(ˆnRm,而是从数据)(nx直接求解；(2)比自相关函数法有更好的分辨率，但会出现“谱线分裂”的现象，对于高阶模型可能产生虚假的峰值；(3)对于短序列（N较小），Burg算法的性能不亚于LD算法的性能，N较大时，两者性能相当；(4)Burg算法估计的参数满足，p，，，ii...211，即求出的AR模型总是稳定的；001)0()1()()1()0()1()()1()0(21pxxxxxxxxxRpRpRpRRRpRRR第6页，共7页(5)对于有噪声的正弦信号，Burg算法存在着对正弦初相位的敏感问题，尤其当数据长度比较短时，随着频率偏差的增加，这种敏感性就越来越明显，从而会导致与相位有关的频率偏差。1.已知一个随机信号的观测数据为)(nx，该信号统计独立，均值和方差分别为im和2i，信号的均值niixnx11，求x的方差。2.一个均值为零、方差为2的白噪声，通过幅频特性为其它01)(cjeH的离散带通滤波器，求滤波器输出信号的均方值。若白噪声的方差为0.1，滤波器是带宽为1Hz的离散低通滤波器，该过程为实值，计算滤波器输出的方差；若输入信号为高斯过程，确定滤波器输出的概率密度函数。3.证明：纯正弦波可用AR模型描述，而正弦波加噪声则为ARMA过程。4.用相关卷积定理证明：（1）)(*)()(*)()(nhnrnrnrnrxyhxyyy（2）已知)(*)()(nbnnx，)(n为白噪声，则)(*)()(mbmrmrsxs5．设观测信号为tuunusux),()()(，其中信号和噪声的功率谱密度分别为：222)(aaePjss，1)(jeG，求)(ats的最佳维纳滤波器。6．考虑如下差分方程描述的二阶AR过程)(nx，)()2(5.0)1(1.0)(nnxnxnx，其中)(n是零均值和方差为0.5的白噪声，（1）写出该过程的Yule-Walker方程；（2）对自相关函数值)1(xxr和)2(xxr，求解这两个方程；（3）求)(nx的方差7．在下图所示自适应滤波系统中，设1,152sin)(Lnnx，试求性能函数图：第7页，共7页8.已知信号的4个取样值}3,1,4,2{)(nx，分别用自相关法和协方差法估计AR（1）模型参数。9.10.11.