华南理工大学现代信号处理课件

1.2离散时间信号及线性时不变系统李晴宇1.2.1离散时间信号•离散时间信号是指仅在时间的离散值有定义的信号，是时间上不连续的序列，简称离散信号，也称离散序列。•一个离散时间信号是一个整数值变量n的函数，表示为x(n)或{x(n)}。n就表示序列值在序列中前后位置的序号，所以一个实值离散时间信号可以用图形来描述。－5－4x(－5)x(－4)x(－3)－3－2－10123456nx(4)x(5)x(6)x(3)x(2)x(1)x(0)x(n)x(－2)x(－1)1.2.1离散时间信号•一些离散时间信号可以认为是自然产生的，如每日股票市场价格、人口统计数和仓库存量等。•离散时间信号常常可以对模拟信号(如语音)进行等间隔采样而得到。例如，对于一个连续时间信号xa(t)，以每秒fs=1/T个采样的速率采样而产生采样信号，它与xa(t)的关系如下：)()(nTxnxa1.2.1.1序列的运算1．序列的移位如下图所示的离散序列x(n)，其移位序列w(n)为)()(mnxnw1.2.1.1序列的运算当m为正时，则x(n-m)是指序列x(n)逐项依次延时（右移）m位而给出的一个新序列;当m为负时，x(n-m)是指依次超前（左移）m位。下图显示了x(n)序列的延时序列w(n)=x(n-2),即m=2时的情况。－5－4x(－5)x(－4)x(－3)－3－2－10123456nx(4)x(5)x(6)x(3)x(2)x(1)x(0)x(n)x(－2)x(－1)x(n)的图形表示n876543201－1－2－3－5－4w(n)＝x(n－2)序列x(n)的延时1.2.1.1序列的运算2．序列的翻褶如果序列为x(n),则x(-n)是以n=0的纵轴为对称轴将序列x(n)加以翻褶。x(n)及x(-n)如下图(a)、(b)所示。nnx(n)－6－5－4－3－2－1012345x(－n)－5－4－3－2－10123456(a)(b)1.2.1.1序列的运算3．序列的和两序列的和是指同序号n的序列值逐项对应相加而构成的一个新序列。和序列z(n)可表示为)()()(nynxnz1.2.1.1序列的运算4．序列的乘积两序列相乘是指同序号n的序列值逐项对应相乘。乘积序列f(n)可表示为)()()(nynxnf1.2.1.1序列的运算5．序列的标乘序列x(n)的标乘是指x(n)的每个序列值乘以常数c。标乘序列f(n)可表示为)()(ncxnf1.2.1.1序列的运算6．累加设某序列为x(n)，则x(n)的累加序列y(n)定义为nkkxny)()(它表示y(n)在某一个n0上的值y(n0)等于在这一个n0上的x(n0)值与n0以前所有n上的x(n)之和。1.2.1.1序列的运算7．差分运算前向差分Δx(n)=x(n+1)-x(n)后向差分▽x(n)=x(n)-x(n-1)由此得出▽x(n)=Δx(n-1)1.2.1.2几种常用的序列1．单位脉冲序列δ(n)0001)(nnn这个序列只在n=0处有一个单位值1，其余点上皆为0，因此也称为“单位采样序列”。1(n)－4－5－3－2－1012345n……1.2.1.2几种常用的序列1．单位脉冲序列δ(n)这是最常用、最重要的一种序列，它在离散时间系统中的作用，很类似于连续时间系统中的单位冲激函数δ(t)。但是，在连续时间系统中，δ(t)是t=0点脉宽趋于零，幅值趋于无限大，面积为1的信号，是极限概念的信号，并非任何现实的信号。而离散时间系统中的δ(n)，却完全是一个现实的序列，它的脉冲幅度是1，是一个有限值。1.2.1.2几种常用的序列2．单位阶跃序列u(n)0001)(nnnu－5－4－3－2－1012345nu(n)…161.2.1.2几种常用的序列2．单位阶跃序列u(n)δ(n)和u(n)间的关系为)1()()(nunun这就是u(n)的后向差分。而)2()1()()()(0nnnmnnum令n-m=k，代入此式可得nkknu)()(1.2.1.2几种常用的序列3．矩形序列RN(n)nNnnRN其他0101)(…nRN(n)1－10123NN－11.2.1.2几种常用的序列RN(n)和δ(n)、u(n)的关系为:)()()(NnununRN)]1([)1()()()(10NnnnmnnRNmN1.2.1.2几种常用的序列4．实指数序列)()(nuanxn…012345－1nanu(n)|a|＜1anu(n)|a|＞1012345－1nanu(n)0－1n12345……a＝－|a|1.2.1.2几种常用的序列5．正弦型序列x(n)=Asin(nω0+φ)式中:A为幅度;φ为起始相位;ω0为数字域的频率，它反映了序列变化的速率。sin(n0)1－1no1.2.1.2几种常用的序列6．复指数序列序列值为复数的序列称为复指数序列。复指数序列的每个值具有实部和虚部两部分。复指数序列是最常用的一种复序列：njAenx)(0)(或njAenx0)(式中，ω0是复正弦的数字域频率。1.2.1.3序列的周期性如果对所有n存在一个最小的正整数N，满足)()(Nnxnx则称序列x(n)是周期性序列，周期为N。1.2.1.4用单位采样序列来表示任意序列用单位采样序列来表示任意序列对分析线性时不变系统（下面即将讨论）是很有用的。设{x(m)}是一个序列值的集合，其中的任意一个值x(n)可以表示成单位采样序列的移位加权和，即)()()(mnmxnxm1.2.1.4用单位采样序列来表示任意序列由于nmnmmn01)(则mnmnxmnmx其他0)()()(这种表达式提供了一种信号分析工具。1.2.1.5序列的能量nnxE2|)(|序列x(n)的能量E定义为序列各采样样本的平方和，即1.2.2线性时不变系统输入输出信号都是离散信号的系统称为离散时间系统，简称离散系统。离散系统框图T[]x(n)y(n)·1.2.2线性时不变系统线性系统满足叠加原理的系统称为线性系统，即若某一输入是由N个信号的加权和组成，则输出就是系统对这几个信号中每一个的响应的同样加权和组成。如果系统在x１(n)和x2(n)单独输入时的输出分别为y1(n)和y2(n)即:)]([)()]([)(2211nxTnynxTny那么当且仅当下面两式成立时，该系统是线性的)()()]([)]([)]()([212121nynynxTnxTnxnxT)()]([)]([naynxaTnaxT1.2.2线性时不变系统)()()]([)]([)]()([212121nynynxTnxTnxnxT)()]([)]([naynxaTnaxT上述第一个性质称为可加性，第二个称为齐次性或比例性。这两个性质合在一起就成为叠加原理，写成)()()]([)]([)]()([221122112211nyanyanxTanxTanxanxaT该式还可推广到多个输入的叠加，即kkkkkkkkknxanxTanxaT)()]([)(式中,yk(n)就是系统对输入xk(n)的响应。1.2.2线性时不变系统线性系统的三个特性tytf①微分特性dttdydttdf②积分特性dydftt③频率保持性：信号通过线性系统不会产生新的频率分量1.2.2线性时不变系统时不变系统系统的运算关系T［·］在整个运算过程中不随时间（也即不随序列的延迟）而变化，这种系统称为时不变系统（或称移不变系统）。这个性质可用以下关系表达：若输入x(n)的输出为y(n)，则将输入序列移动任意位后，其输出序列除了跟着移位外，数值应该保持不变，即若T［x(n)］=y(n)则T［x(n-m)］=y(n-m)（m为任意整数）满足以上关系的系统就称为时不变系统。1.2.2线性时不变系统线性时不变系统可用它的单位脉冲响应来表征。单位脉冲响应是指输入为单位脉冲序列时系统的输出。一般用h(n)表示单位脉冲响应，即h(n)=T［δ(n)］有了h(n)我们就可以得到此线性时不变系统对任意输入的输出。设系统输入序列为x(n)，输出序列为y(n)。任一序列x(n)可以写成δ(n)的移位加权和，即mmnmxnx)()()(1.2.2线性时不变系统则系统的输出为mmnmxTnxTny)()()]([)(由于系统是线性的，可利用叠加原理式（1-40），则mmmnTmxmnmxT)]([)()()(又由于系统的时不变性，式（1-41）对移位的单位脉冲的响应就是单位脉冲响应的移位。)()]([mnhmnTmnhnxmnhmxny)()()()()(1.2.3线性时不变系统的性质1．交换律由于卷积与两卷积序列的次序无关，即卷积服从交换律，故)()()()()(nxnhnhnxny这就是说，如果把单位脉冲响应h(n)改作为输入，而把输入x(n)改作为系统单位脉冲响应，则输出y(n)不变。1.2.3线性时不变系统的性质2．结合律可以证明卷积运算服从结合律，即)]()([)()()]()([)()]()([)()()(21122121nhnhnxnhnhnxnhnhnxnhnhnx这就是说，两个线性时不变系统级联后仍构成一个线性时不变系统，其单位脉冲响应为两系统单位脉冲响应的卷积，且线性时不变系统的单位脉冲响应与它们的级联次序无关。1.2.3线性时不变系统的性质3．分配律卷积也服从加法分配律：)()()()()]()([)(2121nhnxnhnxnhnhnx也就是说，两个线性时不变系统的并联等效系统的单位脉冲响应等于两系统各自单位脉冲响应之和,如图1-19所示。以上三个性质，交换律前面已经证明了，另外两个性质由卷积的定义可以很容易加以证明。1.2.3线性时不变系统的性质具有相同单位脉冲响应的三个线性时不变系统h1(n)h2(n)h2(n)h1(n)h1(n)h2(n)x(n)x(n)x(n)y(n)y(n)y(n)*1.2.3线性时不变系统的性质h1(n)h2(n)＋h1(n)＋h2(n)y(n)x(n)x(n)y(n)线性时不变系统的并联组合及其等效系统谢谢！