Lecture-4-离散时间傅立叶变换

1离散时间傅里叶变换DiscreteTimeFourierTransform主讲：薛洋[e-mail]4数字信号处理DigitalSignalProcessing2本讲主要内容连续时间傅里叶变换（CTFT）离散时间傅里叶变换（DTFT）LTI系统的频率响应及频率特性课本第三章内容3一、连续时间傅里叶变换4频率的概念频率的概念是什么？（从哪里来？）正弦信号频率概念震动对频率的定义单位时间内完成振动的次数，是描述振动物体往复运动频繁程度的量，常用符号f表示，单位为1/秒。为了纪念德国物理学家赫兹的贡献，人们把频率的单位命名为赫兹,Hz。5WhyFourierTransform?分析信号的频率成分Story：HistoryofFT:傅立叶（Fourier,JeanBaptisteJoseph,1768-1830）法国数学家、物理学家。1807年向巴黎科学院呈交《热的传播》论文，推导出著名的热传导方程，并在求解该方程时发现解函数可以由三角函数构成的级数形式表示，从而提出任一函数都可以展成三角函数的无穷级数。傅立叶级数（即三角级数）、傅立叶分析等理论均由此创始。Story61768-18301736-18131749-18271769-18217Recall周期连续信号x(t)的FT：ktjkekXtx0)()(0TtjdtetxTkX000)(1)(0()jktkkxtae01()jktkTaxtedtT8WhyFourierTransform(cont.)运用傅立叶级数进行分析就是把一个复杂的周期现象(如各种波形函数)分解为一系列的简单谐波，以便于研究信号的频率特性9WhyFourierTransform(cont.)现代数学发现傅立叶变换具有非常好的性质,使得它如此的好用和有用,让人不得不感叹造物的神奇:1.傅立叶变换的逆变换容易求出,而且形式与正变换非常类似;2.正弦基函数是LTI系统的本征函数,在线性时不变的物理系统内,频率是个不变的性质,从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取;3.著名的卷积定理指出:傅立叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算,从而提供了计算卷积的一种简单手段;4.离散形式的傅立叶变换可以利用数字计算机快速的算出(FFT).正是由于上述的良好性质,傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。101.1CTFT定义（1）定义：连续时间信号的傅立叶变换定义如下：是复数，可以表示为：：频谱的实部，：频谱的虚部：幅度函数（幅度谱）：相位函数（相位谱）)(txa)(jXadtetxjXtjaa)()()(jXa)()()()()(ajaimreaejXjjXjXjX＝))(arg()(jXaa)(jXre)(jXim)(jXa)(a111.1CTFT定义（2）连续时间傅里叶逆变换：CTFT变换对表示为：CTFT收敛条件：Dirichlet条件绝对可积条件任何有限区间内，信号具有有限个不连续点，且极值数目有限任何有限区间内，信号具有有限个第一类间断点dejXtxtjaa)(21)()()(jXtxaCTFTadttxa)(121.2能量密度谱（1）一个能量有限的连续时间复信号的总能量：利用CTFT反变换上式可以写成：)(txadttxtxdttxaaax)()()(2dtdejXtxtjaax)(21)(djXdjXjXddtetxjXaaatjaax2)(21)()(21)()(21131.2能量密度谱（2）因此能量密度谱：计算信号在频率范围上的总能量djXdttxaa22)(21)(——Parseval定理2)()(jXSaxx)(txabadSbaxxrx)(21,141.3带限连续时间信号（1）全频带有限能量的连续时间信号带限连续时间信号频谱限制在整个频率范围的一部分频谱占有整个频率范围，即理想带限连续时间信号ba频谱在有限频率范围之外为零baajX,00,0)(即151.3带限连续时间信号（2）带限信号根据绝大部分能量集中的那一频段分类低通连续时间信号高通连续时间信号带通连续时间信号频谱所占频率范围，信号带宽p0p频谱所占频率范围，信号带宽到p0pLH频谱所占频率范围，信号带宽HL016二、离散时间傅里叶变换172.1DTFT定义（1）定义：序列的离散时间傅立叶变换定义如下：是复数，可以表示为：：频谱的实部，：频谱的虚部：幅度函数（幅度谱）：相位函数（相位谱）][nx)(jeXnnjjenxeX][)()(jeX)()()()()(jjjimjrejeeXejXeXeX＝))(arg()(jeX)(jreeX)(jimeX)(jeX)(182.1DTFT定义（2）频谱的实部、虚部、幅度、相位满足关系：jrejimjimjrejjjimjjreeXeXeXeXeXeXeXeXeXtansincos222例：计算信号的DTFTjnnjnjDTFTnaeeaeXnuanx11)(][][01][)(][][nnjjDTFTeneXnnx这表明单位冲击信号的FT中包括了所有的频率成分，且所有频率分量的幅度、相位都相同。因此，系统的单位冲激响应才能完全描述一个LTI系统的特性。192.2傅里叶逆变换DTFT逆变换：deeXnxnjj)(21][证明：121212sin1sin0jljnnjnlnjnljnlnnnxleedxledeexljnljnlnlxlxlnlxnnlnlnlnlnlnl其中，][nxDTFT变换对：)(][jDTFTeXnx202.3DTFT收敛条件（1）一致收敛（uniformconvergence）一致收敛，则存在的即绝对可和，即一致收敛称令jnnnjjnjjKjKKKnnjjKnnjjeXDTFTnxnxenxeXnxnxeXeXeXenxeXenxeX,then][if,0lim,序列绝对可和是DTFT收敛的充分条件][nx][nx212.3DTFT收敛条件（2）例：由于22nnnxnx所以绝对可和序列具有有限能量。但反过来是不成立的，即，有限能量序列不一定绝对可和。不绝对可加但（能量理想低通滤波器nhddeHnhnhnnjnejnedenheHLPcjLPnLPLPcnjnjnjLPccjLPcccccc2121:sin212100122222.3DTFT收敛条件（3）均方收敛（mean-squareconvergence）为了用DTFT表示能量有限但不绝对可和的序列，考虑均方收敛0lim2deXeXjKjKjKjeXeX对任意，当时，误差的总能量趋近于0。K上面的例子就是满足均方收敛，而不满足绝对收敛。KKnnjjKenxeX用幅度响应做特征23050010001500200010012014016005001000150020001001502000500100015002000801001201400204060800500100015000204060800100020003000020406080050010000500100015002000100120140160050010001500200010015020005001000150020005010015002040608005001000020406080010002000300002040608005001000downstairsupstairstime-domainfrequency-domaintime-domainfrequency-domain242.4常用DTFT对jDTFTnkDTFTnjkjDTFTkDTFTDTFTenukekenukn11122211221100，频谱序列)(jeXDTFT的Lp范数定义：DTFT的强度的测度ppjpdeXX1))(21(L2范数是均方根(rms)；L1范数是在平均绝对值；范数定义：L)(maxjeXX绝对值的峰值)(jeX)(jeX],[MATLAB实现：filternorm(p,d)jNjjMjjjjededdepeppeDePeX1010)()()(262.4DTFT性质（1）基本性质性质序列离散时间傅立叶变换线性时移频移频域微分卷积相乘帕斯瓦尔公式[]gn()jGe[]hn()jHe[][]gnhn[][]jjGeHe0[]gnn0()jnjeGe0[]jngne0()()jGe[]ngn()jdGejd[][]gnhn()()jjGeHe[][]gnhn()1()()2jjGeHed**1[][]()()2jjgnhnGeHed272.4DTFT性质（2）复序列的DTFT的对称关系序列离散时间傅立叶变换()jXe[]xnRe{[]}xnIm{[]}jxn[]xn()jXe*()jXe*1(){()()}2jjjcsXeXeXe*1(){()()}2jjjcaXeXeXe[]csxn()jreXe[]caxn()jimjXe][nx282.4DTFT性质（3）实序列的DTFT的对称关系序列离散时间傅立叶变换对称关系[]xn()()()jjjreimXeXejXe[]evxn()jreXe[]odxn()jimjXe*()()jjXeXe()()jjrereXeXe()()jjimimXeXe()||()|jjXeXearg{()}arg{()}jjXeXe292.5DTFT的周期性任意信号的DFTF是一个周期为2pi的周期函数。证明？（Q/A？）302.6离散时间序列的能量密度谱由Parseval定理，序列的总能量deGngjng2221ng能量密度谱2jjggeGeS312.