第5章-离散傅立叶变换

第五章傅立叶变换离散傅立叶变换DFT离散傅里叶变换时域周期延拓频率采样离散时间傅立叶变换DTFT离散傅立叶变换DFT12/2/0NjjknNkNnXkXexnennjjenxeX][)(DTFTDFT正变换01kNN点有限长序列deeXnxnjj21IDTFT12/01,01NjknNkxnXkenNNIDFT反变换离散傅立叶变换DiscreteFourierTransformDFT定义10DFT01NknNnXkxnWkN101IDFT01NknNkxnXkWnNN2/jNNWejkXkXkeDFT幅度谱kXkDFT相位谱2/jNNWe性质222knjknNNnrNnNNNNWe01NNNnNnNN10102)(1)(1)(NknkNNkNknjWkXNekXNnxotherwiserNlkNeeeWNlkjlkjNnnklNjNnnlkN011/2210210IDFT证明证明:11111000001100111NNNNNklnlnknlnNNNNnnknkNNklnNknxnWXkWWXkWNNXkWXlN1021022102NnnNkjNnnjnNkjNnnNNkjkXenxeenxenxNkX证明：DFT的周期性XkNXkN为x[n]的长度10,)()(][10102NkWnxenxkXNnnkNNnNknj10102)()(1)(NknkNNkNknjWkXekXNnxDFT的运算量DFTIDFTN2N*(N-1)DFT、IDFT复数乘法DFT、IDFT复数加法2101010DFTkmjDFTkmNNnxnXkotherwisenmxnXkWeotherwise例：2NDFTcos2/,0101xnrnNnNrN例：求长度为的序列的：2/2/1122jrnNjrnNrnrnNNxneeWW1100/21/220NNrknrknNNnnNkrXkWWNkNrotherwise正频率负频率X[k]的DFT频谱16N3r05101502468k|X[k]|2时域周期延拓频率采样离散时间傅立叶变换DTFT离散傅立叶变换DFTDTFTIDFTIDTFTDFT[]()()[][]kjjxnXeXeYKyn频域采样y[n]与x[n]的关系？DTFTDFT频域采样离散连续01xnNynxnnN当长度小于或等于时，采样点数信号长度012345xn，，，，，例：jXe对x[n]的DTFT进行8点均匀抽样2/8)k(2/4k（）[]?yn求其逆变换若做4点抽样[]?yn其逆变换[]01nynxnmNnN8[8][8]0701234500ynxnxnxnnyn点抽样：解：4[4][4]05462346ynxnxnxnnyn点抽样：，，，，，混叠频域采样率不够，时域信号会发生混叠DFTDTFT1011112/000011NjjnnNNNNknjnjnjknNnnkknXexneXkWeXkeeNN离散连续212/1/22/2/02sin1221sin2jNkNjkNNjkNnjkNnNkeeeNkeN插值如何从离散频率点求任一频率？12/1/202sin122sin2NjkNNjkNkXeXkeNkNN插值公式12/1/202sin122sin2NjkNNjkNkXeXkeNkNN插值公式：由离散点计算连续频谱21/155等价于:FIR、卷积、低通滤波、时域采样恢复.......等价于?DFT用于DTFT的数值估算12/0[]kMjMNjknMjenXkXexneXe2/kjkMxnXeMN估计N点序列01[]011exnnNxnNnM补零M大小对X[k]的影响?M:采样点数N:信号长度cos2/,3,16(1)16xnrnNrN例：序列求其点DFT;(2)将(1)中的序列以补零方式加长到256，求其256点DFT(1)cos3/4xnn解:……016n01631n……016256271n……16点序列周期延拓补零以上序列DFT变换的结果？24/15505101502468k|X[k]|16点序列DFT补零至256点DFT周期延拓序列的DFT？05010015020025002468k|X[k]|25/155当M足够大时，|X[k]|的包络可逼近|X(ejω)|曲线。05010015020025002468kDTFT频谱05010015020025002468k|X[k]|增大M可以提高信号DFT的频率分辨率N大小对信号周期估计的影响?60[]cos(2())(64256xnn例：序列周期为）N=128和N=129时的DFT频谱N为周期的整数倍→频谱的尖峰为正弦的频率N不是周期的整数倍→出现模糊单频模拟信号DFT→宽频DFT频谱原因？129点128点时域上看周期延拓周期延拓波形的突变产生多种频率分量频域上看128点129点结论32/1551)DFT变换区间长度N不同，变换结果X[k]不同。当N确定后，X[k]与x[n]是一一对应的。2)当N足够大时，|X[k]|的包络可逼近|X(ejω)|曲线。结论TfkNkk223）|X[k]|表示ωk=(2π/N)k频点的幅度谱线。如果x[n]是一模拟信号的采样，采样间隔为T，ω=ΩT=2πf，则k与相对应的模拟频率fk的关系为NTkfk1/NT：频率分辨率为了提高频谱分辨率，就必须使记录时间NT足够大。序列的循环移位0000010modNnxnnnnNxnnxNnnnnmmn（）]5[6nx]2[6nx[]xn61xn64xnDFT的性质:有限长序列的运算移位与循环移位0……N-10……N-1循环移2位周期延拓移2位()NNxnxNn循环移位的周期循环移位的时反()NNxnmxnNm性质证明有限长序列的分类共轭对称：*[][]xnx-n*[][]xn-x-n共轭反对称：[][][]cscaxnxnxn任意复序列可分解为共轭对称和共轭反对称部分共轭对称部分共轭反对称部分[][][]2caxnxnx-n/[][][]2csxnxnx-n/特例：实序列偶对称：[][]xnx-n[][]xn-x-n奇对称：[][][]eoxnxnxn任意实序列可分解为偶对称和奇对称部分[][][]2oxnxnx-n/[][][]2exnxnx-n/偶对称部分奇对称部分圆周共轭对称：**[][]01NxnxnxN-nnN**[][]01NxnxnxN-nnN圆周共轭反对称：[][][]pcspcaxnxnxnN点序列可分解为圆周共轭对称和圆周共轭反对称部分*[][][]2pcsxnxnxN-n/*[][][]2pcaxnxnxN-n/圆周共轭对称部分圆周共轭对称部分几何对称：[][1]01xnxNnnN[][1]01xnxNnnN几何反对称：DFT的对称关系复序列DFT的对称关系序列DFT频谱*[]xn*[{}]NXk*[{}]Nxn*[]Xk共轭、时反Re{[]}xn*1[]{[{}][{}]}2pcsNNXkXkXkIm{[]}jxn*1[]{[{}][{}]}2pcaNNXkXkXk实部、虚部[]pcsxnRe{[]}Xk[]pcaxnIm{[]}jXk圆对称、反对称实序列DFT的对称关系Re[]Re[{}]NXkXk*[][{}]NXkXkIm[]Im{}NXkXk|[]||[{}]|NXkXkarg[]arg[{}]NXkXkDFT频谱对称关系[]pexnRe{[]}Xk[]poxnIm{[]}jXk偶对称、奇对称序列DFT频谱|[]||[{}]|NXkXkarg[]arg[{}]NXkXk为何实序列有这样的对称关系？x[n]=cos(0.1n)的DFT频谱例：x[n]=cos(0.1n)的DFT频谱Re[]Re[{}]NXkXkIm[]Im{}NXkXkDFT的性质[][][][]gnGkhnHk已知线性：[][]gnhn[][]kGkH循环时移00[]()knNNgnnWGk时移00()[]jnjeGegnnDTFTDFT幅度(功率)谱不变，仅影响相位谱00()[]()jnjgnGee循环频移00[][]knNNWgnGkk频移调幅广播DFT—对偶：[][]NGnNgk[][]gnGkDFT—N点圆周卷积10[][]()()NNmgmhnmGkHk[][]()()jjgnhnGeHeDTFT—卷积圆周卷积10NLmyngmhnmgnhnN设、为点长的序列21LN回顾：N点序列的线性卷积yL[n]的长度？10NNCNmyngnhngmhnmN点序列的圆周卷积yC[n]的长度？LNLM+N-10N-10M-1L0N-1L≥M+N-10M-1L0M-1x[n]0N-1h[n]线性卷积与圆周卷积的关系线性卷积圆周卷积00M+N-1y[n]0L=M+N-1点圆周卷积=线性卷积调制(加窗)101[][][][]NNmgnhnGmHkmNdeHeGnhngjj)()(21][][)(DFTDTFT帕斯瓦尔公式1122001[][]NNnkxnXkN**1[][]()()2jjngnhnGeHedDFTDTFTNnNnkHkGNnhng0*0*][][1][][两个实序列DFT的计算实序列DFT的计算xngnjhn令**1212NNGkXkXkHkXkXkjDFT的对称性基本思想：利用DFT的对称性2N点实序列DFT的计算2N点实序列v[n]2111212222000112002221021NNNnknknkNNNnnnNNnknkkNNNnnkNNNvnvnWvnWvnWgnWhnWWGkW