第4章-傅立叶变换

第四章傅立叶变换离散时间傅里叶变换DTFT离散傅立叶变换DFT傅立叶1768-1830(Fourier,JeanBaptisteJoseph)法国数学家、物理学家•最早使用定积分符号•改进符号法则、根数判别方法•傅立叶级数创始人1807《热的传播》推导热传导方程中发现解函数可以由三角函数级数构成的级数形式表示1822《热的分析理论》傅立叶级数、分析等理论傅立叶分析方法的历史古巴比伦人“三角函数和”描述周期性过程、预测天体运动1748年欧拉振动弦的形状是振荡模的线性组合1753年D·伯努利弦的实际运动可用标准振荡模的线性组合来表示1759年拉格朗日不能用三角级数来表示具有间断点的函数1822年傅立叶“热的分析理论”中提出并证明周期函数的正弦级数展开原理，奠定了傅立叶级数的理论基础1829年P.L狄里赫利周期信号傅立叶级数表示的若干精确条件19-20世纪两种傅立叶分析方法--连续与离散1965年Cooley&Tukey(IBM)发明FFT算法()()jtXjxtedt连续时间傅立叶变换(FT)1()()2jtxtXjed物理意义？tjetje引例时域和弦中音CEG频域如何分解出CEG分量？傅立叶变换的导出滤波相乘中音C每个频率分量？频域滤波器时域卷积频率为Ω分量幅度频率Ω通带变窄()jthtex(t)xΩ(t)()ht()()*jtxtxte滤波器频域频率幅度Ω时域单位冲击响应提取单个频率分量与t无关常数()()*jtxtxte()()jtxed()jjtxede()()jtXjxtedtFourier变换Fourier正变换为什么用？jte知识拓展：无穷窄的带通滤波器——实际中不可实现采用如下可实现的滤波器小波变换051001205100120510012051001205100120510012四种常用的傅立叶变换时域频域离散连续离散时间傅立叶变换连续连续连续时间傅立叶变换离散离散离散傅立叶变换连续离散连续时间傅立叶级数信号与系统数字信号处理11/155信号与系统与数字信号处理区别数字信号处理信号与系统时域频域两者均离散时域频域至少一个连续系统未知系统已知问题分析系统求系统有限长连续信号谱密度ωx(t)t0T0Tt0T-T2T0TxT(t)有限长连续信号幅度谱ωFTvsFS频域离散化时域周期延拓13/155ω-ππ2π-2π0N-1n0N-1x[n]有限长采样信号幅度谱n00N-1-(N-1)2N-1有限长采样信号0N-1xN[n]幅度谱π2π-π-2πωDTFTvsDFT频域离散化时域周期延拓14/155FSvsDFTt0T-T2T0TxT(t)有限长连续信号幅度谱ωn00N-1-(N-1)2N-1有限长采样信号0N-1xN[n]幅度谱π2π-π-2πω频域周期延拓时域离散化15/155连续时间傅立叶变换(FT)﹤﹥x(t)X(jΩ)正变换反变换()()jtXjxtedt正变换分解(提取)1()()2jtxtXjed反变换合成(还原)()()jtXjxtedtxtdt条件有限个不连续点绝对可积非周期连续时间信号非周期连续频率函数常见信号频谱连续时间傅立叶级数(FS)周期022fT()()jtXjxtedt正变换000()()TjktkXjkxtedta1()()2jtxtXjed反变换001()()jktxtXjkeT收敛性抽样定理•周期连续时间信号非周期离散频谱函数常见信号频谱离散时间傅里叶变换(DTFT)T()()jtXjxtedt正变换()()jjnnXexne1()()2jtxtXjed反变换201()()2jjtxnXeed非周期离散信号周期连续频率函数常见信号频谱()()jjjXeXee()()jjXeXe：傅立叶频谱：幅度函数或幅度谱：相位函数或相位谱例：00DTFTjnIDTFTnne0022DTFTjnIDTFTkekDTFT频谱的性质：)(jeX222cossintanjjrejjimjjjreimjimjreXeXeXeXeXeXeXeXeXe1.模与幅角2.对于实序列()[]jjnnXexne()[]cos()()jjrerenXexnnXe为的偶函数()[]sin()()jjimimnXexnnXe为的奇函数222jjjreimXeXeXetanjimjreXeXe()jXe为的偶函数()为的奇函数3jXe、为周期2的连续函数(2)(2)()[][]()jjnnjknnjkXexnexneXe证明：DTFT的收敛条件（convergence)[]()jxnXe绝对可和收敛jjnnnXexnexn()[]jjnnXexne无穷项求和()[]jXexn收敛绝对可和?例：低通滤波器(p105，例3.8)jDTFTnkDTFTnjkjDTFTkDTFTDTFTenukekenuknDTFT11122211221100，对：常用周期冲激串periodicimpulsetrainDTFT的性质()[]jGegn[]()jhnHe1.线性[][]gnhn))((jjGeHe2.时间反转()[]jGegn()[]jjnnYegne证明：[]jmmgmem=-njGe3.时移00()[]jnjeGegnn证明0()[]jjnnYegnne0()[]jmnmgme0jnjeGem=n-n0幅度(功率)谱不变仅影响相位谱0101()()jjjjdVedeVeppe0101[][1][][1]dvndvnpnpn[].vn利用傅立叶变换性质，不解差分方程求序列解：0101()jjjppeVedde傅立叶反变换v[n]4.频移00()[]()jnjgnGee证明：0()[]jnjjnnYeegne0()[]jnngne0()jGe调频广播、频率调制5.频域微分()[]jdGengnjd[][]jnjjnnndgnedGejngnedd证明：6.卷积[][]()()jjgnhnGeHe证明：()[][]jjnnkYegkhnke()[][]jnkjkkngkhnkee[][]jkjmkmgkehmejjGeHem=n-kdeHeGnhngjj)()(21][][)(7.调制定理(也称为加窗定理)()[][]jjnnYegnhne1[]()2jnjjnnhneGeed()1()[]2jjnnGehned()1()()2jjGeHed证明高频例：幅度调制[]xn0cosn[]yn0[][]cosynxnn0011()()222jjYeXed001(()()2jjXeXe低频0-ππ幅度频率幅度0-ππ-ωoωo频率低通滤波[]yn[]rnˆ[]xn0cosn解调20001[][]cos(1cos2)[]211[]cos2[]22rnxnnnxnxnnxn低频高频例：加窗[]xn[]wn[]yn[][][]ynxnwn()1()()2jjjYeXeWed无限长序列窗函数加窗后频谱产生失真测不准原理：时域分辨率*频域分辨率常数加窗实例[]xn[]wn[]yn频谱频谱加窗后频谱产生失真正弦序列8.帕斯瓦尔公式**1[][]()()2jjngnhnGeHed*1()()2jjGeHed*1()[]2jjnnHegned*[][]ngnhn证明：*1[]()2jjnngnHeed时域的能量等于频域的能量2()jXe称为能量谱密度特例：[][][]gnhnxn221()()2jnExnXed**1[][]()()2jjngnhnGeHedLTI离散时间系统的频率响应傅立叶变换：信号→不同频率正弦信号的线性组合x[n]h[n]y[n][][][]()()()kjjjynhkxnkYeHeXeLTI系统对单频信号的响应任何复杂信号的响应()()[]()jjjnjnYeHehneXe[]jjkkHehkejHeargjHe频率响应：幅度响应：相位响应：实冲激响应)()(jjeHeH)()(是奇函数是偶函数，)()(jimjreeHeH幅度响应和相位响应周期为2π相位响应是奇函数幅度响应是偶函数()()[]()jjjnjnYeHehneXe2111:()[]():()()FIRIIRNjjnnNMjkjkjkNjjkkkHehnepeYeHeXede1/,01[]0,otherwiseMnMhn例：求滑动平均滤波器频率响应？2/)1(0010)2/sin()2/sin(11111111)(MjjjMjMnnjMnnjnnjMnnjjeMMeeMeeMeeMeMeH解:为什么是折线M的变化有何影响例：输入信号通过3阶FIR高通滤波器][)}4.0cos()1.0{cos(][nnnnx]1[456335.13]2[][76195.6][nxnxnxny观察输出信号幅度和相位的变化Matlab仿真图形[]yn比较绛红与蓝色线,有何区别？cos(0.4)n[]xncos(0.1)n相位：产生延时)(arg)(0jeH幅度：滤除cos(0.1n)频率分量()()()jjjYeHeXe相延迟(phasedelay)和群延迟(groupdelay))))((cos(|)(|))(cos(|)(|][0000000neHAneHAnyjj()pnnAnxo),cos(][不同频率的正弦分量+系统相延迟=相位失