数字信号处理chap1-2

1.3时域离散系统)()(nxTny一、线性系统系统的输入、输出之间满足线性叠加原理的系统称为线性系统。设x1(n)和x2(n)分别作为系统的输入序列，其输出分别用y1(n)和y2(n)表示，即)()()()(2211nxTnynxTny)()()()()()(112121naynaxTnynynxnxT齐次性：可加性：例7、判断y(n)=ax(n)+b(a和b是常数）所代表系统的线性性质。故系统是非线性的。，则输出为设与所对应的输出分别为与解：设输入)()()()()()()()()()()()()(2211221133221132121nymnymbnxamnxambnaxnynxmnxmnxnynynxnx二、时不变系统如果系统对输入信号的运算关系T［·］在整个运算过程中不随时间变化，或者说系统对于输入信号的响应与信号加于系统的时间无关，则这种系统称为时不变系统，用公式表示如下：为整数）（000)()()()(nnnxTnnynxTny例8、判断y(n)=nx(n)代表的系统是否是时不变系统。故系统是时变系统。即而的输出，则是系统对输入解：设)()()()()()()()()()()(dddddddddddnnynynnxnnnnynnnxnnxnynnxnxny三、LTI系统输入与输出之间的关系单位脉冲响应LTI系统的输出)()(|)()(nnxzsnynh)()()(nhnxny解释：LTI系统系统的级联：系统的并联：四、系统的因果性和稳定性因果性：当且仅当信号激励系统时，才产生响应的系统，也称为不超前响应系统。LTI系统具有因果性的充要条件：判断一个系统是否为因果，有两种方法。定义法和充要条件，后者只对LTI系统有效。0,0)(nnh稳定性：有界输入（指幅度有界），有界输出LTI系统稳定的充分必要条件：系统的单位脉冲响应绝对可和，即nnh|)(|例9、设LTI系统的单位系统脉冲响应h(n)=anu(n)，式中a时，系统不稳定。时，系统稳定；）稳定性（，因此系统是因果的。时，由于）因果性：解：（1||1||1||1||||11|||)(|:20)(010aaaaaanhnhnnnn[例]设某线性时不变系统，其单位抽样响应为)1()(nuanhn式中a是实常数，试分析该系统的因果稳定性。解：(1)讨论因果性由于n0时，h(n)0，故此系统是非因果系统。1,1,111111)(111aaaaaaaanhnnnnnnn(2)讨论稳定性所以时，此系统是稳定系统。1a1.4时域离散系统的输入输出描述法——线性常系数差分方程N阶线性常系数差分方程表示：式中，x(n)和y(n)分别是系统的输入序列和输出序列，ai和bj均为常数.1)()(000ajnxbinyaMjjNiiNkkMmmknyamnxbny10)()()(求解差分方程的基本方法有三种：经典法求齐次解、特解、全解递推法求解时需用初始条件启动计算变换域法将差分方程变换到Z域进行求解线性常系数差分方程的求解经典解法（实际中很少采用）递推解法（方法简单，但只能得到数值解，不易直接得到公式解）变换域法（Z域求解，方法简便有效）递推解法例10、设因果系统用差分方程y(n)=ay(n－1)+x(n)描述，输入x(n)=δ(n)若初始条件y(-1)=0，求输出序列y(n)。及解：由初始条件0)1(y得差分方程)()1()(nxnaxny)()()(,)2()1()2(,2)1()0()1(11)0()1()0(,02nuanyanynnaδayynaδay，ynδayynnn时时时时若初始条件改为y(-1)=1，求y(n))()1()(1)1(nxnaxnyy方程，初始条件)()1()()1()(,)1()2()1()2(,2)1()1()0()1(,11)0()1()0(,02nuaanyaanynnaaδayynaaδayynaδayynnn时时时时例11、设差分方程如下，求输出序列y(n)。0,0)(),()()()1()(nnynδnxnxnayny，))()(()1(1nδnyany解：0,)())1()1(()2(,1))0()0(()1(,00))1()1(()0(,121111nanyaδyaynaδyaynδyaynn时时时非因果系统结论差分方程本身不能确定该系统是因果系统还是非因果系统，还需要用初始条件进行限制。一个线性常系数差分方程描述的系统不一定是线性时不变系统，这和系统的初始状态有关。课堂练习1、以下序列是LTI系统的单位序列响应h(n)，判断系统的因果性和稳定性。)1(3.0)2()4(1nunn）（答案（1）非因果、稳定（2）非因果、不稳定。课堂练习)(*)()()3()(),2(2)1(3)(22121nxnxnxnunuxnnnx，求、已知}2,5,6,4,1{)(nx答案：［例1.3.5］已知x1(n)=δ(n)+3δ(n－1)+2δ(n－2)，x2(n)=u(n)－u(n－3)，试求信号x(n)，它满足x(n)=x1(n)*x2(n),并画出x(n)的波形。解：这是一个简单的计算线性卷积的题目。x(n)=x1(n)*x2(n)=［δ(n)+3δ(n－1)+2δ(n－2)］*［u(n)－u(n－3)=［δ(n)+3δ(n－1)+2δ(n－2)］*R3(n)=R3(n)+3R3(n－1)+2R3(n－2)=δ(n)+4δ(n－1)+6δ(n－2)+5δ(n－3)+2δ(n－4)画出x(n)的波形如图1.3.3所示。图1.3.3课堂练习3、判断题：一个系统是因果系统的充要条件是，单位序列响应h(n)是因果序列。答案：错课堂练习4、将序列x(n)用一组幅度加权和延迟的冲激序列的和来表示。31)()()3()3()2()2()1()1()()0()1()1()(kknkxnxnxnxnxnxnx5、判断下面的序列是否是周期的;若是周期的，确定其周期。是常数AnAnx8π73cos)()81(je)(nnx(1)(2)解：（1）因为ω=π,所以,这是有理数，因此是周期序列，周期T=14（2）因为ω=,所以=16π,这是无理数，因此是非周期序列。7381π2314π2课堂练习6、设线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)和输入x(n)分别有以下几种情况，分别求输出y(n)。（1）h(n)=R4(n),x(n)=R5(n)（2）h(n)=2R4(n),x(n)=δ(n)－δ(n－2)解：（1）{1，2，3，4，4，3，2，1}（2）{2，2，0，0，-2，-2}课堂练习1.5模拟信号数字处理方法采样定理；采样前的模拟信号和采样后得到的采样信号之间的频谱关系；如何由采样信号恢复成原来的模拟信号；实际中如何将时域离散信号恢复成模拟信号。连续时间信号离散时间信号采样内插1.信号经过采样以后，将发生一些什么变化？例如，信号频谱将发生怎样变化；2.经过采样后信号内容会不会有丢失；3.如果信号没有被丢失，其反变换应该怎样进行，即由数字信号恢复成模拟信号应该具备那些条件等。x(t)t0T2Tx[k]k012nTttxnx)()(什么是信号抽样为什么进行信号抽样(1)信号稳定性好:数据用二进制表示，受外界影响小。(4)系统精度高:可通过增加字长提高系统的精度。(5)系统灵活性强:改变系统的系数使系统完成不同功能。(2)信号可靠性高:存储无损耗，传输抗干扰。离散信号与系统的主要优点：(3)信号处理简便:信号压缩，信号编码，信号加密等对模拟信号进行采样可以看做一个模拟信号通过一个电子开关S。实际抽样电子开关合上时间τ→0，则形成理想采样)()()(ˆTaatPtxtx理想抽样nnnTtnTxnTttxtPtxtx)()()()()()()(ˆaaδaannTtδtP)()(δ定义单位冲击函数1)(dtt0,0)(ttt0(t)(1)单位冲击函数有一个重要的性质：采样性若f(t)为连续函数，则有)0()()(fdtttf将上式推广，可得)()()(00tfdttttft0(t-t0)理想采样设对进行傅里叶变换，得到)(FT)j()(ˆFT)j(ˆ)(FT)j(δδaaaatpΩPtxΩXtxΩXkkΩΩTΩP)(π2)j(sδ)(δtp理想采样kkkkΩΩXTkΩΩXTkΩΩXTΩPΩXΩX)jj(1d)()j(1d)()j(π2π21)j()j(π21)j(ˆsasasaδaa采样信号的频谱是原模拟信号频谱以Ωs为周期，进行周期性延拓而成的，且频谱幅度为1/T。信号时域的离散化导致其频域的周期化，则由于)()()(ˆδaatPtxtxCS2CS2讨论：S/2C)(ˆjXaS2S3S0-S(c)-CCS/20(a))(jXa最高截止频率S/2)(ˆjXa0-S2SS(b)CS2称Nyquist采样率2/S称折叠频率CS2CS/2)(ˆjXaS0-SS0~称Nyquist范围采样定理：要想采样后能够不失真地还原出原信号，则采样频率必须大于等于两倍原信号频谱的最高截止频率（s2C）。由上面的分析有，频谱发生混叠的原因有两个：1.采样频率低2.连续信号的频谱没有被限带CS20C2C3C4C可选s=(34)C低通采样采样信号的恢复采样信号的恢复ss21||021||)j(ΩΩΩΩTΩGcsaacsaaaa1aaaa2)()(2)()(g(t)*)(ˆ)j(FT)()j()j(ˆ)(FT)j(ΩΩtxtyΩΩtxtytxΩYtyΩGΩXtyΩY采样信号的恢复低通滤波器G(jΩ）的单位冲激响应g(t)为：TtTtttTΩΩGtgΩΩtt/)/sin(2/)2/sin(de21de)j(21)(ss2/2/jjss称为内插函数采样信号的恢复nnnnTnTtTnTtnTxnTtgnTxtgnTnTxtgnTnTxtgxtgtxty/)(π)/)(πsin()()()(d)()()(d)()()(d)()(ˆ)()(ˆ)(aaaaaaa采样内插公式采样信号的恢复tTnTtTnTt)(])(sin[nT(n+1)T(n+2)T(n+3)T(n-1)T内插函数采样的内插恢复奈奎斯特采样定理对连续信号进行等间隔采样形成采样信号，采样信号的频谱是原连续信号的频谱以采样频率Ωs为周期进行周期性延拓设连续信号xa(t)属带限信号，最高截止频率为Ωc，如果采样角频率Ωs≥2Ωc，那么让采样信号通过一个增益为T、截止频率为Ωs/2的理想低通滤波器，可以唯一地恢复出原连续信号xa(t)。否则,Ωs2Ωc会造成采样信号的频谱混叠现象，不可能无失真地恢复原连续信号。抽样定理的工程应用)j(X10许多实际工程信号不满足带限条件)j(Hmm10抗混低通滤波器)(tx)