数字信号处理chap2-2

2.5序列的Z变换掌握Z变换的正变换和逆变换定义，以及收敛域与序列特性之间的关系。理解主要的Z变换的定理和性质。一、Z变换的定义1、定义双边Z变换单边Z变换()()nnXzxnzdef0()()nnXzxnzdefZ变换的收敛域2、收敛域对任意给定序列x(n)，使其z变换收敛的所有z值的集合称为收敛域。z变换存在的条件是级数绝对可和，即满足不等式的z变量的取值范围就是收敛域。对于双边z变换，其象函数与收敛域共同惟一确定序列。()nnxnz零点与极点3、零点与极点常用的Z变换是一个有理函数，用两个多项式之比表示：零点:分子多项式P(z)的根。极点:分母多项式Q(z)的根。在极点处Z变换不存在，因此收敛域中没有极点，收敛域总是用极点限定其边界。()()()PzXzQzz变换与傅里叶变换的关系4、z变换与傅里叶变换的关系单位圆上的Z变换就是序列的傅里叶变换。思考：Z变换的收敛域不包含单位圆时序列的傅里叶变换存在吗？jje(e)()|zXXzZ变换例5、x(n)=u(n),求其Z变换。解：当|z|1时X(z)存在，因此收敛域为|z|10()()nnnnXzunzz11()||11Xzzz二、序列特性对收敛域的影响1．有限长序列其z变换为：有限长序列的收敛域一般是0|z|∞，有时也包括z=0或z=∞处。12()()0xnnnnxn其它21()()nnnnXzxnz有限长序列n10,n2≤0时，ROC为：n10,n20时，ROC为：n1≥0,n20时，ROC为：0≤|z|∞0|z|∞0|z|≤∞有限长序列例6、求x(n)=RN(n)的Z变换及其收敛域。解：收敛域为：0|z|≤∞1101()()1NNnnNnnzXzRnzzz右边序列2、右边序列*第一项为有限长序列，第二项为z的负幂级数101)()(nnnnnznxznx右边序列101)()(nnnnnznxznx收敛域:z0所以：右边序列的收敛域为：（圆外，但不包括无穷远处）右边序列之因果序列特殊情况还可扩大：因果序列：它是一种最重要的右边序列,收敛域为：（圆外，且包括无穷远处）右边序列之因果序列因果序列是一种最重要的右边序列，收敛域为：|Z|=∞处Z变换收敛是因果序列的特征。在∞处收敛的序列必为因果序列。左边序列（3）左边序列210)()(nnnnnznxznx*第一项为z的正幂级数，第二项为有限长序列2)()(nnnznxzX左边序列210)()(nnnnnznxznx2)()(nnnznxzX收敛域:xRz0所以：左边序列的收敛域为：（圆内，但不包括0）xRz0左边序列反因果序列：收敛域为：（圆内，且包括0）xRz0双边序列（4）双边序列双边序列可看做左边序列和右边序列之和。双边序列收敛域:xRz0所以：双边序列的收敛域为：（环域）序列特性对收敛域的影响收敛域特殊情况收敛域有限长序列右边序列左边序列双边序列z0znzn000021，，xRz0因果序列反因果序列当收敛域不存在序列特性对收敛域的影响例7、求序列的Z变换及收敛域。解：这是无穷等比级数,公比是，在什么情况下收敛？1azq||||,1||1azaz即零点？极点？序列特性对收敛域的影响本例，极点为。az收敛域内不能有极点。或收敛域以极点为边界。因果序列的收敛域一定在模最大的极点所在的圆外。序列特性对收敛域的影响例8、求序列z变换及收敛域。解：反因果序列的收敛域一定在模最小的极点所在的圆内。本例，极点为：bz序列特性对收敛域的影响例9、求序列z变换及收敛域。解：双边序列的收敛域为环状区域,且以极点为边界。本例，极点为：,azbz||a||b三、逆z变换一.z反变换的定义：已知X(z)及其收敛域,反过来求序列x(n)的变换称作z反变换。求z反变换的方法：1、围线积分法（留数法）；2、部分分式展开法；3、长除法。1、留数法根据复变函数理论，若函数X(z)在环状区域内解析，则在此区域可展开成罗朗级数的形式：),(,)(211xxcnnRRcdzzzXjC其中：C为环形解析域内环绕原点的一条逆时针闭合单围线.但直接计算围线积分比较麻烦，一般都用留数定理来求解。对比和z变换的定义),(,)(21)(1xxcnnRRcdzzzXjCnx可知：1、留数法留数定理：若函数在围线c上连续，在c内有K个极点Zk，在c外有M个极点ZM（K,M为有限值），则有：1)()(nzzXzF注意：应用第二式计算时，要求的分母多项式中z的阶次比分子多项式z的阶数高二阶或以上。)(zF1、留数法求留数的方法：1、当Zk为一阶极点时的留数：2、当Zk为m阶(多重)极点时的留数：1、留数法例10、已知X(z)=(1－az－1)－1，|z|a,求其逆Z变换x(n)解n≥0时，F(z)在c内只有1个极点：z1=an0时，F(z)在c内有2个极点：z1=a,z2=0（高阶）；111()1nFzzaznzza111c1()(1)dz2πnxnazzj1、留数法则n≥0时，n0时，围线内有高阶极点，由于F(z)的分母阶次比分子阶次高二阶以上，因而求圆外极点留数。由于围线外无极点，故n0时，x(n)=0所以x(n)=anu(n)()Res[(),]xnFza()nzazzazana1、留数法例11、已知,求其逆变换x(n)1,)1)(1(1)(12aazazazX解：先确定收敛域。X(z)有两个极点：z=a和z=a－1，这样收敛域有三（1）|z||a－1|，对应的x(n)（2）|z||a|，对应的x(n)（3）|a||z||a－1|，对应的x(n)是双边序列。1、留数法（1）收敛域为|z||a－1|:这种情况的原序列是因果序列，无须求n0时的x(n)。当n≥0时，F(z)在c内有两个极点：z=a和z=a－1，因此))(()1()1)(1()1()()(121121azazazaazazzazzXzFnnn1、留数法最后表示成：x(n)=(an－a－n)u(n)1()Res[(),]Res[(),]xnFzaFza12211(1)(1)()()()(1)()()nnzazaazazzazazaazazazannaa1、留数法（2）收敛域为|z||a|:原序列是左序列，无须计算n≥0情况。实际上，当n≥0时，围线积分c内没有极点，因此x(n)=0。n0时，c内只有一个极点z=0，且是n阶极点，改求c外1()Res[(),]Res[(),]xnFzaFza122111(1)(1)()()()()()()nnzazaazazzazaazazaazaza()nnnnaaaa最后将x(n)x(n)=(a－n－an)u(－n－1)1、留数法（3）收敛域为|a||z||a－1|:x(n)是双边序列。根据被积函数F(z)，按n≥0和n0两种情况分别求x(n)n≥0时，c内只有1个极点：z=a,则x(n)=Res［F(z),a］=an]Re[z0]Im[zja1/a收敛域))(()1()(12azazazazFn1、留数法n0时，c内极点有2个，其中z=0是n阶极点，且由于F(z)的分母多项式比分子多项式的最高次数高2阶以上，故改求c外极点留数，c外极点只有z=a－1，因此x(n)=－Res［F(z),a－1］=a－n最后将x(n)表示为x(n)=a|n|0()0nnanxnan1、留数法2、部分分式展开法通常，X(z)可表示成有理分式形式：如果能将X(z)展开成几个简单的分式的和的形式，而简单形式的z反变换可通过查表2.5.1直接求得。)(...)()()]([...)]([)]([)]([)(21121111nxnxnxzXzzXzzXzzXznxKK观察上式，X(z)/z在z=0的极点留数就是系数A0，在极点z=zm的留数就是系数Am。求出Am系数后，查表可得x(n)序列。01()NmmmAzXzAzz01()NmmmAAXzzzzz0()Res,0XzAz()Res,mmXzAzz2、部分分式展开法)(2)5.0)(2()(122nxzzzzzX求，已知、例解：3/1,3/421AA由留数法求系数得因为X(z)的收敛域为，为因果序列，从而求得2z5.02)5.0)(2()(21zAzAzzzzzX解：将X(z)变为X(z)/z的形式并化为部分分式)()5.0(31)()2(34)(nununxnn115.013/1213/4)(zzzX2、部分分式展开法课堂练习1、的Z变换为____，收敛域为______。)()(nuanyn1/(1-az-1)，∣z∣∣a∣课堂练习2、的Z变换为____，收敛域为______。1/(1-az-1)，∣z∣∣a∣)1()(nuanyn3、判断题序列z变换的收敛域内可以含有极点。()错课堂练习4、已知求z反变换。解:所以当n0时，x(n)=0。只需考虑n≥0时的情况。课堂练习如图所示，取收敛域的一个围线c，可知当n≥0时,C内有两个一阶极点，所以课堂练习5、已知，求z反变换。课堂练习如图所示，取收敛域的一个围线c，分两种情况讨论：（1）n≥－1时，C内只有一个一阶极点课堂练习课堂练习（2）当n-1时，C内有极点：z=1/4(一阶),z=0（高阶）；而在C外仅有z=4(一阶)这个极点，且F(z)的分母多项式比分子多项式的最高次数高2阶以上，课堂练习四、Z变换的性质和定理如果则有：*即满足均匀性与叠加性；*收敛域为两者重叠部分。1.线性yyxxRzRzYnyZRzRzXnxZ,)()]([,)()]([),min(),max(),()()]()([yxyxRRzRRzbYzaXnbynaxZ2.序列的移位xxnxxRzRzXznnxZRzRzXnxZ;)()]([,)()]([00则设四、Z变换的性质和定理3、时域卷积定理],min[],max[)()()(,)]([)(,)]([)()()()(yxyxyyxxRRzRRzYzXzWRzRnyZzYRzRnxZzXnynxnw收敛域为则有：，，而且如果四、Z变换的性质和定理2.6利用Z变换分析信号和系统的频响特性一、系统函数在线性时不变系统中，h(n)表示系统的单位冲激响应，它反映了系统的特性。H(z)称作线性时不变系统的系统函数。)(/)()(zXzYzH)()()(zHzXzY系统函数在单位圆上的系统函数就是系统的频率响应。nnznhnhZzH)()]([)(令，得h(n)的傅立叶变换（系统的频率响应）。二、因果稳定系统（从z变换收敛域判断）回顾因果稳定的线性时不变系统的充要条件是？因果：h(n)是因果序列。稳定：h(n)绝对可和。故，线性时不变系统因果稳定的充要条件是：h(n)是因果序列且绝对可和，即：因果序列的收敛域是h(n)序列绝对可和，即h(n)的傅里叶变换存在，则其z变换收敛域必须包括。单位圆因果稳定系统（从z变换收敛域判断）所以：一个因果稳定系统的系统函数H(z)的收敛域必须在从单位圆到∞的整个z域内收敛。或：系统函数的全部极点都必须在单位圆内。思考：判断系统因果稳定的方法有