数字信号处理chap2-1

引言时域分析频域分析复频域分析连续信号信号：连续变量时间的函数系统：微分方程傅里叶变换拉普拉斯变换离散信号信号：离散信号（序列）系统：差分方程傅里叶变换Z变换一、时域离散信号傅里叶变换的定义正变换：序列x(n)的傅里叶变换（离散时间傅里叶变换DTFT）定义为：序列的傅里叶变换存在的充分条件是序列x(n)满足绝对可和的条件，即nnnxnxXjje)()]([FT)e(|()|nxn一、时域离散信号傅里叶变换的定义反变换X(ejω)的傅里叶反变换为：性质：傅里叶变换的周期性、线性性质时移与频移性质、对称性时域卷积定理、频域卷积定理帕斯维尔定理de)e(π21)]e([IFT)(jππjjnXXnx例1、设x(n)=RN(n)，求x(n)的傅里叶变换。当N=4时，其幅度与相位随频率ω的变化曲线如图所示：)2/sin()2/sin(e)ee(e)ee(ee1e1ee)()e(2/)1(j2/j2/j2/j2/j2/j2/jjj10jjjNnRXNNNNNnNnnnN解：1、傅里叶变换的周期性傅里叶分析规律：则离散非周期序列的傅里叶变换是：连续周期的。离散连续周期性非周期性1、傅里叶变换的周期性是整数，M)e(e)(e)()e()π2j()π2j(-j-jMnnMnnXnxnxX傅里叶变换是频率ω的周期函数，周期是2π。说明：由于傅里叶变换的周期是2π，一般只分析－π~＋π或0~2π的范围。1、傅里叶变换的周期性）函数。的连续、周期（周期它们都是表示相位谱，表示幅度谱，的复函数。它是的频谱密度（频谱），是序列2)]e(arg[)e()()e()e()e(jjj)]e(arg[jjjXXnxXeXXXj2、线性性质是常数。其中则，若，babXaXnbxnaxnxXnxX,)e()e()]()([FT)]([FT)e(,)]([FT)e(j2j1212j21j13、时移与频移性质，则若)]([FT)e(jnxX时移性质：00jj()FT[e()](e)nxnX频移性质：4、傅里叶变换的对称性（1）共轭对称的定义设序列xe(n)满足：则称xe(n)为共轭对称序列。*ee()()xnxn4、傅里叶变换的对称性)](Im[)](Im[)](Re[)](Re[212)](Im[)](Re[)()](Im[)](Re[)(1)](Im[)](Re[)(eeeeeeeeeeeeenxnxnxnxnxjnxnxnxjnxnxnxjnxnx）得：）（由式（）式（则）式（结论：共轭对称序列的实部是偶对称的，虚部是奇对称的。4、傅里叶变换的对称性（2）共轭反对称定义设序列xo(n)满足：则称xo(n)为共轭反对称序列。*oo()()xnxn4、傅里叶变换的对称性)](Im[)](Im[)](Re[)](Re[212)](Im[)](Re[)(1)](Im[)](Re[)(oooooooooonxnxnxnxnxjnxnxnxjnxnx）得：）（由式（）式（则）式（结论：共轭反对称序列的实部是奇对称的，虚部是偶对称的。（3）一般序列可用共轭对称与共轭反对称序列之和表示，即又则eo()()()xnxnxn)]()([21)()]()([21)(oenxnxnxnxnxnx4、傅里叶变换的对称性同理)]()([21)()]()([21)(oejwjwjwjwjwjweXeXeXeXeXeX4、傅里叶变换的对称性（4）傅里叶变换的对称性质将上式进行傅里叶变换，得到:)](Im[)](Re[)(nxjnxnx由)()]}(Im[{FT)()]}({Re[FTjwojweeXnxjeXnx即存在对称性)()()(jwojwejweXeXeX4、傅里叶变换的对称性结论：序列分成实部与虚部两部分，实部对应的傅里叶变换具有共轭对称性；虚部和j一起对应的傅里叶变换具有共轭反对称性。4、傅里叶变换的对称性将序列分成共轭对称部分xe(n)和共轭反对称部分xo(n)，即x(n)=xe(n)+xo(n)则)](Im[)}({FT)](Re[)}({FTjwojweeXjnxeXnx4、傅里叶变换的对称性结论：序列x(n)的共轭对称部分xe(n)对应着X(ejω)的实部Re[X(ejω)]；序列x(n)的共轭反对称部分xo(n)对应着X(ejω)的虚部乘j，即jIm[X(ejω)]。4、傅里叶变换的对称性5、时域卷积定理若y(n)=x(n)*h(n),则)e()e()e(jjjHXY6、频域卷积定理若y(n)=x(n)h(n),则)e()e(π21)e(jjjXHY7、帕斯维尔定理定理表明：时域的总能量等于频域的总能量。dweXnxjwn22(21)(）2.3周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换表示式掌握周期序列的离散傅里叶级数掌握周期序列的傅里叶变换一、周期序列的离散傅里叶级数e)(~)](~[DFS)(~10π2jNnknNnxnxkXe)(~1)](~[IDFS)(~1-N0π2jkknNkXNkXnx设是以N为周期的周期序列，其离散傅里叶级数的系数是则()xn)(~kX例2、设x(n)=R4(n)，将x(n)以N=8为周期进行周期延拓，得到周期序列，周期为8，求DFS［］()xn()xn一、周期序列的离散傅里叶级数一、周期序列的离散傅里叶级数)8/sin()2/sin(e)ee(e)ee(ee1e1e)()(83j8j8j8j2j2j2j4jj7082j~~kknxkXkkkkkkkkknkn解：幅度特性()Xk一、周期序列的离散傅里叶级数各种傅里叶变换的定义及特点类别时域特点频域特点公式连续傅里叶级数连续周期离散非周期连续时间傅里叶变换连续非周期连续非周期)(T1FF(t)00nnTtjnntjndtetfef)(21)()()(dejFtfdtetfjFtjtj各种傅里叶变换的定义及特点类别时域特点频域特点公式离散傅里叶级数离散周期离散周期离散时间傅里叶变换离散非周期连续周期e)(~)(~10π2jNnknNnxkXe)(~1)(~1-N0π2jkknNkXNnxnnnxXjje)()e(de)e(π21)(jππjnXnx二、周期序列的傅里叶变换因为周期序列不满足绝对可和的条件，因此它的FT并不存在，但由于是周期性的，可以展成离散傅里叶级数，引入奇异函数δ(W)，其FT可以用公式表示出来。（知识回顾）连续信号的傅里叶变换对离散信号中存在傅里叶变换对)-(2e)210j0t（rnnrjnjrree)2-(2e,0j)2(000取整数周期序列的傅里叶变换rnr)2-(2e0j0周期序列的傅里叶变换rnr)2-(2e0j0因而得证：nnnrnrXnx0jjππ0jππ0jππjede)-(2π21de])2-(2[π21de)e(π21)(knNkknNkXNkXNnxπ2j1-N0π2je)(~1ke)(~1)(~个谐波分量为第由rknNrkNkXNkXNFT)2π2-()(~2]e)(~1[π2j则，二、周期序列的傅里叶变换rknNrkNkXNkXNFT)2π2-()(~2]e)(~1[π2j则，的傅里叶变换为因此)(~nx]e)(~1[)](~[)(1-N0π2jkknNjkXNFTnxFTeX10)2π2-()(~2NkrrkNkXNkkNkXN)π2-()(~2二、周期序列的傅里叶变换e)(~)(~10π2jNnknNnxkX其中kjkNkXNeX)π2-()(~2)(二、周期序列的傅里叶变换二、周期序列的傅里叶变换例3、设x(n)=R4(n)，将x(n)以N=8为周期进行周期延拓，得到周期序列，周期为8，求FT［］()xn()xn解：已知得：其幅度频谱为：对比例2二、周期序列的傅里叶变换)](~[FT2),cos()(~400nxwnwnx为有理数，求且、令例rnjwrnjwrere)2(2]FT[)2-(2]FT[0000][21)cos()(~000njwnjweenwnx解：)]2()2-([(n)]~FT[00rrxr二、周期序列的傅里叶变换课堂练习)()(π||,0||,1)e(100jnxeXXjw的傅里叶反变换求、已知nnnxnπsindeπ21)(0j00解：2、序列的傅里叶变换为______________。)2()(nnx2je3．设系统的单位脉冲响应h(n)=anu(n),0a1，输入序列为x(n)=δ(n)+2δ(n－2)完成下面各题：(1)求出系统输出序列y(n)；(2)分别求出x(n)、h(n)和y(n)的傅里叶变换。)2(2)()]2(δ)([)()()()(12nuanuannnuanxnhnynnn）解：（(2)2jjje21e)]2(δ2)(δ[)e(nnnnXj0jjje11ee)()e(aanuaHnnnnnnj2jjjje1e21)e()e()e(aXHY4、设系统的单位抽样响应为h(n)，则系统因果的充要条件为（）A．当n0时，h(n)=0B．当n0时，h(n)≠0C．当n0时，h(n)=0D．当n0时，h(n)≠0C5、下列关系正确的为（）D)()(.B0knunk)()(.A0knuk)()(.Dknunk)()(.knuCk6、判断正误时域离散信号傅里叶变换存在的充分条件是序列绝对可和。（）对7、判断正误序列的傅里叶变换是频率ω非周期函数。（）错。序列的傅里叶变换是频率ω的周期函数，周期是2π。2.4时域离散信号的傅里叶变换与模拟信号傅里叶变换之间的关系)()()(nTxtxnxanTta由采样定理得：)()()(ˆaanTtnTxtxnnnTjtjntjntjaaenTxdtenTtnTxdtenTtnTxdtetxX)()()()()()(ˆ)j(ˆaaa傅里叶变换得：)()()j(ˆ)()(,jwnjwnaaeXenxXnTxnxTw则且令时域离散信号的傅里叶变换与模拟信号傅里叶变换之间的关系kaakXTX)jj(1)j(ˆs又有kawkXTeX)jj(1)(sj进行延拓而成。以周期是模拟信号频谱频谱结论：时域离散信号的sj)j()(awXeX