数字信号处理chap3-1

DFT要解决两个问题：一是频谱的离散化；二是算法的快速计算(FFT)。这两个问题都是为了使计算机能够实时处理信号。引言时域周期化→频域离散化时域离散化→频域周期化离散连续周期性非周期性引言序列的傅里叶变换离散时间、连续频率的傅立叶变换（序列的傅立叶变换）x(n)-1012tnjwnjwenxeX)()(:正dweeXnxjwnjw)()(:21反时域离散、非周期频域连续、周期连续：不适合计算机处理由DTFT到DFT离散时间、离散频率的傅立叶变换（DFT）由上述分析可知，对DTFT，要想在频域上离散化，那么在时域上必须作周期延拓。对长度为M的有限长序列x(n)，以N为周期延拓（N≥M）。注意：离散傅里叶变换（DFT）只对有限长序列作周期延拓或周期序列成立。…………3.1离散傅里叶变换的定义及物理意义一、DFT的定义设x(n)是一个长度为M的有限长序列，则定义x(n)的N点离散傅里叶变换为10102)()()]([)(NnknNNnknNjNWnxenxnxDFTkX正变换：1011021)()()]([)(NkknNNNkknNjNNWkXekXkXIDFTnx反变换：MNeWNjN，且其中2旋转因子的性质为整数）周期性：（iWWiNnNnN1*)()2(nNnNWW共轭对称性：iNmniNmnWNWWNNkkmnNNkmkNnkN011*)(1310)(10）正交性：（nNiniNWW）可约性：（4质：旋转因子，具有以下性其中NjNeW2例1、已知，分别求8和16点DFT)()(4nRnx解：30708241082)()()(8N1nknjnknjnkNNneenRWnxkX时）（70)8/sin()2/sin(118382824kkkeeekjkjkj30150162410162)()()(16N2nknjnknjnkNNneenRWnxkX时）（150)16/sin()4/sin(111631621624kkkeeekjkjkj频率采样点数不同，DFT的长度不同，DFT的结果也不同。1、求模（余数）运算如果整数则称n1是n对N的模（余数），记作：或n模N等于n1为整数mNnmNnn,10,111nnN925,9,25)1(:Nn例94,9,4)2(Nn75二、DFT的隐含周期性2、有限长序列x(n)和周期序列的关系)(~nx周期序列是有限长序列x(n)的周期延拓。)(~nxNnx)()(~)(nRnxnxN有限长序列x(n)是周期序列的主值序列。)(~nxmmNnxnx)()(~其它010)(~)(Nnnxnx或二、DFT的隐含周期性如：nN-1x(n)0)(~nx......n0N-1定义从n=0到（N-1）的第一个周期为主值序列或区间。二、DFT的隐含周期性)()(~)()(~kRkXkXkXkXNN周期序列是有限长序列X(k)的周期延拓。)(~kX有限长序列X(k)是周期序列的主值序列。)(~kX3、频域周期序列与有限长序列X(k)的关系)(~kX二、DFT的隐含周期性这里的周期延拓仅看作数学处理方法，或者说借助时域周期延拓实现有限长序列频谱的离散化。在DFT中，有限长序列都是作为周期序列的一个周期来表示的，总是隐含周期性。二、DFT的隐含周期性若x(n)是一个有限长序列，长度为N10)()(NnnznxzXZ变换：)]([)()(10nxDFTWnxzXNnnkNWzkN即kNjkNezWzzXzXkX2)()()(三、DFT与序列傅里叶变换、Z变换的关系10102)()()(DFTNnknNNnknNjWnxenxkX：比较Z变换与DFT，我们看到，当时kNwzDFT与Z变换的关系所以X(k)也就是对X(z)在Z平面单位圆上N点等间隔采样值。kNjez2DFT与序列傅里叶变换的关系kNjeXkX2)()(10)()(DTFTNnjwnjwenxeX：10102)()()(DFTNnknNNnknNjWnxenxkX：若x(n)是一个有限长序列，长度为NkN2X(k)也可以看作序列x(n)的傅里叶变换X(ejω)在区间［0,2π］上的N点等间隔采样，其采样间隔为ωN=2π/NDFT与序列傅里叶变换的关系3.2DFT的基本性质一、线性1、如果两序列都是N点的有限长序列时，且有则有：)()(DFT)()(DFT2211kXnxkXnx)()()()(DFT2121kbXkaXnbxnax2.和的长度N1和N2不等时，怎办？)(1nx)(2nx选择为变换长度,短者进行补零达到N点。21,maxNNN二、循环移位性质1、序列的循环移位（圆周移位）定义：一个有限长序列的圆周移位定义为nRmnxnyNN)(Nnxnxnx)(~)()1(作周期延拓先将Nmnxmnx)(~)2(延拓后再进行移位nRmnxnyNN)(3）最后取主值序列（)(nxn)(nx0N-1nNnxnx))(()(~0周期延拓N-1循环移位循环移位2、循环移位的含义（1）主值区间:n=0～N-1；（3）如果把x(n)首尾排列(n=0~N-1)在一个N等分的圆周上，序列的移位就相当于x(n)在圆上旋转，故又称作圆周移位。当围着圆周观察几圈时，看到的就是周期序列)(~nx（2）当某序列值从此区间一端移出时，与它相同的序列值又从此区间的另一端移进来;循环移位时域圆周移位的性质3、时域圆周移位的性质nRmnxnxNnnxNNm)(,10),(若设有限长序列为)()]([DFT)(kXWnxkXkmNmm则有。对信号的幅度没有影响移位只引入一个相移即：有限长序列的圆周,2mkNjmkNeW频域圆周移位的性质4、频域圆周移位的性质（调制特性）或：时域序列的调制等效于频域的圆周移位。)()]())(([IDFTnxWkRlkXnlNNN)(]))(())(([212cos)(DFTkRlkXlkXNnlnxNNN)(]))(())(([212sin)(DFTkRlkXlkXjNnlnxNNN1、两个有限长序列的循环卷积设序列h(n)和x(n)的长度分别为N和M。h(n)与x(n)的L点循环卷积定义为其中L为循环卷积区间长度，L≥max(N，M)表示方法:或10)(]))(()([)()()(LmLLcnRmnxmhnxLnhny三、循环卷积定理L*2、循环卷积的计算方法——矩阵相乘x(n)序列:{x(0),x(1),x(2)…,x(L－1)}x(n)的循环倒相序列：令n=0,m=0,1,…,L-1，x((n-m))L形成的序列为((0)),((1)),((2)),,((1))(0),(1),(2),,(1)LLLLxxxxLxxLxLx循环卷积的计算方法令n=1,m=0,1,…,L-1，x((n-m))L形成的序列为该序列相当于x(n)的循环倒相序列向右循环移1位。再令n=2,m=0,1,…,L－1，此时得到的序列又是上面的序列向右循环移1位。依次类推，当n和m均从0变化到L-1时，得到一个关于x((n－m))L的矩阵如下：((1)),((0)),((1)),,((2))(1),(0),(1),,(2)LLLLxxxxLxxxLx循环卷积的计算方法循环卷积矩阵：循环卷积的计算方法cccc(0)(0)(1)(2)(1)(0)(1)(1)(0)(1)(2)(1)(2)(2)(1)(0)(3)(2)(1)(1)(2)(3)(0)(1)yxxLxLxhyxxxLxhyxxxxhyLxLxLxLxhL＝说明：1、如果x(n)或h(n)的长度小于L，则需要在序列末尾补0，使序列长度为L。2、循环卷积满足交换律)()()(nhLnxnyc循环卷积的计算方法例2、计算下面给出的两个长度为4的序列h(n)与x(n)的4点和8点循环卷积。()(0),(1),(2),(3)1,2,3,4()(0),(1),(2),(3)1,1,1,1hnhhhhxnxxxx解:h(n)与x(n)的4点循环卷积矩阵形式为cccc(0)1432110(1)2143110(2)3214110(3)4321110yyyy循环卷积的计算方法cccccccc(0)1110000432(1)1321000043(2)1632100004(3)110432100000904321000(4)0043210007(5)00043210(6)0400004321(7)0yyyyyyyy0h(n)与x(n)的8点循环卷积矩阵形式为循环卷积的计算方法三、循环卷积定理2、时域循环卷积定理设和为长度分别为N1和N2的有限长序列，N≥max（N1,N2）且，则)(1nx)()(DFT11kXnx)()(DFT22kXnx)(2nxNkXkXnxnxDFTN2121)]()([3、频域循环卷积定理设和均为长度分别为N1和N2的有限长序列，N≥max（N1,N2）且，则)(1nx)()(DFT11kXnx)()(DFT22kXnx)(2nx三、循环卷积定理kXkXNnxnxDFTN21211)]()([N例3、一个有限长序列为)5(2)()(nnnx（1）计算序列x(n)的10点离散傅里叶变换。（2）若序列y(n)的DFT为)()(1022kXekYkj式中，X(k)是x(n)的10点离散傅里叶变换，求序列y(n)。（3）若10点序列y(n)的10点离散傅里叶变换是)()()(kWkXkY式中,X(k)是序列x(n)的10点DFT，W(k)是序列w(n)的10点DFT其他0601)(nnw求序列y(n)综合例题kkjknkNnnnkNeWWnnWnxkX)1(212121)]5(2)([)()(1510251010101100）解：（（2）X(k)乘以WNkm相当于是x(n)循环移位m点。本题中m=-2,x(n)向左循环移位了2点，则y(n)=x((n+2))10R10(n)=2δ(n-3)+δ(n-8)（3）X(k)乘以W(k)相当于x(n)与w(n)的循环卷积。结果为｛3,3,1,1,1,3,3,2,2,2｝综合例题四、复共轭序列的DFT)()]([DFT)()]([DFT)()]([DFT)()(*****kXnNxkNXnxkXnxNnxnxNNN，则若，长度为的复共轭序列为设11*()**()001**0()[()]()()DFT[()]NNNknNknNNnnNknNNnXNkxnWxnWxnWxn证明：五、DFT的共轭对称性序列的傅里叶变换的共轭对称性，其对称性是关于坐标原点的对称性。共轭对称：