质心计算

质心计算:由力学可知，位于平面上点（xi,yi）处的质量为mi（i=1,2,3,…）的几个质点所构成的质点系的质心坐标（xc,yc）的计算公式为：𝑥𝑐=𝑀𝑦𝑚，𝑦𝑐=𝑀𝑥𝑚其中:𝑚=∑𝑚𝑖𝑛𝑖=1质点系中全部质点的质量之和𝑀𝑦=∑𝑚𝑖∙𝑥𝑖𝑛𝑖=1质点系各质点中关于y轴的静力矩mixi之和𝑀𝑥=∑𝑚𝑖∙𝑦𝑖𝑛𝑖=1质点系各质点中关于x轴的静力矩miyi之和由此可见，质点系mi(i=1,2,3,…)的质心坐标（xc,yc）满足：质量为𝑚=∑𝑚𝑖𝑛𝑖=1，坐标为（xc,yc）的质点M，关于y轴和x轴的静力矩分别与质点系关于y轴和x轴的静力矩相等。利用如上所述的质点系和质心的概念和关系，用定积分微元法讨论均匀薄片的质心。例：设均匀薄片由曲线y=f(x)(f(x)≥0)，直线x=a,x=b及x轴所围成，其面密度μ为常数，求其质心坐标（xc,yc）abxx+dxy=f(x)为研究该薄片的质心，首先要将该薄片分成若干个小部分，每一部分近似看成一个质点，于是该薄片就可以近似看成质点系，具体做法如下：将[a,b]区间分成若干个小区间代表小区间[x,x+dx]所对应的窄的长条薄片的质量微元：d𝑚=𝜇𝑦d𝑥=𝜇𝑓(𝑥)d𝑥由于dx很小，这个窄条的质量可近似看作均匀分布在窄条左面一边上，由于质量是均匀的故该条窄带的质心位于点（x,f(x)/2）处，所以相当的这条窄带关于x轴以及y轴的静力矩微元dMx于dMy分别为：dM𝑥=12∙𝑓(𝑥)∙𝜇∙𝑓(𝑥)d𝑥dM𝑦=𝑥∙𝜇∙𝑓(𝑥)d𝑥把它们分别在[a,b]上作定积分，便得到静力矩M𝑥=𝜇2∫𝑓2(𝑥)d𝑥𝑏𝑎M𝑥=𝜇∫𝑥𝑓(𝑥)d𝑥𝑏𝑎又因为均匀薄片的总质量为：m=∫𝑑𝑚𝑏𝑎=∫𝜇𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏𝑎所以该薄片的质心坐标为：𝑥𝑐=𝑀𝑦𝑚=∫𝑥𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏𝑎∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏𝑎𝑦𝑐=𝑀𝑦𝑚=12∫𝑓2(𝑥)𝑑𝑥𝑏𝑎∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏𝑎