高一数学解三角形知识点总结及习题练习

相信自己，你行的！自己决定自己的未来解三角形一、基础知识梳理1奎屯王新敞新疆正弦定理：Aasin=Bbsin=Ccsin=2R（R为△ABC外接圆半径），了解正弦定理以下变形：CBAcbaCcBbAaCBAcbaRcCRbBRaACRcBRbARasinsinsinsinsinsinsin:sin:sin::2sin,2sin,2sinsin2,sin2,sin2最常用三角形面积公式：AbcBacCabahSaABCsin21sin21sin21212奎屯王新敞新疆正弦定理可解决两类问题：1．两角和任意一边，求其它两边和一角；（唯一解）2．两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角奎屯王新敞新疆（解可能不唯一）了解：已知a,b和A,用正弦定理求B时的各种情况:3．余弦定理：Abccbacos2222bcacbA2cos222Bacacbcos2222cabacB2cos222Cabbaccos2222abcbaC2cos2224．余弦定理可以解决的问题：（1）已知三边，求三个角；（解唯一）（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角奎屯王新敞新疆（解唯一）：（3）两边和其中一边对角，求另一边，进而可求其它的边和角奎屯王新敞新疆（解可能不唯一）相信自己，你行的！自己决定自己的未来2[课前热身]1．(教材习题改编)已知△ABC中，a＝2，b＝3，B＝60°，那么角A等于()A．135°B．90°C．45°D．30°2．在△ABC中，222abcbc，则A等于()A．60°B．45°C．120°D．30°3．在△ABC中，若A＝120°，AB＝5，BC＝7，则△ABC的面积是()A.334B.1532C.1534D.15384．(2010年高考广东卷)已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a＝1，b＝3，A＋C＝2B，则sinA＝________.5．5．在△ABC中，如果A＝60°，c＝2，a＝6，则△ABC的形状是________．3[考点突破]考点一正弦定理的应用利用正弦定理可解决以下两类三角形：一是已知两角和一角的对边，求其他边角；二是已知两边和一边的对角，求其他边角．例1、(1)(2010年高考山东卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝2，b＝2，sinB＋cosB＝2，则角A的大小为________．(2)满足A＝45°，a＝2，c＝6的△ABC的个数为________．考点二余弦定理的应用利用余弦定理可解两类三角形：一是已知两边和它们的夹角，求其他边角；二是已知三边求其他边角．由于这两种情况下的三角形是惟一确定的，所以其解也是惟一的．例2、在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c＝2，C＝π3.(1)若△ABC的面积等于3，求a，b的值；(2)若sinB＝2sinA，求△ABC的面积．考点三三角形形状的判定判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别．相信自己，你行的！自己决定自己的未来例3、(2010年高考辽宁卷)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC.(1)求A的大小；(2)若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状．互动探究1若本例条件变为：sinC＝2sin(B＋C)cosB，试判断三角形的形状．．方法感悟:方法技巧解三角形常见题型及求解方法(1)已知两角A、B与一边a，由A＋B＋C＝180°及asinA＝bsinB＝csinC，可求出角C，再求出b，c.(2)已知两边b，c与其夹角A，由a2＝b2＋c2－2bccosA,求出a，再由正弦定理，求出角B，C.(3)已知三边a、b、c，由余弦定理可求出角A、B、C.(4)已知两边a、b及其中一边的对角A，由正弦定理asinA＝bsinB求出另一边b的对角B，由C＝π－(A＋B)，求出C，再由asinA＝csinC，求出c，而通过asinA＝bsinB求B时，可能出现一解，两解或无解的情况，其判断方法如下表：失误防范1．用正弦定理解三角形时，要注意解题的完整性，谨防丢解．2．要熟记一些常见结论，如三内角成等差数列，则必有一角为60°；若三内角的正弦值成等差数列，则三边也成等差数列；三角形的内角和定理与诱导公式结合产生的结论﬚sinA＝sin(B＋C)，cosA＝－cos(B＋C)，sinA2יִcosB＋C2，sin2A＝－sin2(＋C)，cos2A＝cos2(B＋C)相信自己，你行的！自己决定自己的未来等．3．对三角形中的不等式，要注意利用正弦余弦的有界性进行适当“放缩”．五、规范解答(本题满分12分)(2010年高考大纲全国卷Ⅱ)在△ABC中，D为边BC上的一点，BD＝33，sinB＝513，cos∠ADC＝35，求AD的长．【解】由cos∠ADC＝350知∠Bπ2，由已知得cosB＝1213，sin∠ADC＝45，4分从而sin∠BAD＝sin(∠ADC－∠B)＝sin∠ADCcosB－cos∠ADCsinB＝45×1213－35×513＝3365.9分由正弦定理得ADsinB＝BDsin∠BAD，所以AD＝BD·sinBsin∠BAD＝33×5133365＝25.12分【名师点评】本题主要考查正弦定理、三角恒等变换在解三角形中的应用，同时，对逻辑推理能力及运算求解能力进行了考查．本题从所处位置及解答过程来看，难度在中档以下，只要能分析清各量的关系，此题一般不失分．出错的原因主要是计算问题．名师预测1．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cosB＝()A．－223B.223C．－63D.632．已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且S△ABC＝a2＋b2－c24，那么角C＝________.3．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足(2b－c)·cosA－acosC＝0.(1)求角A的大小；(2)若a＝3，S△ABC＝334，试判断△ABC的形状，并说明理由．解：(1)法一：∵(2b－c)cosA－acosC＝0，由正弦定理得，(2sinB－sinC)cosA－sinAcosC＝0，∴2sinBcosA－sin(A＋C)＝0，即sinB(2cosA－1)＝0.∵0Bπ，∴sinB≠0，∴cosA＝12.相信自己，你行的！自己决定自己的未来∵0Aπ，∴A＝π3.法二：∵(2b－c)cosA－acosC＝0，由余弦定理得，(2b－c)·b2＋c2－a22bc－a·a2＋b2－c22ab＝0，整理得b2＋c2－a2＝bc，∴cosA＝b2＋c2－a22bc＝12.∵0Aπ，∴A＝π3.(2)∵S△ABC＝12bcsinA＝334，即bcsinπ3＝332，∴bc＝3，①∵a2＝b2＋c2－2bccosA，∴b2＋c2＝6，②由①②得b＝c＝3，∴△ABC为等边三角形．课后作业1在△ABC中，角,AB均为锐角，且,sincosBA则△ABC的形状是（）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形2边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（）A.090B.0120C.0135D.01503在Rt△ABC中，090C，则BAsinsin的最大值是_______________.4在△ABC中，若Acbcba则,222_________.5已知△ABC的三个内角分别为A，B，C，向量)0,2()cos1,(sinnBBm与向量夹角的余弦角为.21（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）求CAsinsin的取值范围.相信自己，你行的！自己决定自己的未来6△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c.（Ⅰ）若bcacb21222，求cosA的值；（Ⅱ）若A∈[2，23]，求ACB2cos2sin2的取值范围.7在△ABC中，求证：)coscos(aAbBcabba8在锐角△ABC中，求证：CBACBAcoscoscossinsinsin.