解直角三角形应用举例-课件(共3课时-85张PPT)

人教版数学九年级下册28.2解直角三角形及其应用28.2.2应用举例第一课时第二课时第三课时第一课时28.2解直角三角形及其应用/解直角三角形的简单应用返回素养目标28.2解直角三角形及其应用/3.体会数学在解决实际问题中的应用，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．2.能从实际问题中构造直角三角形，会把实际问题转化为解直角三角形的问题，并能灵活选择三角函数解决问题.1.巩固解直角三角形相关知识.探究新知28.2解直角三角形及其应用/知识点1利用解直角三角形解答简单的问题A（1）三边之间的关系（2）两锐角之间的关系（3）边角之间的关系cbA的对边B的对边basinAasinBCB斜边c斜边cA的邻边bB的邻边acosAcosB斜边c斜边cB的对边bA的对边atanBB的邻边atanAA的邻边b探究新知28.2解直角三角形及其应用/建立直角三角形模型解答简单的问题素养考点1例12012年6月18日，“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接.“神舟”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面343km的圆形轨道上运行.如图，当组合体运行到地球表面P点的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？最远点与P点的距离是多少（地球半径约为6400km，π取3.142，结FQ是☉O的切线，∠FQO为直角.果取整数）？FPQ最远点求PQ的长，要先O求∠POQ的度数探究新知28.2解直角三角形及其应用/解：设∠FOQ=α，FQ是⊙O切线，△FOQ是直角三角形．FP∴18.36.∴PQ的长为18.36640018.363.1426400QO2051(km).180180当组合体在P点正上方时，从中观测地球表面时的最远点距离P点约2051km.探究新知28.2解直角三角形及其应用/【讨论】从前面的例题解答中，你能体会到解直角三角形的应用前提条件是什么吗？如何进行？【方法点拨】一般情况下，直角三角形是求解或运用三角函数值的前提条件，故当题目中提供的并非直角三角形时，需添加辅助线构造直角三角形，然后运用三角函数解决问题．探究新小结知28.2解直角三角形及其应用/归纳总结注：数学问题的解符合实际意义才可以成为实际问题的解.解直角三角形的应用：(1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，转化为解直角三角形的问题)；(2)根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等知识去解直角三角形；(3)得到数学问题答案；(4)得到实际问题答案。巩固练习28.2解直角三角形及其应用/1.如图，某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60°，否则就有危险，那么梯子的长至少为多少米？解：如图所示，依题意可知∠B=60°AC，sinBAAB4AC483AB4.62.sinBsin6033BC2答：梯子的长至少4.62米.探究新知28.2解直角三角形及其应用/建立直角三角形模型解答生活问题素养考点2例2如图，秋千链子的长度为3m，静止时的秋千踏板（大小忽略不计）距地面0.5m．秋千向两边摆动时，若最大摆角（摆角指秋千链子与铅垂线的夹角）约为60°，则秋千踏板与地面的最大距离为多少？3m60°0.5m探究新知28.2解直角三角形及其应用/A60°BCD，E3m0.5m分析：根据题意，可知秋千踏板与地面的最大距离为CE的长度.因此，本题可抽象为：已知DE=0.5m，AD=AB=3m∠DAB=60°，△ACB为直角三角形，求CE的长度.探究新知28.2解直角三角形及其应用/A解：∵∠CAB=60°，AD=AB=3m，∴AC=ABcos∠CAB=1.5m，∴CD=AD－AC=1.5m，∴CE=AD+DE=2.0m.即秋千踏板与地面的最大距离为2.0m.60°BCDE3mAFE巩固练习28.2解直角三角形及其应用/2.(1)小华去实验楼做实验,两幢实验楼的高度AB=CD=20m，两楼间的距离BC=15m，已知太阳光与水平线的夹角为30°，求南楼的影子在北楼上有多高？解：过点E作EF∥BC，AD∴∠AFE=90°，FE=BC=15m.30∴AF=FEtan30=53m.∴EC=FB=AB－AF=(20－53)m.即南楼的影子在北楼上的高度BC为(20－53)m.20m南北FE15m巩固练习28.2解直角三角形及其应用/(2)小华想：若设计时要求北楼的采光，不受南楼的影响，请问楼间距BC至少应为多少米?30AD20m答案：BC至少为203m.南北?mCB巩固练习28.2解直角三角形及其应用/连接中考（2018•台州）图1是一辆吊车的实物图，图2是其工作示意图，AC是可以伸缩的起重臂，其转动点A离地面BD的高度AH为3.4m．当起重臂AC长度为9m，张角∠HAC为118°时，求操作平台C离地面的高度（结果保留小数点后一位：参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）图1图2巩固练习28.2解直角三角形及其应用/连接中考解：作CE⊥BD于E，AF⊥CE于F，易得四边形AHEF为矩形，∴EF=AH=3.4m，∠HAF=90°，∴∠CAF=∠CAH﹣∠HAF=118°﹣90°=28°，CF在Rt△ACF中，∵sinCAF，ACF∴CF=9sin28°=9×0.47=4.23，∴CE=CF+EF=4.23+3.4≈7.6（m），E图2答：操作平台C离地面的高度为7.6m．课堂检测28.2解直角三角形及其应用/基础巩固题1.数学课外兴趣小组的同学们要测量被池塘相隔的两棵树A、B的距离，他们设计了如图所示的测量方案：从树A沿着垂直于AB的方向走到E，再从E沿着垂直于AE的方向走到F，C为AE上一点，其中3位同学分别测得三组数据：①AC，∠ACB；②EF、DE、AD；③CD，∠ACB，∠ADB．其中能根据所测数据求得A、B两D树距离的有()A.0组B.1组C.2组D.3组课堂检测28.2解直角三角形及其应用/基础巩固题如图，要测量B点到河岸AD的距离，在A点测得2.∠BAD=30°，在C点测得∠BCD=60°，又测得AC=100米，则B点到河岸AD的距离为()BA.100米3米B.502003米D.50米C.B3ACD课堂检测28.2解直角三角形及其应用/基础巩固题一次台风将一棵大树刮断，经测量，大树刮断一端的3.着地点A到树根部C的距离为4米，倒下部分AB与地平面(442)AC的夹角为45°，则这棵大树高是B米.45°4米CA课堂检测28.2解直角三角形及其应用/能力提升题“欲穷千里目，更上一层楼”是唐代诗人李白的不朽诗句.如果我们想在地球上看到距观测点1000里处景色，“更上一层楼”中的楼至少有多高呢？存在这样的楼房吗(设代表地面，O为地球球心，C是地面上一点，ACAC=500km，地球的半径为6370km，cos4.5°=0.997)？课堂检测28.2解直角三角形及其应用/能力提升题解：设登到B处，视线BC在C点与地球相切，也就是看C点，AB就是“楼”的高度，AC180在Rt△OCB中，∠O4.5，OCOC63706389km，OBcos∠Ocos4.5∴AB=OB－OA=6389－6370=19(km).即这层楼至少要高19km，即19000m.这是不存在的.课堂检测28.2解直角三角形及其应用/拓广探索题如图，在电线杆上的C处引拉线CE，CF固定电线杆.拉线CE和地面成60°角，在离电线杆6米的A处测得AC与水平面的夹角为30°，已知A与地面的距离为1.5米，求拉线CE的长.（结果保留根号）解：作AG⊥CD于点G，则AG=BD=6米，DG=AB=1.5米.∴CGAGtan30G3623(米).3课堂检测28.2解直角三角形及其应用/拓广探索题∴CD=CG+DG=(+1.5)(米)，CD3231.543∴CE(米).sin602G课堂小结28.2解直角三角形及其应用/利用解直角三角形解决实际问题的一般过程：1.将实际问题抽象为数学问题；2.根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；3.得到数学问题的答案；4.得到实际问题的答案.画出平面图形，转化为解直角三角形的问题第二课时28.2解直角三角形及其应用/利用俯角和仰角解直角三角形返回导入新知28.2解直角三角形及其应用/青青草原上,灰太狼每天都想着如何抓羊,而且屡败屡试,永不言弃.如图所示,一天,灰太狼在自家城堡顶部A处测得懒羊羊所在地B处的俯角为60°,然后下到城堡的C处,测得B处的俯角为30°.已知AC=40m,若灰太狼以5m/s的速度从城堡底部D处出发,几秒钟后能抓到懒羊羊?(结果精确到个位)(假设懒洋洋不动)素养目标28.2解直角三角形及其应用/2.在解题过程中进一步体会数形结合、转化、方程的数学思想，并从这些问题中归纳出常见的基本模型及解题思路.1.使学生了解仰角、俯角的概念，并能够根据直角三角形的知识解决实际问题.3.进一步培养学生分析问题、解决问题的能力.探究新知28.2解直角三角形及其应用/知识点1俯角、仰角问题在测量中，我们把在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，视线在水平线下方的叫做俯角.视线巧记“上仰下俯”铅直线水平线视线仰角俯角探究新知28.2解直角三角形及其应用/一个观测点构造两个直角三角形解答实际问题素养考点1例1热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球与楼的水平距离为120m，这栋楼有多高（结果取整数）？仰角水平线BAβ，C分析：我们知道，在视线与水平线所成的角在中R视t△线A在BD水中平，线α上=3方0°的，是A仰D角＝，12视0所线以在利水用平解线直下角方三的角是形俯的角知，识因求此出，B在D图；类中似，地α=可30以°求,β=出60C°D，.进而求出BC．αD俯角探究新知28.2解直角三角形及其应用/解：如图，α30°,β=60°，AD＝120．=BABCBDCD40312033277（m）160C答：这栋楼高约为277m.αDβ探究新知28.2解直角三角形及其应用/方法点拨解决与仰角、俯角有关的实际问题的方法根据仰角、俯角的定义画出水平线、视线，找准仰角、俯角，结合题意，从实际问题情境中抽象出含仰角或俯角的直角三角形，然后利用解直角三角形使问题获解.巩固练习28.2解直角三角形及其应用/1.如图，在电线杆上离地面高度5m的C点处引两根拉线固定电线杆，一根拉线AC和地面成60°角，另一根拉线BC和地10325面成45°角．则两根拉线的总长度为带根号的数的形式表示).m(结果用3探究新知28.2解直角三角形及其应用/两个观测点构造两个直角三角形解答实际问题素养考点2例2如图，直升飞机在长400米的跨江大桥AB的上方P点处，在大桥的两端测得飞机的仰角分别为37°和45°，求飞机的高度.（结果取整数.参考数据：sin37°≈0.8，cos37°≈0.6，37°≈0.75）tanP45°37°AB400米探究新知28.2解直角三角形及其应用/解：作PO⊥AB交AB的延长线于O.设PO=x米，P在Rt△POB中，∠PBO=45°，OB=PO=x米.在Rt△POA中，∠PAB=37°，37°PO45°tan∠PAB0.75，O400米OABAx0.75，解得x=1200.即x400故飞机的高度为1200米.巩固练习28.2解直角三角形及其应用/2.如图，为了测出某塔CD的高度，在塔前的平地上选择一点A，用测角仪测得塔顶D的仰角为30°，在A、C之间选择一点B（A、B、C三点在同一直线上）．用测角仪测得塔顶D的仰角为75°，且AB间的距离为40m．(1)求点B到AD的距离；E答案：点B到AD的距离为20m.(m)，，巩固练习28.2解直角三角形及其应用/(2)求塔高CD（结果用根号表示）．解：在Rt△ABE中，∵∠A=30°，∴∠ABE=60°，∵∠DBC=75°，∴∠EB