习--题-

习题一1.1已知A、B和C为任意矢量，（1）若CABA，则是否意味着B总等于C呢？试讨论之；（2）试证明：BACACBCBA。1.2给定三个矢量A、B和C如下：zyxaaaA32zyaaB4zxaaC25求（1）矢量A的单位矢量Aa；（2）矢量A和B的夹角AB；（3）BA和BA（4）CBA和CBA；（5）CBA和CBA。1.3有一个二维矢量场xyyxaarF，求其矢量线方程，并定性画出该矢量场图形。1.4直角坐标系中的点4,1,31P和3,2,22P，（1）直角坐标系中写出点1P、2P的位置矢量1r和2r；（2）求点1P到2P的距离矢量的大小和方向（3）求矢量1r在2r的投影。1.5写出空间任一点在直角坐标系的位置矢量表达式，并将此位置矢量分别变换成在圆柱坐标系中和球坐标系中的位置矢量。1.6求数量场222lnzyx通过点1,2,3P的等值面方程。1.7用球坐标表示的场225rraE，求（1）在直角坐标系中的点5,4,3处的E和zE；（2）E与矢量zyxaaaB22之间的夹角。1.8试计算SSrd的值，式中的闭合曲面S是以原点为顶点的单位立方体，r为立方体表面上任一点的位置矢量。1.9求标量场zeyxzyx326,,在点0,1,2P的梯度。1.10在圆柱体922yx和平面0x、0y、0z及2z所包围的区域，设此区域的表面为S，求（1）矢量场A沿闭合曲面S的通量，矢量场A的表达式为xzzyxzyx3332aaaA（2）验证散度定理。1.11计算ClAd从0,0,0P到0,1,1Q，其中矢量场A的表达式为2144yxyxaaA曲线C沿下列路径：（1）tx，2ty；（2）沿直线从0,0,0沿x轴到0,0,1，再沿1x到0,1,1；（3）此矢量场为保守场吗？1.12（1）若矢量场zraA2162，在半径为2和20的半球面上计算SSAd的值；（2）若矢量场zaA2cos10，求穿过xy平面上半径为2的圆面的通量SSAd。1.13求矢量2xyxyxaaA沿圆周222ayx的线积分，再求A对此圆周所包围的表面积分，验证斯托克斯定理。1.14在球坐标系中，已知标量函数204cosrpe，其中ep和0均为常数，求矢量场E。1.15求下列标量场的梯度：（1）2xxyzu；（2）xzzyyxu4422；（3）35xyzu。1.16求下列矢量场在给定点的散度：（1）xzyxzyx333aaaA在点1,0,1P；（2）223zyzyxzyxaaaA在点0,1,1P。1.17求下列矢量场的旋度：（1）2223zyxzyxaaaA（2）xyxzyzzyxaaaA1.18现有三个矢量场A、B和C，已知sincoscoscossinaaaArsin2cossin22zzzzaaaBzxxyzyx232322aaaC求（1）哪些矢量场为无旋场、哪些矢量场为无散场？（2）哪些矢量场可以用一个标量函数的梯度来表示？哪些矢量场可以用一个矢量函数的旋度来表示？（3）求出它们的源分布。1.19已知直角坐标系中的点Pzy,x,和点Qz,y,x求（1）P点的位置矢量r和Q点的位置矢量r（2）从P点到Q点的距离矢量R；（3）r和r（4）R11.20证明矢量场zyzxzxyxzyzy2x222222aaaA为有势场。1.21在直角坐标中，证明AAA1.22在直角坐标中，证明AAA1.23求函数223yyx在点3,2P处沿曲线12xy朝x增大方向的方向导数。1.24若矢量场142325xxzzyxaaaA试在由半球面4222zyx和平面0z组成的闭合曲面上验证斯托克斯定理。1.25在直角坐标中，证明：（1）一个矢量场的旋度的散度恒等于零，即0A；（2）一个标量场的梯度的旋度恒等于零，即0。习题二2.1两点电荷Cq81，位于x轴上4x处，Cq41，位于y轴上4y处，求z轴上点4,0,0处的电场强度。2.2一个半径为a的半圆上均匀分布着线电荷密度为l，求垂直于圆平面的轴线上az处的电场强度。2.3一个点电荷q位于0,0,a处，另一个点电荷q2位于0,0,a处，求电位等于零的面；空间中有电场强度等于零的点吗？2.4真空中一个球心在原点的半径为a的球面，在点a,0,0和a,0,0处分别放置点电荷q和q，试计算球赤道圆平面上电通密度的通量。2.5试求半径为a，带电量为Q的均匀带电球体的电场。2.6两无限长的同轴圆柱导体，半径分别为a和b（ba），内外导体间为空气，如题2.6图所示。设同轴圆柱导体内、外导体上的电荷均匀分布，其电荷密度分别为1S和2S，求（1）空间各处的电场强度；（2）两导体间的电压；（3）要使br区域内电场强度等于零，则1S和2S应满足什么关系？2.7半径分别为a和b（ba），球心距离为c（bac）的两球面间均匀分布有体密度为V的电荷，如题2.7图所示。求空间各区域的电通量密度。题2.6图题2.7图2.8长度为l2的线电荷，电荷的线密度为l，求（1）空间任一点的电位函数；（2）求线电荷平分面上的电位函数。2.9一半径为a的薄导体球壳，在其内表面涂覆了一层薄的绝缘膜，球内充满总电量为Q的电荷，球壳上又另充了电量为Q的电荷，已知内部的电场为4arraE，计算（1）球内电荷分布；（2）球的外表面的电荷分布；（3）球壳的电位；（4）球心的电位。2.10电场中有一半径为a的圆柱体，已知圆柱内、外的电位为arrarAar,cos,02求（1）圆柱体内、外的电场强度；（2）这个圆柱是由什么材料制成的？表面有电荷吗？试求之；2.11电场中一半径为a的介质球，已知球内、外的电位函数分别为arrEarrEarE,cos23,cos2cos00022030001此介质球表面的边界条件如何？计算球表面的电荷密度。2.12设0z为两电介质的分界面，在0z的区域1中充满相对介电常数为21r的介质，而在0z的区域2中充满相对介电常数为32r的介质。已知区域1中的电通量密度为zxyzyx2221aaaD我们能求出区域2中哪些地方的2E和2D？能求出2中任意点处的2E和2D吗？2.13两无限大平行板电极，距离为d，电位分别为0和0U，板间充满电荷密度为dx/0，如题2.11图所示。求极板间的电位分布和极板上的电荷密度。2.14无限大空气平行板电容器的电容量为0C，将相对介电常数为4r的一块平板平行地插入两极板之间，如题2.14图所示。（1）若保持电荷一定的条件下，使该电容器的电容值升为原值的2倍，问所插入板的厚度1d与电容器两板之间距离d的比值为多少？题2.13图题2.14图dx/0（2）若插入板的厚度dd321，保持电容器电压不变的条件下，电容器的电容量将变为多少？2.15同轴电容器内导体半径为a，外导体内直径为b，在bra部分填充介电常数为的电介质，求：（1）单位长度的电容；（2）若mm5a、mm10b、mm8b，内外导体间所加电压为10000V，介质的相对介电常数为5r，空气的击穿场强为V/m1036，介质的击穿场强为V/m10206，问电介质是否会被击穿？2.16在介电常数为的无限大均匀介质中，开有如下空腔：（1）平行于E的针形空腔；（2）底面垂直于E的薄盘形空腔；求各空腔中的E和D。2.17一个有两层介质21,的平行板电容器，两种介质的电导率分别为1和2，电容器极板的面积为S，如题2.17图所示。在外加电压为U时，求：（1）电容器的电场强度；（2）两种介质分界面上表面的自由电荷密度；（3）电容器的漏电导；（4）当满足参数1221时，问?/CG（C为电容器电容）。2.18半球形电极位置靠近一直而深的陡壁，如题2.18图所示。若m3.0a，10mh，土壤的电导率S/m102，求接地电阻。2.19已知在所研究的区域没有电荷，问下列标量函数中哪些可能是电位函数的解？（1）nrncos圆柱坐标系（2）cos2r球坐标系（3）xxycossin2exp直角坐标系2.20半径为1R和2R（21RR）的两个同心球面之间充满了电导率为rK10的材料（K为常数），试求两理想导体球面间的电阻。2.21设一点电荷q与无限大接地导体平面的距离为d，如题2.21图所示。求：（1）空间的电位分布和电场强度；（2）导体平面上的感应电荷密度；题2.17图题2.18图题2.21图题2.22图（3）点电荷q所受的力。2.22两无限大导体平板成60角放置，在其内部1x、1y处有一点电荷q，如题2.22图所示。求：（1）所有镜像电荷的位置和大小；（2）2x、1y处的电位。2.23一个沿z轴很长且中空的金属管，其横截面为矩形，管子的三边保持零电位，而第四边的电位为U，如题2.23图所示。（1）当0UU时，求管内的电位分布；（2）当byUUsin0，再求管内的电位分布。2.24一沿y轴方向无限长的导体槽，底面保持电位为0U，其余两面的电位为零，求槽内的电位函数。2.25两平行的距离为b的无限大导体平面，其间有一沿x方向无限长的极薄的导体片由dy到by，如题2.25图所示。上板和薄片保持电位为0U，下板保持零电位，求板间的电位分布。设在薄片平面上，从0y到dy，电位线性变化，即ydU0。2.26同轴圆柱电容器的内导体半径为a，外导体半径为b，两导体间区域00中填充介电常数为的电介质，其余部分为空气，如题2.26图所示，求单位长度的电容。2.27一同轴线的内导体半径为a，外导体半径为b，电缆内充满击穿强度一定的均匀电介质。在b一定的条件下，改变a时电缆的耐压也会改变。试求电缆两导体间可忍受最大题2.23图题2.24图题2.25图题2.26图电压时的a值。若电介质的击穿场强为V/mm1054maxE的聚乙烯，cm16.86，则?a时耐压最大？求电缆所承受的最大电压。习题三3.1自由空间中有一半径为a的载流线圈，电流强度为I，求其轴线上任一点处的磁感应强度。3.2真空中直线长电流I的磁场中有一等边三角形回路，如题图1所示，求通过三角形回路磁通量。3.3若半径为a、电流为I的无限长圆柱导体置于空气中，已知导体的磁导率为0，求导体内、外的磁场强度H和磁感应强度B。3.4如果在半径为为a、电流为I的无限长圆柱导体内有一个不同轴的半径为b的圆柱空腔，两轴线的距离为c，且abc，如题图2所示。求空腔内的磁感应强度。3.5在下面的矢量中，哪些可能是磁感应强度B？如果是，与它相应的电流密度J为多少？（1）aF（圆柱坐标系）（2）xyyxaaF（3）yxyxaaF（4）raF（球坐标系）3.6已知某电流在空间产生的磁矢位是2222zyxyyxzyxaaaA求磁感应强度B。3.7两半径为a、平行放置的长直圆柱导体，轴线距离为d（ad2）。现将相交部分挖成一空洞，并且在相交处用绝缘纸隔开，如题图3所示。设两导体分别通有面密度为zJaJ01和zJaJ02的电流，求空洞中的磁场强度。3.8边长分别为a和b载有电流I的小矩形回路，如题图4所示，求远处的一点