2020版高考数学(文科)新素养突破大二轮(课件+精练)：数列通项与求和

栏目索引高考导航总纲目录考点一考点二第2讲数列通项与求和栏目索引高考导航总纲目录考点一考点二总纲目录总纲目录考点二数列求和问题考点一求数列的通项公式栏目索引高考导航总纲目录考点一考点二考点一考点一求数列的通项公式1.(2018课标全国Ⅰ理,14,5分)记Sn为数列{an}的前n项和.若Sn=2an+1,则S6=.答案-63栏目索引高考导航总纲目录考点一考点二考点一解析解法一:由Sn=2an+1,得a1=2a1+1,所以a1=-1,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2an+1-(2an-1+1),得an=2an-1,∴{an}是首项为-1,公比为2的等比数列.∴S6= = =-63.解法二:由Sn=2an+1,得S1=2S1+1,所以S1=-1,当n≥2时,由Sn=2an+1得Sn=2(Sn-Sn-1)+1,即Sn=2Sn-1-1,∴Sn-1=2(Sn-1-1),又S1-1=-2,∴{Sn-1}是首项为-2,公比为2的等比数列,所以Sn-1=-2×2n-1=-2n,所以Sn=1-2n,∴S6=1-26=-63.61(1-)1-aqq6-(1-2)1-2栏目索引高考导航总纲目录考点一考点二考点一2.(2016课标全国Ⅲ,17,12分)已知各项都为正数的数列{an}满足a1=1, -(2an+1-1)an-2an+1=0.(1)求a2,a3;(2)求{an}的通项公式.2na栏目索引高考导航总纲目录考点一考点二考点一解析(1)由题意得a2= ,a3= .(2)由 -(2an+1-1)an-2an+1=0得2an+1(an+1)=an(an+1).因为{an}的各项都为正数,所以 = .故{an}是首项为1,公比为 的等比数列,因此an= .12142na1nnaa1212-112n栏目索引高考导航总纲目录考点一考点二考点一总结提升1.由含an与Sn的关系式求an,应注意以下三点(1)注意分n=1和n≥2两种情况处理,特别要注意使用an=Sn-Sn-1时需n≥2;(2)由Sn-Sn-1=an(n≥2)推得an,当n=1时,a1也符合“an式”,则需“合写”通项公式;(3)由Sn-Sn-1=an(n≥2)推得an,当n=1时,a1不符合“an式”,则数列的通项公式应分段表示,即an= 1-1,1,-,2.nnSnSSn栏目索引高考导航总纲目录考点一考点二考点一2.由递推公式求通项公式的三种类型(1)形如an+1=an+f(n)的数列,常用累加法,即利用an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)求通项公式.(2)形如an+1=anf(n)的数列,常用累乘法,即利用恒等式an=a1· · ·…· 求通项公式.(3)形如an+1=ban+d(其中b,d为常数,b≠0,1)的数列,常用构造法.其基本思路是:构造an+1+x=b(an+x) ,则{an+x}是公比为b的等比数列,利用它可以求出an.21aa32aa-1nnaa-1dxb其中栏目索引高考导航总纲目录考点一考点二考点一1.(2018安徽合肥质检)已知数列{an}的前n项和为Sn,若3Sn=2an-3n,则a2018= ()A.22018-1B.32018-6C. - D. - 20181272201813103A栏目索引高考导航总纲目录考点一考点二考点一答案A∵3Sn=2an-3n,∴当n=1时,3S1=3a1=2a1-3,∴a1=-3;当n≥2时,3an=3Sn-3Sn-1=(2an-3n)-(2an-1-3n+3),∴an=-2an-1-3,∴an+1=-2(an-1+1),∴数列{an+1}是以-2为首项,-2为公比的等比数列,∴an+1=-2×(-2)n-1=(-2)n,∴an=(-2)n-1,∴a2018=(-2)2018-1=22018-1,故选A.栏目索引高考导航总纲目录考点一考点二考点一2.(2019福建五校第一次联考)已知数列{an}满足an+1= 若a1= ,则a2017=.12,0,212-1,1.2nnnnaaaa35答案 35解析因为a1= ,所以根据题意得a2= ,a3= ,a4= ,a5= ,所以数列{an}是以4为周期的数列,又2017=504×4+1,所以a2017=a1= .351525453535栏目索引高考导航总纲目录考点一考点二考点二考点二数列求和问题命题角度一公式法求和(2019课标全国Ⅱ,18,12分)已知{an}是各项均为正数的等比数列,a1=2,a3=2a2+16.(1)求{an}的通项公式;(2)设bn=log2an,求数列{bn}的前n项和.栏目索引高考导航总纲目录考点一考点二考点二解析(1)设{an}的公比为q,由题设得2q2=4q+16,即q2-2q-8=0.解得q=-2(舍去)或q=4.因此{an}的通项公式为an=2×4n-1=22n-1.(2)由(1)得bn=(2n-1)log22=2n-1,因此数列{bn}的前n项和为1+3+…+2n-1=n2.栏目索引高考导航总纲目录考点一考点二考点二命题角度二分组转化法求和(2019河北九校第二次联考)已知数列{an}为等比数列,首项a1=4,数列{bn}满足bn=log2an,且b1+b2+b3=12.(1)求数列{an}的通项公式;(2)令cn= +an,求数列{cn}的前n项和Sn.14nnbb栏目索引高考导航总纲目录考点一考点二考点二解析(1)由bn=log2an和b1+b2+b3=12,得log2(a1a2a3)=12,∴a1a2a3=212.设等比数列{an}的公比为q,∵a1=4,∴a1a2a3=4·4q·4q2=26·q3=212,解得q=4,∴an=4·4n-1=4n.(2)由(1)得bn=log24n=2n,cn= +4n= +4n= - +4n.设数列 的前n项和为An,则An=1- + - +…+ - = ,422(1)nn1(1)nn1n11n1(1)nn1212131n11n1nn栏目索引高考导航总纲目录考点一考点二考点二设数列{4n}的前n项和为Bn,则Bn= = (4n-1),∴Sn= + (4n-1).4-441-4n431nn43栏目索引高考导航总纲目录考点一考点二考点二总结提升若一个数列由两个或多个等差、等比数列的和差形式组成,或这个数列可以分解成两个或多个等差、等比数列的和差形式,则可以根据数列的结构对原数列求和式的各部分进行重新组合,进而使用等差、等比数列的求和公式进行求和.解题的关键是观察结构、巧分组.栏目索引高考导航总纲目录考点一考点二考点二命题角度三裂项相消法求和(2017课标全国Ⅲ,17,12分)设数列{an}满足a1+3a2+…+(2n-1)an=2n.(1)求{an}的通项公式;(2)求数列 的前n项和.21nan栏目索引高考导航总纲目录考点一考点二考点二解析(1)因为a1+3a2+…+(2n-1)an=2n,故当n≥2时,a1+3a2+…+(2n-3)an-1=2(n-1).两式相减得(2n-1)an=2.所以an= (n≥2).又由题设可得a1=2,从而{an}的通项公式为an= (n∈N*).(2)记 的前n项和为Sn.由(1)知 = = - .则Sn= - + - +…+ - = .22-1n22-1n21nan21nan2(21)(2-1)nn12-1n121n1113131512-1n121n221nn栏目索引高考导航总纲目录考点一考点二考点二总结提升用裂项相消法求和需注意两点:一是要掌握常见的裂项技巧,如数列{an}是公差为d(d≠0)的等差数列,则 =  ;二是会“相消”,即求数列和的过程中消去中间项,只剩有限项,然后求和.11nnaa1d111-nnaa栏目索引高考导航总纲目录考点一考点二考点二命题角度四错位相减法求和(2014课标全国Ⅰ,17,12分)已知{an}是递增的等差数列,a2,a4是方程x2-5x+6=0的根.(1)求{an}的通项公式;(2)求数列 的前n项和.2nna栏目索引高考导航总纲目录考点一考点二考点二解析(1)方程x2-5x+6=0的两根为2,3,由题意得a2=2,a4=3.设数列{an}的公差为d,则a4-a2=2d,故d= ,从而a1= .所以{an}的通项公式为an= n+1.(2)设 的前n项和为Sn,由(1)知 = ,则Sn= + +…+ + , Sn= + +…+ + .1232122nna2nna122nn23234212nn122nn12332442112nn222nn栏目索引高考导航总纲目录考点一考点二考点二两式相减得 Sn= + - = +  - .所以Sn=2- .12343111…22n222nn3414-111-2n222nn142nn栏目索引高考导航总纲目录考点一考点二考点二总结提升求解此类题需掌握三个技巧:一是巧分拆,即把数列的通项公式转化为等差数列、等比数列的通项的和,并求出等比数列的公比;二是构差式,求出前n项和的表达式,然后乘等比数列的公比,两式作差;三是得结果,即根据差式的特征进行准确求和.栏目索引高考导航总纲目录考点一考点二考点二1.(2019广东七校联考)已知数列{an}是公差不为0的等差数列,满足a1=5,且a2,a9,a30成等比数列.(1)求{an}的通项公式;(2)若数列{bn}满足bn+1-bn=an(n∈N*),且b1=3,求数列 的前n项和Tn.1nb栏目索引高考导航总纲目录考点一考点二考点二解析(1)设等差数列{an}的公差为d(d≠0),依题意得,(a1+d)(a1+29d)=(a1+8d)2,又a1=5,解得d=2,所以数列{an}的通项公式为an=2n+3.(2)依题意得bn+1-bn=2n+3,即bn-bn-1=2n+1(n≥2且n∈N*),所以bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…+(b2-b1)+b1 =(2n+1)+(2n-1)+…+5+3= =n2+2n.又b1=3也满足上式,所以bn=n(n+2),(213)2nn栏目索引高考导航总纲目录考点一考点二考点二即 = =  .所以Tn=   + + +…+  =  = -  .1nb1(2)nn1211-2nn1211-311-2411-3511-2nn12311--212nn34121112nn栏目索引高考导航总纲目录考点一考点二考点二2.(2019福建福州模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn,Sn=2n+1-2.(1)求数列{an}的通项公式;(2)令bn=(3n-1)an,设数列{bn}的前n项和为Tn,求Tn.栏目索引高考导航总纲目录考点一考点二考点二解析(1)当n≥2时,利用公式an=Sn-Sn-1,可得an=2n,当n=1时上式依旧成立,故an=2n(n∈N*).(2)Tn=b1+b2+b3+…+bn=2×2+5×22+8×23+…+(3n-1)2n.①2Tn=2×22+5×23+8×24+…+(3n-1)2n+1,②①-②得,-Tn=4+3×22+3×23+…+3×2n-(3n-1)2n+1=4+3× -(3n-1)2n+1=-8-(3n-4)2n+1,所以Tn=8+(3n-4)2n+1.-14(1-2)1-2n