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选修2-2第三章---导数应用习题课（3）1．已知函数的单调区间，求参数的值；2．已知函数在某单调区间的单调性，求参数的取值范围（三种方法）。题型四已知函数单调性求参数范围已知函数f(x)＝2ax－x3，a＞0.(1)若f(x)的单调递增区间是(－1,1)，求a的值．(2)若f(x)在(0,1]内是增函数，求a的取值范围．【解】f′(x)＝2a－3x2，x∈R，a＞0.(1)由题意知f′(x)≥0的解集为[－1,1]，又f′(x)≥0即2a－3x2≥0的解集为[－2a3，2a3]，∴2a3＝1，∴a＝32.例4(2)法一：由题意知f′(x)＝2a－3x2，且方程f′(x)＝0的根为有限个，则f(x)在(0,1]上为增函数等价于f′(x)＝2a－3x2≥0对x∈(0,1]恒成立．即a≥32x2对x∈(0,1]恒成立，只需a≥32x2max即可．由x∈(0,1]得32x2∈0，32，从而a≥32.所以a的取值范围为32，＋∞.法二：由题意知f′(x)＝2a－3x2，且方程f′(x)＝0的根为有限个，故f(x)在(0,1]内为增函数等价于f′(x)≥0对x∈(0,1]恒成立．只需f′(x)＝2a－3x2在区间(0,1]上满足f′0≥0，f′1≥0.解得a≥32，所以a的取值范围为32，＋∞.法三：由题意知f′(x)＝2a－3x2，由于a＞0，令f′(x)＝2a－3x2＞0得－2a3，2a3，若要使函数f(x)在(0,1]内是增函数，只需2a3≥1即可，即a≥32，所以a的取值范围为32，＋∞.【名师点评】根据单调性求参数的值或范围有下述两类问题：一类是给出单调区间，转化为已知导数不等式的解集问题;二类是给出单调区间的子区间，转化为导数不等式的恒成立问题，主要有三种解法：①分离导数不等式的参数，转化为求函数最值问题；②利用子区间(即子集思想)；先求出函数的单调递增或递减区间，然后让所给区间是求出的递增或递减区间的子区间;③利用二次方程根的分布，着重考虑：(ⅰ)端点函数值与0的关系；(ⅱ)对称轴相对于区间的位置,这体现了数形结合的数学思想.跟踪训练4．(2013·高考课标全国卷)设函数f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝ex(cx＋d)．若曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0,2)，且在点P处有相同的切线y＝4x＋2.(1)求a，b，c，d的值；(2)若x≥－2时，f(x)≤kg(x)，求k的取值范围．解：(1)由已知得f(0)＝2，g(0)＝2，f′(0)＝4，g′(0)＝4.而f′(x)＝2x＋a，g′(x)＝ex(cx＋d＋c)，故b＝2，d＝2，a＝4，d＋c＝4.从而a＝4，b＝2，c＝2，d＝2.(2)由(1)知，f(x)＝x2＋4x＋2，g(x)＝2ex(x＋1)．设函数F(x)＝kg(x)－f(x)＝2kex(x＋1)－x2－4x－2，则F′(x)＝2kex(x＋2)－2x－4＝2(x＋2)(kex－1)．由题设可得F(0)≥0，即k≥1.令F′(x)＝0得x1＝－lnk，x2＝－2.(ⅰ)若1≤k＜e2，则－2＜x1≤0.从而当x∈(－2，x1)时，F′(x)＜0；当x∈(x1，＋∞)时，F′(x)＞0，即F(x)在(－2，x1)上单调递减，在(x1，＋∞)上单调递增，故F(x)在[－2，＋∞)上的最小值为F(x1)．而F(x1)＝2x1＋2－x21－4x1－2＝－x1(x1＋2)≥0.故当x≥－2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立．(ⅱ)若k＝e2，则F′(x)＝2e2(x＋2)(ex－e－2)．从而当x＞－2时，F′(x)＞0，即F(x)在(－2，＋∞)上单调递增，而F(－2)＝0，故当x≥－2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立．(ⅲ)若k＞e2，则F(－2)＝－2ke－2＋2＝－2e－2(k－e2)＜0.从而当x≥－2时，f(x)≤kg(x)不可能恒成立．综上，k的取值范围是[1，e2]．1．在利用导数来讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程中只能在定义域内通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间．2．利用函数的单调性求参数的取值范围，常转化为不等式恒成立问题．一般地，函数f(x)在区间I上单调递增(递减)；等价于不等式f′(x)≥0(f′(x)≤0)在区间I上恒成立，然后可借助分离参数等方法求出参数的取值范围．方法感悟