定积分的分部积分法

•一、分部积分公式•二、小结思考题定积分的分部积分法设函数)(xu、)(xv在区间ba,上具有连续导数，则有bababavduuvudv.定积分的分部积分公式推导,vuvuuv,)(babauvdxuv,bababadxvudxvuuv.bababavduuvudv一、分部积分公式例1计算.arcsin210xdx解令,arcsinxu,dxdv,12xdxdu,xv210arcsinxdx210arcsinxx21021xxdx621)1(112120221xdx1221021x.12312则例2计算解.2cos140xxdx,cos22cos12xx402cos1xxdx402cos2xxdxxdxtan24040tan21xxxdxtan214040secln218x.42ln8例3计算解.)2()1ln(102dxxx102)2()1ln(dxxx1021)1ln(xdx102)1ln(xx10)1ln(21xdx32lndxxx101121xx211110)2ln()1ln(32lnxx.3ln2ln35例4设求解21,sin)(xdtttxf.)(10dxxxf因为ttsin没有初等形式的原函数，无法直接求出)(xf，所以采用分部积分法10)(dxxxf102)()(21xdxf102)(21xfx102)(21xdfx)1(21f102)(21dxxfx21,sin)(xdtttxf,sin22sin)(222xxxxxxf10)(dxxxf)1(21f102)(21dxxfx102sin221dxxx1022sin21dxx102cos21x).11(cos21,0sin)1(11dtttf例5证明定积分公式2200cossinxdxxdxInnnnnnnnnnnnn,3254231,22143231为正偶数为大于1的正奇数证设,sin1xun,sinxdxdv,cossin)1(2xdxxndun,cosxvdxxxnxxInnn2202201cossin)1(cossinx2sin10dxxndxxnInnn22002sin)1(sin)1(nnInIn)1()1(221nnInnI积分关于下标的递推公式nI4223nnInnI,直到下标减到0或1为止210sin(cos)nnIxdx2200cossinxdxxdxInnn,214365223221202ImmmmIm,3254761222122112ImmmmIm),2,1(m,2200dxI,1sin201xdxI,221436522322122mmmmIm.325476122212212mmmmIm于是000()()(),()=(())xxtFxxtftdtGxfududt设，则000()()()(()())xxxddFxxtftdtxftdttftdtdxdx00(())(())xxddxftdttftdtdxdx00()()()()xxftdtxfxxfxftdt000()(())()xtxdGxfududtfududx，()()FxGx所以()(),(0)0,(0)00.()()FxGxCFGCFxGx又由因此。证(一)例6设)(xf为连续函数，证明000()()(()).xxtxtftdtfududt微积分基本公式中的例7,由分部积分公式得证(二)例6设)(xf为连续函数，证明000()()d(()d)d.xxtxtfttfuut0d()d()dtfuuftt00000(()d)d[()d]()dxttxxfuuttfuutftt00()d()dxxxfuutftt00()d()dxxxftttftt00()d()dxxxftttftt0()()dxxtftt定积分的分部积分公式.bababavduuvudv二、小结（注意与不定积分分部积分法的区别）基本积分法换元积分法分部积分法换元必换限配元不换限边积边代限思考与练习设)(xf在1,0上连续，且1)0(f，3)2(f，5)2(f，求10)2(dxxfx.10)2(dxxfx101(2)(2)2xfxdx1010)2(21)2(21dxxfxfx10)2(41)2(21xff)0()2(4125ff.2解:101(2)2xdfx1.目录上页下页返回结束2.证明证：是以为周期的函数.πtu令是以为周期的周期函数.目录上页下页返回结束证：3.右端,],[)(上有连续的二阶导数在设baxf)(af且试证baxfbxax)(d))((21abxfbxax)())((21xbaxxfbad)2)((21分部积分再次分部积分xxfbad)(abxfbax)()2(21=左端,0)(bf