微积分：不定积分的分部积分法

一、基本内容二、小结三、思考题第二十四节分部积分法问题d?xxex解决思路利用两个函数乘积的求导法则.设函数)(xuu和)(xvv具有连续导数,,vuvuuv,vuuvvudd,uvxuvuvxdd.uvuvvu分部积分(integrationbyparts)公式一、基本内容1)v容易求得;容易计算.例1求积分cosd.xxx解（一）令,cosxu21ddd2xxxvcosdxxx22cossind22xxxxx显然，选择不当，积分更难进行.vu,解（二）令,xucosddsindxxxvcosdxxxdsinxxsinsindxxxx.cossinCxxx例2求积分2d.xxex解,2xuddd,xxexev2dxxex22dxxxexex.)(22Cexeexxxx（再次使用分部积分法）,xuddxexv总结若被积函数是幂函数和正(余)弦函数或幂函数和指数函数的乘积,就考虑设幂函数为,使其降幂一次(假定幂指数是正整数)u例3求积分arctand.xxx解令,arctanxu2ddd2xxxvarctandxxx22arctand(arctan)22xxxx2221arctand221xxxxx2211arctan(1)d221xxxx.)arctan(21arctan22Cxxxx例4求积分3lnd.xxx解,lnxu43ddd,4xxxv3lndxxx4311lnd44xxxx.161ln4144Cxxx总结若被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函数或反三角函数为.uxxxxxd111)1ln(练习求.d)1ln(2xxx解xxxd)1ln(2)1(d)1ln(xxxxxxx)d111()1ln(.ln)1ln()1ln(Cxxxx)1d(d12xxx解题技巧:把被积函数视为两类函数之积,按“反对幂指三”的顺序,前者为后者为u.v例5.求解:令,arccosxu1v,则,211xuxv原式=xxarccosxxxd21xxarccos)1d()1(222121xxxxarccosCx21反:反三角函数对:对数函数幂:幂函数指:指数函数三:三角函数练习.求解:令,coslnxuxv2cos1,则,tanxuxvtan原式=xxcoslntanxxdtan2xxcoslntanxxd)1(sec2xxcoslntanCxxtan练习求.1)dln(22xxx解xxx1)dln(2222d)1ln(xxxxxxxxd12)1()1ln()1(2222xxxxd2)1ln()1(22.)1ln()1(222Cxxx)1(例6求积分sin(ln)d.xx解sin(ln)dxxsin(ln)d[sin(ln)]xxxx1sin(ln)cos(ln)dxxxxxxsin(ln)cos(ln)d[cos(ln)]xxxxxx[sin(ln)cos(ln)]sin(ln)dxxxxxsin(ln)dxx[sin(ln)cos(ln)].2xxxC例7求积分sind.xexx解sindxexxsindxxesind(sin)xxexexsincosdxxexexxsincosdxxexxesin(cosdcos)xxxexexex(sincos)sindxxexxexxsindxexx.)cos(sin2Cxxex注意循环形式例8求积分2arctand.1xxxx解,1122xxx2arctand1xxxx2arctand1xx221arctan1d(arctan)xxxx22211arctan1d1xxxxx2211arctand1xxxx令txtan21d1xx221secd1tantttsecdttCtt)tanln(secCxx)1ln(22arctand1xxxxxxarctan12.)1ln(2Cxx解练习求.d12xex令,12xt则),1(212tx,ddttxxexd12ttetdtetdtetettdCetett.)112(12Cexx例11已知)(xf的一个原函数是2xe,求()dxfxx.解()dxfxxd()xfx()()d,xfxfxx2()d,xfxxeC()d(),fxxfx两边同时对求导,得x,2)(2xxexf()dxfxx()()dxfxfxx222xex.2Cex二、不定积分在经济分析中的应用例1已知某企业的某种产品在产量为q（单位：千件）时的边际成本函数为单位：万件／千件）(e2)(2.0qqC且固定成本为90万元，求总成本函数。解：总成本函数一般形式：qqCqCd)()(CCqq2.02.0e10e2.02qqde22.0总成本等于可变成本与固定成本之和，当产量为零时，可变成本为零，此时总成本为固定成本90,即C（0）＝90.代入总成本函数的一般形式，有90102.02)0(02.0CCeC所以，C=80.总成本函数的表达式为8010)(2.0qeqC21例2已知某集团公司生产的某种产品的边际收入是64q-q2(单位：万元／百台)，其中q是售出的产品数量（单位：百台），求其收入函数。解：收入函数一般形式qqRqRd)()(Cqqqqq332d)64(322销售量为0时，收入为0,即R(0)=0.代入收入函数的一般形式，有030032)0(32CR得，C=0收入函数的表达式为：332)(32qqqR例3设某商品的需求量Q是价格p的函数，该商品的最大需求是1000（即当p=0时，Q＝1000）。已知需求量的变化率(边际需求)为ppQ)31(3ln1000)(求需求量Q与价格p的函数关系。解：已知需求量的变化率，求需求量函数，即求不定积分。有)(pQppQpQd)()(ppd))31(3ln1000(CCpp)31(1000)31(31ln13ln100023由已知条件，p=0,Q=1000,代入上式得C=0.得到需求对价格的函数ppQ)31(1000)(.4例pq21000数为：设某产品的市场需求函),;(kgpkgq元表示价格，单位：表示需求量，单位：.15000,100)(固定成本为边际成本函数为：qqC入函数和利润函数。该产品的成本函数，收试求：)1(和最大利润。该产品的最大利润产量)2(际成本和边际收入。在最大利润产量时的边)3(解：qqC100)(由：dqqdqqCqC)100()()(有：0221100Cqq15000,15000)0(0CC由条件：1500021100)(2qqqCqppq2150021000由：221500)21500()(qqqqqpqR函数）这是收入()()()(qCqRqL利润函数：)2110015000()21500(22qqqq150004002qq15000400)()2(2qqqL由：02)(,2400)(qLqqL)(20002400)(kgqqqL就是最大利润产量。)(200kgq15000)200(200400)(2qLL最大元）(25000qqCqMC100)()()3(由：)(300200100100)(kgqqMC元qqqqRqMR500)21500()()(2)(300200500500)(kgqqMR元()(MCqMRq注：在最大利润产量时，）()()MCqMRq问题：在最大利润产量时，是否一定成立？合理选择，正确使用分部积分公式vu,dduvxuvuvx三、小结思考题在接连几次应用分部积分公式时，应注意什么？思考题解答注意前后几次所选的应为同类型函数.u例cosdxexx第一次时若选xucos1cosdxexxcossindxxexexx第二次时仍应选xusin2一、填空题：1.sindxxx________________；2.arcsindxx_______________；3.计算2lndxxx，u可设_____,dv________；4.计算cosdxexx，u可设____,dv________；5.计算2dxarctgxx，u可设____,dv______；6.计算dxxex，u可设______,dv__________.二、求下列不定积分：1.22cosd2xxx；2.32(ln)dxxx；练习题3.cosdaxenxx；4.3dxex；5.cos(ln)dxx；6.322d(1)arctgxxexx.三、已知xxsin是)(xf的原函数，求'()dxfxx.四、设()d()fxxFxC，)(xf可微，且)(xf的反函数)(1xf存在，则111()d()()fxxxfxFfxC.一、1.Cxxxsincos；2.Cxxx21arcsin；3.dxxx2,ln；4.,xexdxcos；5.dxxx2,arctan；6.dxexx,.二、1.Cxxxxxxsincossin21623；2.Cxxxx]6ln6)(ln3)[(ln123；3.Cnxnnxanaeax)sincos(224.Cxxex)22(33323；练习题答案5.Cxxx)]sin(ln)[cos(ln2；6.Cexxxarctan2121；7.Cexexexxxx22.三、Cxxxsin2cos.36课后练习 ~.()183:8(1)(2)PP181182378910