22不定积分的分部积分法59278

上页下页铃结束返回首页1第四章不定积分第三节不定积分的分部积分法主要内容：分部积分法上页下页铃结束返回首页2第三节分部积分法与它们对应的是上节的基本积分法复合函数微分法和乘积的微分法.在积分运算中,(两种).微分运算中有两个重要法则:换元积分法和本节的分部积分法上页下页铃结束返回首页3•分部积分公式设函数uu(x)及vv(x)具有连续导数.那么,(uv)uvuv,移项得uv(uv)uv.对这个等式两边求不定积分,得•分部积分过程这两个公式称为分部积分公式.vdxuuvdxvu,或vduuvudv,vdxuuvdxvu,或vduuvudv,vdxuuvvduuvudvdxvu.vdxuuvvduuvudvdxvu.vdxuuvvduuvudvdxvu.vdxuuvvduuvudvdxvu.上页下页铃结束返回首页4xxxdsin22例1求解xxxdcosxxcos22xxxdcosxxsinCxxxcossinxxdsin讨论:分部积分过程：xvudvuduvuvdxuvuvd.dcosxxx)sind(xx)2d(cos2xx22cosdcos22xxxx降幂升幂上页下页铃结束返回首页5xexexxxd31333例2求.d2xexx解xexxd2xex2Cexeexxxx)(22xxexd2xexd222dxeexxxxxexexd22)d(22xexeexxxx降幂讨论xexxd2)3(d3xex升幂降幂分部积分过程：xvudvuduvuvdxuvuvd上页下页铃结束返回首页6,d)(,dcos)(,dsin)(xexPxaxxPxaxxPkxnnn,,为常数其中akuuu次多项式为nxPn)(用分部积分法,使多项式的次数降低分部积分过程：xvudvuduvuvdxuvuvd上页下页铃结束返回首页7Cxxxxdxxx22241ln2121ln21.例3例4dxxxxxxdxxdxx121ln21ln21ln222例4dxxxxxxdxxdxx121ln21ln21ln222例4dxxxxxxdxxdxx121ln21ln21ln222例4dxxxxxxdxxdxx121ln21ln21ln222Cxxxxdxxx22241ln2121ln21.2d21dxxx分部积分过程：xvudvuduvuvdxuvuvd上页下页铃结束返回首页8dxxxxx211arccos例4例5xxdxxxdxarccosarccosarccos)1()1(21arccos2212xdxxxCxxx21arccos.例5xxdxxxdxarccosarccosarccos例5xxdxxxdxarccosarccosarccos分部积分过程：xvudvuduvuvdxuvuvd上页下页铃结束返回首页9dxxxxx2221121arctan21例5例62arctan21arctanxdxxdxxdxxxxx2221121arctan21dxxxx)111(21arctan2122Cxxxxarctan2121arctan212.例62arctan21arctanxdxxdxxdxxxx)111(21arctan21222d21dxxx分部积分过程：xvudvuduvuvdxuvuvd上页下页铃结束返回首页10xxxxxd111)1ln(例6求.d)1ln(2xxx解xxxd)1ln(2)1(d)1ln(xxxxxxx)d111()1ln(.ln)1ln()1ln(Cxxxx)1d(d12xxx分部积分过程：xvudvuduvuvdxuvuvd上页下页铃结束返回首页11,darctanxxxn,darcsinxxxnxxPxnd)(lnuuu用分部积分法,去掉反三角函数、对数)1(n分部积分过程：xvudvuduvuvdxuvuvd上页下页铃结束返回首页12例7求.dsinxxex解xxexdsinxexdsinxexsinxxexexxdcossinxxexxedcossinxexsinxxexxexxdsin)cos(sinxxexdsin)cos(sin2xxex原积分回归)(sindxex)cosdcos(xexexx.C分部积分过程：xvudvuduvuvdxuvuvd上页下页铃结束返回首页13,d)cos(,d)sin(xbaxexbaxekxkx均为常数其中bak,,的选取可随意vud,注意前后几次所选的u应为同类型函数用分部积分法,建立回归方程分部积分过程：xvudvuduvuvdxuvuvd上页下页铃结束返回首页14解例8例8求xdx3sec.xxdxdxxxdxtansecsecsecsec23xdxxxx2tansectansecdxxxxx)1(secsectansec2xdxxdxxxsecsectansec3xdxxxxx3sec|tansec|lntansec,所以xdx3secCxxxx|)tansec|lntan(sec21.xxdxdxxxdxtansecsecsecsec23回归分部积分过程：xvudvuduvuvdxuvuvd上页下页铃结束返回首页15..例9.dcos1cossin1dcos21xxnnxxnxxnnn推导以下递推公式:解xxxnxxxnnd)sin(cos)1(sincossin21xxxxnnsindcosdcos1),dcosdcos)(1(cossin21xxxxnxxnnn.dcos1cossin1dcos21xxnnxxnxxnnn回归分部积分过程：xvudvuduvuvdxuvuvd上页下页铃结束返回首页16分部积分基本题型:1)xbaxxPd)sin()(,xbaxxPd)cos()(,xexPaxd)(……取)(xPu2)xxPxnd)(ln,xxxndarctan……取xxvndd3)xbxexbxeaxaxdcos,dsin,xxdsec3……分部积分“回归法”分部积分过程：xvudvuduvuvdxuvuvd上页下页铃结束返回首页17例10求.1)dln(22xxx解xxx1)dln(2222d)1ln(xxxxxxxxd12)1()1ln()1(2222xxxxd2)1ln()1(22.)1ln()1(222Cxxx)1(分部积分过程：xvudvuduvuvdxuvuvd上页下页铃结束返回首页18解例11求.d12xex令,12xt则),1(212tx,ddttxxexd12ttetdtetdtetettdCetett.)112(12Cexx分部积分过程：xvudvuduvuvdxuvuvd上页下页铃结束返回首页19于是])32()([)1(2111222nnnInaxxnaI.解当n1时,用分部积分法,有例12例9求nnaxdxI)(22,其中n为正整数.dxaxxnaxxaxdxnnn)()1(2)()(222122122dxaxaaxnaxxnnn])()(1[)1(2)(222122122,解CaxaaxdxIarctan1221即))(1(2)(211221nnnnIaInaxxI,即dxaxxnaxxaxdxnnn)()1(2)()(222122122dxaxxnaxxaxdxnnn)()1(2)()(222122122dxaxaaxnaxxnnn])()(1[)1(2)(222122122,回归分部积分过程：xvudvuduvuvdxuvuvd上页下页铃结束返回首页20xxfxd)()(dxfx22)(xxexfxxfxd)(xxfxxfd)()(222xexCex2两边同时对x求导，得解思考题1已知)(xf的一个原函数是2xe,求dxxfx)(.Cexxfx2d)(,)()(dxxfxxf上页下页铃结束返回首页21求积分.)sin(lndxx解dxx)sin(ln)][sin(ln)sin(lnxxdxxdxxxxxx1)cos(ln)sin(ln)][cos(ln)cos(ln)sin(lnxxdxxxxdxxxxx)sin(ln)]cos(ln)[sin(lndxx)sin(ln.)]cos(ln)[sin(ln2Cxxx思考题2回归上页下页铃结束返回首页22.1arctan2dxxxx解21arctanxxd)(arctan1arctan122xdxxxdxxxxx222111arctan1dxxxx21arctan求积分思考题3dxxxx2211arctan1xxarctan12.)1ln(2Cxx2211xddxxx上页下页铃结束返回首页23课后练习习题43(P212)